人教版七年级数学下册分类集训专题115期末专项复习之二元一次方程组十四大(原卷版+解析)

专题1L5二元一次方程组十四大必考点

【人教版】

【考点1二元一次方程（组）的概念】...........................................................1

【考点2二元一次方程组的解】................................................................2

【考点3解二元一次方程组】...................................................................2

【题型4同解方程组】.........................................................................3

【题型5二元一次方程组的错解复原问题】......................................................3

【题型6构造二元一次方程组求解】............................................................4

【考点7二元一次方程的整数解】..............................................................4

【考点8二元一次方程组的特殊解法】...........................................................5

【考点9二元一次方程组的新定义问题】.........................................................6

【考点10二元一次方程（组）的规律探究】......................................................7

【考点11二元一次方程（组）的阅读理解类问题】................................................8

【考点12二元一次方程（组）的应用】...........................................................9

【考点13三元一次方程组的解法】.............................................................10

【考点14三元一次方程组的应用】.............................................................11

手，?三

【考点1二元一次方程（组）的概念】

[例I]（2022•浙江•义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①ZL3y=1,②孙=-2,@x2-5x

=5,④x-]2=0中，为二元一次方程的是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【变式1-1]（2022•上海•期末）下列方程组中，二元一次方程组有（）

①闵J'

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式1-2]（2022•全国•八年级单元测试）已知（。一2）X+。2-3+、=1是关于％,y的二元一次方程，则

Q的值为.

【变式1-3]（2022・浙江•杭州市大关中学七年级期末）关于x,y的二元一次方程如+b），=c（mb,c是常数），

b=a+l,s队1,对于任意一个满足条件的小此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为.

【考点2二元一次方程组的解】

【例2】（2022•浙江•华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组二］的解为3则被遮盖

的两个数团和■分别为（）

A.1,2B.5,1C.2,3D.2,4

【变式2-1］（2022•陕西•商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组

｛二=孺二甯时，乐乐看错了方程①中的〃，解得［;二:，果果看错了方程②中的，解得

/2022

求0+（一4h）x的值.

【变式2-2】（2022•江苏•无锡市查桥中学七年级阶段练习）若｛：二12和后;二:是某二元一次方程的解，

则这个方程为（）

A.x+2y--3B.2x—y=0C.y=3x—5D.x—3=y

【变式2-3］（2022•陕西汉中•七年级期末）已知关于％、y的方程组,则下列结论中正确的

有（）

①当a=1时，方程组的解也是方程》+7=2的解；

②当x=y时，a=_*

③不论a取什么数，2%+y的值始终不变.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点3解二元一次方程组】

【例3】（2022•浙江•杭州市实验外国语学校七年级期末）关于％,y方程组｛3£久；彳2满足刈、的和

为2,则in?一2瓶+1的值为.

【变式3-1］（2022•福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组1至+4,=［的解也是方程组

朦二5一二6的解求3的值♦

【变式3-2］（2022•山东•聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组

二:

（3（%+y）-4（%—y）=4

（2）1力+口=1

I26

【变式3・3】（2022•江苏泰州•七年级期末）在等式丁=加+法+1中，当X=-1时，y=6；当x=2时，y

=11.

（1）求小人的值:

（2）当x=-3时，求y的值.

【题型4同解方程组】

【例4】（2022・山东济宁•七年级期末）己知方程组和方程组有相同的解，则a,b的

值分别为（）

A•｛厂：B.｛f=4C.（V；6D.代二手

3=2lb=-6（b=2Ib=2

【变式4-1】（2022•湖北武汉•七年级期末）已知方程组与二s'有相同的解，则巾+

n=.

【变式4-2］（2022•黑龙江•大庆市高新区学校七年级期末）关干x.y的两个方程组｛。;1,黑二？和

二跄U有相同的解，则押值是（）

A.-B.-C.--D.-

3232

【变式4-3】（2022•陕西安康•七年级期末）已知关于3,V的二元一次方程组和｛『二/二二

的解相同，求Q+b的值.

