安徽省合肥市2023～2024学年高二数学上学期第二次单元检测试题含答案

（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,且,则的长为A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据,推出点在双曲线的左支上,再根据双曲线的定义列等式可解得.【详解】因为,所以必在双曲线左支上,所以根据双曲线的定义可得:,又,所以,解得:,故选C.【点睛】本题考查了双曲线的定义,注意先判断出点在双曲线的左支上.属基础题.2.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可.【详解】由得抛物线的标准方程为，所以其准线方程为.故选：C3.过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过解方程组，结合互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.【详解】由可得两直线交点，由第一条直线的斜率为，得到所求直线的斜率为，所求直线的方程为：，即．故选：C4.直三棱柱中，，，则直线与所成角大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三棱锥的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解.【详解】根据直三棱柱的各边长相等且，补全可得如图所示的正方体，易知，为直线与所成角，连接，则为等边三角形，所以，所以直线与所成角的大小为.故选：B5.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.【详解】在数列中，，，则，，于是得数列是周期数列，周期为3，，所以.故选：A6.2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可.【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，其中，根据题意有，，所以，，所以椭圆离心率．故选：A．7.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解．详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，过点作轴的垂线，垂足为，因为，所以，所以，所以点到准线的距离为．故选：C．8.已知是椭圆的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，.由已知可得.进而根据椭圆的方程消去，得到.然后根据椭圆的范围，即可求出，进而求出答案.【详解】设，，.则，，由已知可得，，即，整理可得.因为，所以，所以，又由题意可得，所以.又，所以，所以，即，所以.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20分．每小题有多项符合题目要求，多选、错选不得分，漏选得2分）9.（多选题）下列命题中不正确的是（）A.若与共线，与共线，则与共线B.向量，，共面，即它们所在的直线共面C.若两个非零空间向量，，满足，则∥D.若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ【答案】ABD【解析】【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，故选：ABD10.已知曲线（且），则下列说法正确的是（）A.若，则C为圆B.若，则C为椭圆C.若，则C为双曲线D.若C为焦点在y轴上的双曲线，则【答案】AC【解析】【分析】由表示双曲线，圆以及椭圆的条件逐一判断每一个选项即可求解.【详解】对于AB，若，曲线即，表示原点在圆心半径为1的圆，故A正确B错误；对于CD，若，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确D错误.故选：AC.11.已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的方程是C.的最小值为2 D.直线与有两个公共点【答案】AB【解析】【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；可化为，则，，故A正确；由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；故选：AB12.过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点.若长最小值为6，则下列结论正确的是（）A.抛物线方程为B.的中点到准线的距离最小值为3C.直线的斜率为时，为的一个四等分点D.【答案】ABC【解析】【分析】由题意可知，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，即为通径时，取得最小值，可求得p的值，即可判断A;当PQ为抛物线通经时，的中点到准线的距离最小，判断B;由A的分析求得，可判断C;由A的分析求得，判断D.【详解】当直线斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，，,，当斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，联立直线与抛物线的方程得，可得①，由韦达定理，可得，由抛物线的定义，可得，综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，取得最小值，的最小值为6，，即，抛物线的方程为，故选项正确，当PQ垂直轴时，的中点到准线的距离最小，最小值为，故选项正确，当直线的斜率为时，将，代入①中，可得，解得两根为，不妨取，，由抛物线得的定义可得，，，则,，即为的一个四等分点，故C选项正确．由①可知：，由于，故D错误，故选：三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.椭圆（）的两个焦点为、，且，弦过点，则△的周长是_______．【答案】20【解析】【分析】由题意可得，利用，求出a，再运用椭圆定义得△的周长为即可.【详解】如图所示，由，得，即，椭圆（），∴，得，弦过点，根据椭圆定义得△的周长为.故答案为：20.【点睛】结论点睛：在椭圆中，弦过椭圆的一焦点与椭圆相交于A，B，与另一焦点形成的三角形的周长为.14.设圆与两圆，中一个内切，另一个外切，则圆的圆心轨迹的方程为______.【答案】【解析】【分析】根据题意利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心轨迹的方程.【详解】设、的圆心分别为，圆的半径为.当圆与圆内切，与圆外切时，这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支；当圆与圆外切，与圆内切时，这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，，所以方程为：.故答案为：【点睛】本题考查了利用双曲线的定义求双曲线的标准方程，考查了圆与圆相切的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.15.对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).其中满足抛物线方程为y2=10x的是____________.(要求填写适合条件的序号)【答案】②④【解析】【分析】根据抛物线的几何性质和定义判断可得答案.【详解】解：抛物线y2=10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2=10x上一点，则|MF|=1+=1+≠6，所以③不满足；由于抛物线y2=10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y=k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k=-2，所以④满足.故答案为：②④.16.在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为______．【答案】【解析】【分析】由题意得点的轨迹方程，发现它的轨迹是正方形，只需求出一条边的距离即可.【详解】由题意设，则，用分别用依次代入该方程，发现该方程不变，所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称，不妨设，此时即，它与坐标轴的两个交点坐标为，它们的距离为，所以由对称性得动点P的轨迹长度为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）求两圆公共弦所在的直线方程；（2）求两圆的公共弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解；（2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解.【小问1详解】由题意两圆，方程相减得，，整理得，即两圆公共弦所在的直线方程为.【小问2详解】由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以两圆的公共弦长为.18.已知M为椭圆上的动点，过点M作x轴的垂线，D为垂足，点P满足，求动点P的轨迹E的方程（当点M经过椭圆与x轴的交点时，规定点P与点M重合．）【答案】【解析】【分析】由题意设，则，，结合，得，代入即可得解.【详解】由题意设，则，，所以，又因为，所以，解得，由规定可知，所以，即动点P的轨迹E的方程为.19.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点为，连接，，进而证明四边形为平行四边形即可证明结论；（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【小问1详解】证明：取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且，又因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】解：取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，记平面与平面夹角为，，则，，所以二面角的正弦值为．20.已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点满足，求的面积．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得，结合，，的关系，可得，，即可得到所求双曲线的方程；（2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．【详解】（1）设双曲线的方程为，由，，且该双曲线过点，可得，，又，，双曲线的标准方程为；（2）由，得，．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力．21.已知抛物线上一点到焦点的距离为（1）求的值.（2）过焦点作直线交抛物线于两点，交轴于点，且,证明:为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】分析】（1）根据抛物线第一定义即可求解，再将点横坐标代入即可求解；（2）设直线的方程，先求出点坐标，联立直线和抛物线方程求得关于的一元二次方程，结合韦达定理表示出根与系数的关系，再根据代换出的表达式，结合韦达定理即可求解【详解】（1）由抛物线第一定义得，再将点横坐标代入抛物线方程解得（2）依题意直线斜率存在且不为零，设直线的方程，则代入抛物线得【点睛】本题考查抛物线的几何性质，用解析法求证直线过焦点的定值问题，运算能力，属于中档题22.已知圆F1：（x+1）2+y2=16，F2（1，0），P是圆F1上的一个动点，F2P的中垂线l交F1P于点Q.（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l1与点Q的轨迹E交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点（，0），求k的取值