湖北省2023～2024学年高二数学下学期5月联考试题B卷含答案

2024年高二年级5月联考数学试题B卷时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算的值为（）.A.1B.0C.20D.212.已知等差数列，等比数列，满足，，则（）.A.B.C.2D.43.已知函数，则（）.A.2B.1C.0D.4.设随机变量的分布列为，则的值为（）A.B.C.D.5.的展开式中含项的系数为（）.A.B.C.50D.106.设某批产品中，由甲､乙､丙三个车间生产的产品分别占50%，30%，20%，已知甲､乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%.现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为3.8%，则推测丙车间的次品率为（）.A.4%B.3%C.6%D.5%7.在数学中，自然常数.小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码.如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（）.A.30B.32C.36D.488.已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（）.A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.已知是等比数列，是其前n项和，，下列说法中正确的是（）.A.若是正项数列，则是单调递增数列B.，，一定是等比数列C.若存在，使对都成立，则是等差数列D.若对任意，总存在使成立，则可能是单调递减数列10.甲､乙､丙､丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”､“环境检测”､“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）.A.四名同学的报名情况共有64种B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是D.11.已知函数，则下列说法正确的是（）.A.若在上单调递增，则B.若，则过点能作两条直线与曲线相切C.若有两个极值点，，且，则a的取值范围为D.若，且的解集为，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且期望，则方差__________.13.若定义域都为的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则__________.14.各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球.（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答）16.（本小题满分15分）在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（2）求展开式中所有的有理项.17.（本小题满分15分）某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长t（小时）人数34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.18.（本小题满分17分）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知函数，其导函数为.（1）求函数的极值点；（2）若直线是曲线的切线，求的最小值；（3）证明：.2024年云学名校联盟高二年级5月联考数学评分细则命题学校：黄冈中学命题人：胡小琴郑齐爱审题人：襄阳五中曹标平咸宁高中陈小燕一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】计算得，故选D.2.【答案】B【解析】数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，则.故选B.3.【答案】A【解析】由题设得，，从而.故选A.4.【A卷】【答案】C【解析】.故选C.【B卷】【答案】C【解析】由题意得：，解得：.故选C.5.【答案】D【解析】的展开式通项为，令，3，则的展开式中含项的系数为.故选D.6.【答案】A【解析】设丙车间的次品率为P，由题全概率公式知%%%，解得%.故选：A.7.【答案】C【解析】根据题意，分两种情况：①2排在第一位，则第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1，此时有个不同的密码；②2不排成第一位，则第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，此时有个不同的密码；则一共有个不同的密码.故选C.8.【答案】B【解析】当时，易知函数在上是增函数，不妨设，则.由，所以.所以，即.设，则在区间上是减函数.所以在时恒成立，因为，所以在时恒成立，即在时恒成立，即.而在区间上是增函数，所以的最大值为，所以，又，所以.故答案为：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分.9.【答案】ACD【详解】A中，，所以是单调递增数列，B中反例当，n为偶数，，，为零的常数列，故B错；C中，则是等差数列，C正确；D中由题设，若，则是单调递减数列，故D正确.故答案为：ACD.10.【答案】BCD【详解】解：对于A，由题意可知，甲､乙､丙､丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；对于D，由已知有：，，所以，D正确.故选：BCD.11.【答案】AC【解析】对于A，对求导得：，因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，记，则，因为，当时，，即函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确；对于B，时，，，设图象上一点，则，故过点的切线方程为，将代入上式得，整理得，构造函数，则，构造函数，则，令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以函数单调递增，又，，即方程在区间仅有一解，从而在上也仅有一解，所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误.对于C，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，，即方程有两个解为，，记，因为，当时，，即函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此，函数在处取得最大值，方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点，所以，所以，C选项正确；对于D，由，得，等价于，即，当时，，，又，故，所以，当时，，无解，故的解集为，此时，当时，，，从而D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】2.1【详解】，则有，.13.【答案】2024【详解】对，两边同时求导导数得，则，，…，，从而.故答案为：2024.14.【答案】56【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则，且，相当于6个相同的球排成一排，先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），故共有种.故答案为：56.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）设取出x个红球y个白球，，因为，所以或，∴符合题意的取法种数有种.（2）总分为8分，则取的个数为红球3个，白球2个，将取出的球排成一排分两步完成，第一步先取球，共有种，第二步再排，先把两个白球全排列，再将3个红球插空，共有，根据分步乘法计数原理可得，4种.【只回答的给到9分】.【评分细则】15题.所以或.16.解：（1）展开式的通项为，因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，所以，即，所以.（或舍去）.因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，即.令得，即展开式各项系数和为.（2）由（1）知通项公式：，，，欲求有理项，令，∴，4，8，即当=､4､8时对应的项为有理项，所以所有有理项为：；；.16.（1）展开式的通项为，因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，所以，即，所以.（或舍去）.因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，即.令得，即展开式各项系数和为.此处学生把展开式中所有项的都加起来得到的结果正确不扣分，结果不正确不得分.（2）由（1）知通项公式：，，，欲求有理项，令，∴，4，8，即当､4､8时对应的项为有理项，所以所有有理项为：；；17.解：（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，所以.（2）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以X的分布列为：X0123P所以X的数学期望为.（3）由题意可知，，，所以，，所以.18.解：（1）因为，20，既是等差数列，又是等比数列，所以.又，设公差为d､公比为，则，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）可得，所以，解法一（错位相减法），，所以，所以.解法二（裂项相消法），.因为对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，令，则，所以，…，从而对，，所以，即实数的取值范围为.19.解：（1），，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所