【题型5二元一次方程组的错解复原问题】

【例5】（2021•山东滨州七年级期末）解方程组偿雪;;时，一学生把曙错而得到｛j蠢2,而正确

的解是｛::耳，那么。+力+c的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式5・1】（2022・四川巴中•七年级期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组=一；&时，甲因看

（ax+by=-5②

错〃得到方程组的解为［二;，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为｛；二二：.

⑴求〃、b的值;

⑵求原方程组的解.

ax-Sy=15①

【变式5-2】（2018•江西宜春•七年级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的Q得到

4x—by=-2@

方程组的解为二:；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为若按正确的a,b计算，请你求原

方程组的解.

⑴计算：F(1213),尸(8567)；

⑵若"M数，=8900+10x+y(1<x<9,1<y<9,x,y都是正整数)，/(九)也是数〃，旦产(九)能

被8整除.求F[F(n)]的值.

【变式7・3】(2022•重庆涪陵•七年级期末)对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m,若m的十

位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”.当三位自然数m为“三峡数〃时，交换机

的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n,规定F(m)=*.例如：当m=583时，因为5+3=8,

583-385198

所以583是“三峡数"；此时n=385,则F(m)=登---------=——=2n.

9999

⑴判断341和153是否是“二峡数〃？并说明理由；

⑵求户(352)的值；

⑶若三位自然数m=100a+10(a+b)+b(即m的百位数字是a,十位数字是Q4-b,个位数字是b,1<a<

9,l<d<9,a,匕是整数，1Wa+bW9)为"三峡数〃，且F(m)=5时，求满足条件的所有三位自然数m.

【考点8二元一次方程组的特殊解法】

【例8】(2022•福建省永春乌石中学七年级阶段练习)数学方法:

解方程组:吃“1奢一乳=2，若设2%+y=m,%-2y=ri,则原方程组可化为｛羿"=26

(2(2%+y)+3(x-2y)=13127n4-3n=13

解方程组得｛工裳，所以优贰U，解方程组得后二，我们把某个式子看成一个整体，用一个字

母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法.

⑴直接填空：已知关于斯y的二元一次方程组二;，的解为｛菰才，那么关于加、〃的二元一次

方程纣淤+n)+/>(m-n)=6的解为：_____________.

｛b｛m+九)+a(m—n)=3

(也一曰=4

⑵知识迁移：请用这种方法解方程组23.

(2(x+y)+x-y=16

⑶拓展应用：已知关于x,y的二元一次方程组匿机设二鲁的解为｛:二3，

求关于x,)，的方程组普翁/的解•.

(2a2x+362y=5c2

---=1

【变式8-1](2022•上海市复旦实验中学八年级期末)用换元法解方程组H”1时，可设工==v,

-+—=1*y+】

\Xy+i

则原方程组可化为关于〃、好的整式方程组为

x+y=22①

【变式8-2】(2022・陕西•西大附中济浦中学八年级期末)解方程组:

4(%+y)-5(x-y)=-2@

【变式8-3](2022•北京朝阳•七年级期末)阅读下列材料并填空:

(1)对于二元一次方程组工我们可以将％,y的系数和相应的常数项排成一个数表W，求

得一次方程组的解;，用数可表示为(：；；).用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全

其中的空白：

上行f3叫m-J3018]上二、06_fl06]卜叫

下行[1336；{\336JU336}10330)

从而得到该方程组的解为&二二Z二.

(2)仿照(1)中数表的书写格式写出解方程组的过程.

