2024高考数学一轮复习第七章立体几何课时作业39空间几何体的表面积和体积文

PAGEPAGE1课时作业39空间几何体的表面积和体积[基础达标]一、选择题1．若圆锥的侧面绽开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是()A．3：2B．2：1C．4：3D．5：3解析：底面半径r＝eq\f(\f(2,3)π,2π)l＝eq\f(1,3)l，故圆锥中S侧＝eq\f(1,3)πl2，S表＝eq\f(1,3)πl2＋πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)l))2＝eq\f(4,9)πl2，所以表面积与侧面积的比为4：3.答案：C2．[2024·东北三省四市联考]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A．12＋2eq\r(2)B．8＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2)D．8＋4eq\r(2)解析：本题考查三视图及几何体的表面积．由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2，高为2，故该四棱锥的表面积为S＝2×2＋2×eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝8＋4eq\r(2)，故选D.答案：D3．[2024·益阳市，湘潭市高三调研]如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3)D．4解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥A－PBC(放到棱长为2的正方体中)，VA－PBC＝eq\f(1,3)×S△PBC×AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故选B.答案：B4．[2024·开封市高三考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,9)B.eq\f(π,3)C.eq\f(16π,3)D.eq\f(16π,9)解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16,9)π，故选D.答案：D5．[2024·山东潍坊模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．4＋2eq\r(3)B．4＋4eq\r(2)C．6＋2eq\r(3)D．6＋4eq\r(2)解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，又AB＝2eq\r(2)，所以S△PBC＝S△PAB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△ABC＝S△PAC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4eq\r(2).答案：B6．[2024·福州模拟]已知圆锥的高为3，底面半径为eq\r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于()A.eq\f(8,3)πB.eq\f(32,3)πC．16πD．32π解析：设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故选B.答案：B7．[2024·福州模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．14B．10＋4eq\r(2)C.eq\f(21,2)＋4eq\r(2)D.eq\f(21＋\r(3),2)＋4eq\r(2)解析：解法一由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22－\f(1,2)×1×1))＋eq\f(1,2)×(22－12)＋eq\f(1,2)×22＋2×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\r(2))2＝eq\f(21＋\r(3),2)＋4eq\r(2)，故选D.解法二由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝S三棱柱表－S三棱锥侧＋S三棱锥底＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋2＋2\r(2)×2＋2×\f(1,2)×22))－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\r(2))2＝eq\f(21＋\r(3),2)＋4eq\r(2)，故选D.答案：D8．[2024·山西八校联考]已知一个球的表面上有A，B，C三个点，且AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为()A．20πB．15πC．10πD．2π解析：设球心为O，△ABC的中心为O′，因为AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，所以AO′＝eq\f(2,3)×3＝2，因为球心到平面ABC的距离为1，所以OO′＝1，所以AO＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故该球的表面积S＝4π×(OA)2＝20π.故选A.答案：A9．[2024·石家庄摸底考试]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(16π＋1,3)B.eq\f(82π＋1,3)C．8(2π＋1)D．16(π＋1)解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱锥的底面边长为2，高为2，所以该几何体的体积为eq\f(1,3)×2×2×2＋eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16π＋8,3)，故选B.答案：B10．[2024·南昌调研]已知三棱锥P－ABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC满意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P的底面ABC的距离为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2eq\r(2).答案：B二、填空题11．[2024·南昌模拟]如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋eq\r(2)π＝(3＋eq\r(2))π.答案：(3＋eq\r(2))π12．[2024·山东潍坊模拟]已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－eq\f(h2,2)，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(h2,2)))h，则V′＝6－eq\f(3,2)h2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，Vmax＝8.答案：213．[2024·福州四校联考]已知三棱锥A－BCD的全部顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱柱的体积为eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，则球O的体积为________．解析：设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×h＝eq\r(3)，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2eq\r(3)，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为eq\f(32π,3).答案：eq\f(32π,3)14．[2024·江苏卷，10]如图所示，正方体的棱长为2，以其全部面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：本题考查组合体体积的计算．多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为eq\r(2)，高为1，∴其体积为eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(2,3)，∴多面体的体积为eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)[实力挑战]15．[2024·广东广州调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．4＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)B．14＋4eq\r(2)C．10＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)D．4解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S－ABCD.连接AC，因为AC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，SC＝eq\r(2\r(5)2＋22)＝2eq\r(6)，SD＝SB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，SB2＋BC2＝(2eq\r(2))2＋42＝24＝SC2，故△SCD为等腰三角形，△SCB为直角三角形．过D作DK⊥SC于点K，则DK＝eq\r(2\r(2)2－\r(6)2)＝eq\r(2)，△SCD的面积为eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3)，△SBC的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×4＝4eq\r(2).所求几何体的表面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×2＋2×eq\f(1,2)×2×2＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)＝10＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)，选C.答案：C16．[2024·河北联盟考试]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A．13B．14C．15D．16解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD－A′B′C′D′所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2×eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)×2＝15，故选C.答案：C17．[2024·广州调研]如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥B－CDE，且长方体的长、宽、高分别为2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,1)，C(0,1,0)，D(1,2,0)，E(0,2,0)，设球心为P(x，y，z)，依题意可得|PB|＝|PC|＝|PD|＝|PE|.由|PD|＝|PE|得(x－1)2＋(y－2)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得x＝eq\f(1,2).由