福建省福州市2023～2024学年高二数学下学期4月期中试题1含答案

2023—2024学年第二学期期中考试高二数学试卷(全卷共6页；四大题；19小题；满分150分；时间：120分钟)学校:___________姓名：___________考号：___________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名.考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致.2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答.请不要错位，越界答题.3.考试结束，考生请将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知函数的图象与直线相切于点，则（）A4 B.8 C.0 D.-82.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（）A.0.384 B. C.0.128 D.0.1043.已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A. B.C. D.4.将8个大小形状完全相同小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A.3 B.6 C.10 D.155.若的展开式中含项的系数为10，则的值是（）A.3 B.4 C.5 D.66.2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（）A. B. C. D.7.盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（）A. B. C. D.8.中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（）附：若：，则，，．A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773二、多选题9.下列选项错误的有（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为6B.在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差C.决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化D.经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则的最小值为D若方程有两个实根，则11.某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：生产线次品率产量（件/天）甲500乙700丙800试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）A.若计算机5次生成的数字之和为，则B.设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则C.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品概率为D.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12.已知随机变量服从正态分布，，则______.13.的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为__________．14.已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是________.四、解答题15.已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．（1）求的离心率；（2）射线与交于点，且，求的周长．16.设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：①，；②；③．请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．17.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．18.经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.360表中（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.19.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635福州外国语学校2023—2024学年第二学期期中考试高二年级数学试卷命题人：施佳林审题人：陈念研(全卷共6页；四大题；19小题；满分150分；时间：120分钟)学校:___________姓名：___________考号：___________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名.考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致.2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答.请不要错位，越界答题.3.考试结束，考生请将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知函数的图象与直线相切于点，则（）A.4 B.8 C.0 D.-8【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果.【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，．则．故选：B．2.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（）A.0.384 B. C.0.128 D.0.104【答案】A【解析】【分析】分析知这二项分布，3重伯努利试验.【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为.故选：A3.已知函数图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数的符号得出原函数的单调性，结合选项可得答案.【详解】由图可得，当时，时，，为减函数，时，，为增函数；当时，时，，为减函数，时，，为增函数；结合选项可知C符合题意.故选：C4.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A.3 B.6 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为.故选：B5.若的展开式中含项的系数为10，则的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项进行计算即可.【详解】的展开式中含项的系数为，解得或（舍），故选：B.6.2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列知识求出7幅作品所有的不同挂法，结合捆绑法，插空法求出美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法，利用间接法求出美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的挂法，根据古典概型概率公式求结论.【详解】由题意知这7幅作品所有的不同挂法有种，美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法有种，美术作品不能挂两端时不同的挂法有种，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的不同的挂法有种，所以事件美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为，故选：B7.盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示第一次抽取的是黑球，则，，事件表示第二次抽取的是黑球，可知，所以故选：A.8.中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（）附：若：，则，，．A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773【答案】D【解析】【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，显然，其中，，故，则，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为故选：D二、多选题9.下列选项错误的有（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为6B.在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差C.决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化D.经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点【答案】AB【解析】【分析】根据样本数据的方差公式，残差图，以及决定系数的定义，以及回归方程的相关知识点，判断选项.【详解】A.由条件可知，数据的方差为，故A错误；B.由残差图的描述可知，宽度越窄表示回归效果越好，故B错误；C.决定系数反映了因变量的变异中可以被自变量解释的比例，故C正确.D.经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点，故D正确.故选：AB10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则的最小值为D.若方程有两个实根，则【答案】BD【解析】【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.【详解】定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，，，，在区间和内各存在一个零点；当时，，，恒成立；有且仅有两个不同的零点，A错误；对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，若当时，，则，C错误；对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，作出图象如下图所示，结合图象可知：，D正确.故选：BD.11.某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：生产线次品率产量（件/天）甲500乙700丙800试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）A.若计算机5次生成的数字之和为，则B.设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则C.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为D.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为【答案】BD【解析】【分析】根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项.【详解】对于A：因为，，所以，故A错误；对于B：由故B正确；对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，则由，故C错误；对于D：由C选项的解析可知，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12.已知随机变量服从正态分布，，则______.【答案】0.2##【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性即可列式求解．【详解】因为，则，∴.故答案为：0.213.的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为__________．【答案】84【解析】【分析】令结合已知列出方程求出的值，进而根据二项式定理展开式的通项公式，化简得出答案.【详解】令结合已知，可得的二项展开式中各项系数之和为，解得，所以，二项式即为，其展开式的第七项为.故答案为：84.14.已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.【详解】由函数，可得，当或时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即为函数的极小值点；要使得函数在区间上有最小值，则满足，即，因为，可得，即，解得，所以，即实数的取值为.故答案为：四、解答题15.已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．（1）求的离心率；（2）射线与交于点，且，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率；（2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长．【小问1详解】依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以离心率；【小问2详解】由（1）可得，，则椭圆方程为，射线的方程为，联立，整理可得，解得或，则，即，所以，解得，则，所以的周长．16.设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：①，；②；③．请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）所选条件见解析，（2）【解析】【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；（2）用错位相减求和.【小问1详解】选①：由得：，所以，又因为，因此数列为等比数列，设数列的公比为，则，由，解得或（舍去），所以；选②：因为，当时，，又，所以，即，所以，所以当时，，两式相减得，即，所以数列是，公比为2的等比数列，所以；选③：因为，当时，，所以，即，当时，，两式相减，得，即，当时，满足上式．所以；【小问2详解】设数列的前项和，故，两式相减得：，化简得，．故数列的前项和.17.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.【小问1详解】当时，，，令可得，故当时，单调递减；当时，单调递增；故递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由可得：函数定义域为，.当时，，此时函数在定义域上单调递减；当时，令，解得；令，解得，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.【小问3详解】因为函数在处取得极值，所以，即，解得.此时，令，解得；令，解得，所以函数在处取得极值，故.所以.因为对，恒成立，所以对，恒成立.令，则.令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，则，解得：.所以实数b的取值范围为18.经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.360表中（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数分布列及数学期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】（1）适宜，（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，转化线性回归方程求解，进而得关于回归方程；（2）由题意，的取值为，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.【小问1详解】根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，则，，关于的回归方程为.【小问2详解】由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，由全概率公式，，，所以取出“死卵”个数的分布列为：012.所以取出“死卵”个数的数学