【考点9二元一次方程组的新定义问题】

【例9】(2022•贵州•铜仁市第十一中学七年级阶段练习)我们规定：[m]表示不超过m的最大整数，例如：

[3.1J=3,[0J=0,1-3.1]=—4,则关于"fly的二元一次方程组俨]：二一瞥二的解为()

{X-[y]=[3.2]

A(x=3.2,(x-2.4,*(x=3,卜(4=3.4,

A.{DB.<C.{D.{

(y=0.2(y=1.2(y=0.2(y=0.2

【变式9-1](2022・江苏•盐城市初级中学七年级期末)如果一个正整数m=aZb2(a,b均为正整数，且axb)我

们称这个数为“平方差数"，则a,b为m的一个平方差分解，规定：F(m)耳例如：8=8xl=4x2,由8=a2-b2=(a-

b)(a+b),可得或因为a,b为正整数，解得{；；：，所以F(8)总试求F(45)的值

为.

【变式9・2】(2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习)定义新运算12对于任何非零实数人b.都有

ax-by.

(1)若2团2=-3,求x-y的值；

(2)若313(-2)=3,(-2)123=8,求x、y的值.

【变式9-3](2022•江苏南通•七年级期末)定义：数对(x,y)经过一种运算可以得到数对(/,、')，将该运算

记作：

d(x,y)=(x；/),其中匕=Q'+?(①b为常数).

(y=ax-by

例如，当a=1,b=1时，d(—2,3)=(1,-5).

(1)当。=2,b=l时，d(3,l)=:

⑵若d(-3,5)=(-1,9),求a和b的值;

⑶如昊组成数对(x,y)的两个数％,y满足二元一次方程％-3y=0时，总有d(x,y)=(--y),则

a=,b=.

【考点10二元一次方程（组）的规律探究】

【例10】（2022秋•四川成都•七年级统考期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛

书"，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州.图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字

表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3X3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对

角线上的数字之和都相等.在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这人规律，则a+b的值为（）

492a12-2

357048

81610b6

图2图3

B.-2C.4D.6

【变式10-1]（2022春•北京石景山•七年级统考期末）下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间

的对应关系：

序号123..n

2x+y=32x+y=52x+y=7

方程组

'-x—2y=44-4y=164-6y=36

x=2x=4x=6

R=-10=—3ty=-5

方程组解

按此规律，第n个方程组为,它的解为（n为正整数）.

【变式10-2]（2022秋♦陕西宝鸡•八年级统考期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图

案，每条边（包括两个顶点）有〃（〃:>1）盆花，每个图案花盆的总数为s.按此规律推断，以s,〃为未知数的

二元一次方程为.

O

oOO

ooOO

)00(

n=2n=3w=4

【变式10-3】(2022秋•湖北省直辖县级单位•七年级统考期中)观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分

【例11】(2022秋•重庆大渡口•八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末)阅读下列材料，回答问题.

对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数"，将

一个“相异数〃任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111

的商记为尸(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对

调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,因为666+111=6,所

以“123)=6.

(1)计算：F(341)=,F(625)=:

(2)若s,t都是"相异数"，其中s=100%+32,t=150+y,1<%<9,1&yK9且％,y都是正整数，规

定k=F(s)-F(t),当F(s)+尸(t)=19时，求k的最小值.

【变式11-1】(2022春・广西南宁•七年级统考期末)【阅读理解】我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但

在实际问题中往往只需求出其正整数解.

例如：由Zi+3y=12,得：y=12~2x=4-^x(x、y为正整数).

要使y=4为正整数，则疑为正数可知：k为3的倍数，从而x=3,代入y=4-打=2.

所以2x+3y=12的正整数解为「:•

⑴【类比探究】请根据材料求出方程九+2)，=8的正整数解.

⑵【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有

几种截法？

【变式11-2】(2022春•重庆•八年级重庆八中校考期末)阅读以下材料，并利用材料知识解决问题.

材料一：如果实数m6满足a(b-1)=6-2b,那么就称。和b是一组“创意数对”，用有序数对(a,b)表示.例

如：由于1'(3-1)=6-2*彳所以(1,9是"创意数对”•

材料二：任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积：M=AxB,对于M的所有分解，当口一团最小

时，我们称此分解为M的“和值分解”，并记F(M)=A+B.例如:对于18=lxl8=2x9=3x6,0|3-6|<

|2-9|<|1-18|,018=3x6是18的“和值分解〃，尸(18)=3+6=9.

⑴是否存在实数机，使得(2,m)是“创意数对〃？如果存在，请求解出山的值；若不存在，请说明理由；

⑵一人两位数N的十位数字为",个位数字为y,若&j)是“创意数对”，请求解F(N)的最小值.

【变式11-3】(2022春•重庆大渡口•七年级统考期末)阅读下列材料，并根据材料回答以下问题

材料一：一个三位数，各个数位均不相等且不等于0,满足这样条件的数叫"无独数".任选无独数的两个数

字，组成六个新的两位数，并把这六个两位数相加得到的和再除以11,得到的结果记作P(G).例如：无独

数351,得到的六个两位数分别为：35,31,53,51,13,15,则/(351)=^二18.

材料二：一个三位数，各个数位上的数字均为偶数，且百位数字最大，称这样的三位数为“有偶数”.

⑴产(256)=；最小的有偶数为；

⑵试说明任意一个无独数〃?，F(m)的值均能被2整除；

⑶若一个三位数，，既是无独数，又是有偶数，且F5)的结果为6的倍数，求满足条件的所有〃.

【考点12二元一次方程(组)的应用】

【例12】(2022•河南•南阳市第十九中学七年级阶段练习)一方有难，八方支援."新冠肺炎〃疫情来袭，除

了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心

物资，两次满载的运输情况如表：

甲种货车(辆)乙种货车(辆)总量(吨)

第一次4531

第二次3630

⑴甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？

⑵现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方

案？

⑶若1辆甲种货车需租金120元/次，1辆乙种货车需租金100元次.请求出（2）中哪种租车方案费用最少，

最少费用是多少？

【变式12-1】（2022•重庆大足•七年级期末）今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机.前

三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%,后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款

手机的数量少40%,结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多

12%,若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%,在整个销售期间甲

乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为.

【变式12-2]（2022•重庆铜梁•七年级期末）端午节临近，某超市热销A、B、C三种粽子，其中其每千克B

种粽子的成本价比每千克4种粽子的成本价高50%,每千克。种粽子的成本价是每千克A种粽子的成本价

的2倍.最近，超市打算将三种粽子混装配成甲、乙、丙三种礼品盒进行销售（礼品盒的盒子成本价不计）.其

中甲礼品盒有4种粽子3千克、8种粽子2千克、C种粽子2千克；乙礼品盒有A种粽子2千克、5种粽子

3千克、C种粽子3千克；丙礼品盒有A种粽子4千克、8种粽子2千克、C种粽子4千克.销售时，每个

丙礼品盒在成本价基础上提高g后销售，甲、乙礼品盒的利润率都为20%.端午节前一天，该超市售出这三

种礼品盒后获利25%,已知售出甲、丙礼品盒两种共25盒，且甲礼品盒不低于12个.则该超市当天售出

三种礼品盒共个.

【变式12-3】（2022・重庆•模拟预测）唐代诗人杜甫曾至IJ“读书破万卷，下笔如有神〃.为了提升全民素养，

某书店搞了一次现场促销活动，活动中名著和儿童读物两类图书套装优惠力度较大，其中每一类套装里含

有线装本，精装本，平装本三种不同材质的图书，两类图书套装中相同材质图书的售价相同，且每一类套

装中数量均为44本，其中名著套装内线装本，精装本，平装本数量之比为4：3：4,儿童读物套装内线装

本，精装本，平装本数量之比为3：6：2.已知一套名著套装和一套儿童读物套装的售价之和与62本精装

本图书的售价相同，一本精装本图书售价是一本线装本图书售价的2倍，每套名著套装的利润率为20%,

每套儿童读物套装的利润率为36%,则当销售名著套装与儿童读物套装的数量之比为9：14时，该书店销

售这两类套装的总利润率为.

【考点13三元一次方程组的解法】

【例13】（2022•四川•隆昌市知行中学七年级阶段练习）已知％、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5,

x+y-z=2,若S=2%+y-z,则S的最大值与最小值的和为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式13-1]（2022・全国•七年级课时练习）解下列三元一次方程组:

（4x-9z=17（2x+4y+3z=9

（1）j3x+y+15z=18；（2）3x-2y+5z=11.

Ix+2y+3z=2（5x-6y+7z=13

【变式13-2】（2022•广东•可园中学七年级期末）在等式y=ax?+族+c中，当％=1时，y=0：当％=-1

时，y=-2：当％=2时，y=7.

⑴求mb,c的值；

（2）求当％=—3时，y的值.

【变式13-3】（2022•吉林长春•七年级阶段练习）已知三个方程构成的方程组%y-2y-3%=0,yz-3z-

5y=0,%z—5%—2z=0,恰有一组非零解％=a,y=btz=c,则Q2+b?+c?=.

【考点14三元一次方程组的应用】

【例14】（2022•重庆・华东师范大学附属中旭科创学校九年级期末）新世纪百货推出A,B,。三种零食大

礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成.三种大礼包的成本分别为礼包中三

种零食的成本之和，同种零食的单价相同.已知2袋牛肉干和5袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含6袋坚

果、4袋牛肉干和2袋薄脆饼，一份B礼包包含4袋坚果、6袋牛肉干和4袋薄脆饼.若一份B,C礼包的成本

相同，均比一份4礼包的成本贵40%,一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为3：2,

且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份。礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少袋.

【变式14-1】（2022•湖北黄冈•七年级阶段练习）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔

10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需（）

A.4.5元B.5元C.6元D.6.5元

【变式14-2】（2022•重庆市永川区教育科学研究所一模）某中学科技节颁奖仪式隆重举行，其中小科技创

新发明奖共有60人获奖，原计划特等奖5人，一等奖15人，二等奖40人.后来经校领导开会研究决定，

在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：特等奖8人，一等奖18人，二等奖34人，

调整后特等奖每人奖金降低40元，一等奖每人奖金降低20元，二等奖每人奖金降低10元，调整前一等奖

每人奖金比二等奖每人奖金多70元，则调整后特等奖每人奖金比一等奖每人奖金多元.

【变式14-3】（2022•重庆丰都•七年级期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆.新疆长绒棉花是世界顶级

棉花，品质优，产量大，常年供不应求.丰都县某超市为了支持新疆棉花，在“五一节〃进行促销活动，将新

疆棉制成的A、B、C三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售.其中甲礼包含1条A品牌毛巾、2条8

品牌毛巾：乙礼包含2条A品牌毛巾、2条5品牌毛巾，3条C品牌毛巾；丙礼包含2条A品牌毛巾、4条

。品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和.5月1日当天，超市对4、3、C三个品牌毛巾

的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2

日一个乙礼包售价的40%,5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若4、B、C三

个品牌的毛巾原价都是正整数，且△品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买一个丙礼包,应

该付元.

专题1L5二元一次方程组十四大必考点

【人教版】

【考点1二元一次方程（组）的概念】.........................................................13

【考点2二元一次方程组的解】................................................................15

【考点3解二元一次方程组】..................................................................17

【题型4同解方程组】........................................................................19

【题型5二元一次方程组的错解复原问题】.....................................................22

【题型6构造二元一次方程组求解】............................................................25

【考点7二元一次方程的整数解】..............................................................27

【考点8二元一次方程组的特殊解法】.........................................................30

【考点9二元一次方程组的新定义问题】.......................................................33

【考点10二元一次方程（组）的规律探究】.....................................................36

【考点11二元一次方程（组）的阅读理解类问题】...............................................39

【考点12二元一次方程（组）的应用】.........................................................43

【考点13三元一次方程组的解法】..............................................................47

【考点14三元一次方程组的应用】..............................................................50

力»浮一更三

【考点1二元一次方程（组）的概念】

【例1】（2022•浙江•义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①②孙

=-2,@x2-5x=5,④x-；+2=0中，为二元一次方程的是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【答案】A

【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式

方程进行判断.

【详解】解：@2x-3y=l,符合二元一次方程的定义，是二元一次方程；

@xy=-2,含未知数的项的次数是2,不是二元一次方程；

③/-5x=5,含未知数的项的次数是2,不是二元一次方程；

④x-，2=0不是整式方程，不是二元一次方程；

故选：A.

【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2

个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程.

【变式（2022•上海•期末）二列方程组中，二元一次方程组有（）

①仅②匕久二③口二C32：i3-

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次

数都应是一次的整式方程.

【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；

②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意：

③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；

④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件:

①方程组中的两个方程都是整式方程.②方程组中共含有两个未知数.③每个方程都是一

次方程.

【变式1-2］（2022•全国•八年级邑元测试）已知（0-2）%+小一3+丫=1是关于％,y的二

元一次方程，则a的值为.

【答案】a工2

【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，

像这样的方程叫做二元一次方程可得Q-2H0,再解即可.

【详解】解：依题意得：Q—2H0,

解得a*2.

故答案是：aH2.

【点睛】本题考查二元一次方程的定义.熟记二元一次方程的定义是解题的关键.

【变式1-3］（2022•浙江•杭州市天关中学七年级期末）关于x,y的二元一次方程ar+by=c

（a,b,。是常数），加cAl,对于任意一个满足条件的小此二元一次方程都有一

个公共解，这个公共解为.

【答案】俘工1

【分析】由ar+b尸c,b=a+l,c=b+l,得ar+qy+y=a+2,由对于任意一个满足条件的a,此二

元一次方程都有一个公共解即可求解：

【详解】解：0ar+外=c,h=a+l,c=h+lf

回对于任意一个满足条件的小此二元一次方程都有一个公共解

团令〃=0,则1y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2

得：ax=-a,

团公共解为｛.

【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b="l,。%+1得到"+@+户"2是解题的关键.

【考点2二元一次方程组的解】

【例2】（2022・浙江•华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程蛆的解为

则被遮盖的两个数团和■分别为（）

A.1,2B.5,1C.2,3D.2,4

【答案】B

【分析】将％=2代入x+y=3中求出y的值，将％,y的值代入2x+求值即可得出答案.

【详解】解：将％=2代入x+y=3中得：y=l,

2x+y=2x2+l=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是方程组两个方程的公

共解是解题的关键.

【变式2-1］（2022•陕西•商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同

解方程组｛匕［5怖］翦时，乐乐看错了方程①中的小解得二:，果果看错了方程

②中的。，解得戏：,求/021+（_卷）2。22的值

【答案】0

【分析】把｛；;二:代入②得出-12=-b-2可求出b,把::代入①得出5a+20=15

可求出Q,然后再代入求代数式的值即可.

【详解】解：・甲、乙两人同解方程组『：十51二黑时，甲看错了方程①中的Q,

［4x=by-2（2）

解得二:，乙看错了方程②中的瓦解得忧:，

••・把代入②，得—12=-8一2,解得：8=10,

把，二:代入①，得5a+20=15,解得：。=一1,

Q2021+（_±）2022

=（-1）2。2】+（4严2

=-1+1

0.

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题

的关键是列出关于a、b的一元一次方程求得a、b的值.

【变式2-2］（2022•江苏•无锡市查桥中学七年级阶段练习）若｛：二,2和［J二］：是某二元

一次方程的解，则这个方程为（）

A.x+2y=-3B.2x—y=0C.y=3x—5D.x-3=y

【答案】D

【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可.

【详解】解：A、当％=-1,y=-4时，x+2产-9/-3,

故｛；;二:不是方程户2尸-3的解，不符合题意；

B、当x=l,y=-2时，2x-y=2+2x-3,

故｛；二,2不是方程2%—y=o的解，不符合题意；

C、当％=-1,y=-4时，y=3x-5=-8¥：-4,

故二;不是方程y=3x-5的解，不符合题意；

D、当Jl2z和C二一：时，方程*—y=3都成立，

故｛；2和｛；;二:是方程、一＞=3的解,故符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为

该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键.

【变式2-3］（2022•陕西汉中•七年级期末）已知关于％、V的方程组:31a二，则下

列结论中正确的有（）

①当。=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解；

②当工=y时，Q=-1；

③不论a取什么数，2%+y的值始终不变.

A.。个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】将已知代入二元一次方程组后进行判断，可知①②是否正确；用代入消元法解二

元一次方程组，然后再求2%+y即可判断③是否正确.

【详解】解：当a=l时，x4-y=0,

故①不符合题意；

当％=y时，3Q+5=0,

故②符合题意；

(x+y=l-a①

(X—y=3a+5②'

①+②得，x=a+3,

将x=a+3代入①得，y=-2—2a»

•••2%+y=2Q+6—2—2a=4,

•••2x+y的值始终不变，

故③符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的

关系，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.

【考点3解二元一次方程组】

【例3】(2022•浙江•杭州市实验外国语学校七年级期末)关于无，V方程组

(ZX十3y—771

满足，y的和为2,则加2一2租+1的值为.

【答案】9

【分析】先求出方程组的解，然后结合％+y=2,求出机的值，再代入计算，即可求出答

案.

【详解】解:啜雷7勺2,

解方程组,喉黑:,

0%+y=2,

02m—6—m+4=2,

解得m=4,

0m2-2m4-1=(m—l)2=(4—I)2=9：

故答案为：9

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，求代数式的值，解题的关键是正确的

求出方程组的解，从而求出机的值.

【变式3-1](2022•福建省永春乌石中学七年级阶段练习)已知方程组的解也

是方程组成-？=S的解求°力的值.

(4%—5y=—6

【答案】a=5,b=-1

【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程

组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案.

【详解】3%+y=5①4x-5y=-60,①x(-5)一②得，-19%=-19,解得％=1,

把％=1代入①得，3+y=5,解得y=2,

所以方程组[4；：&七+6的解是I：!，

端二代入方程组右沈；，得十二工，解得H

故答案为：a=5,b=-1.

【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是

要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组.

【变式3-2](2022•山东•聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习)解方程组

(3(4+y)—4(4-y)=4

⑵|上+口=i

I26

【答案】⑴二2

【分析】(1)用代入法求解即可；

(2)先化简方程，再用加减法求解即可.

(1)

解#=2%-々，

(3x+y=1(2)

把①代入②得：3x+2x-4=L

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-2,

则方程组的解为Y二二2:

(2)

+7=4

解：方程组整理得：hy®t

{2x+y=3®

①x2+②得：

解得：产遂

②x7-①得：15x=17,

解得:x==，

x=­

则方程组的解为{*.

y=­

V15

【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和

加减消元法求解是解题的关键.

【变式3-3](2022•江苏泰州•七巨级期末)在等式旷=加+云+1中，当x=-1时，y=6；

当x=2时，y=ll.

(1)求小b的值；

(2)当x=-3时，求y的值.

【答案】(1)a号,从春(2)36

【分析】(1)把小y的值分别代入产加+法+1,得出关于小匕的方程组，再求出方程组

的解即可；

(2)把x=-3代入(1)中所求的结果，即可求出y.

【详解】解：(1)根据题意，得L

4Q+2b+1=11(2)

①x2+②，得6a+3=23,

解得：。=辛，

把所学代入①，得攀加1=6,

解得:b哼

(2)y=yX2-1x+1,

当4-3时，y=与x(-3/一?X(-3)+1=36.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于。、b的方程组是解此题的关键.

【题型4同解方程组】

[例4](2022・山东济宁•七年级期末)已知方程组落;;二;和方程组卷"二g有相同

的解，则Q,b的值分别为()

(a=1(a=4-(a=—6fa=14

AA.,_DB.J,C.),_