专题02《分数的巧算》解析

2022-2023学年六年级奥数举一反三典型题检测专题02分数的巧算试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（3分）三个既约真分数、、的积为，则++＝（）A． B． C． D．【思路引导】根据三个既约真分数、、的积为，求出a，b，c的值，再求++．【完整解答】解：由题意，××＝，所以abc＝360＝23×32×5，∵、、是三个既约真分数，∴a＝9，b＝5，c＝8，∴++＝＝，故选：D。【考察注意点】本题考查既约真分数，考查分解质因数，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确理解既约真分数的概念．2．（3分）算式2013×+2014×+计算结果是（）A．4027 B．4029 C．2013 D．2015【思路引导】＞1，那么2013×＞2013；＞1，那么2014×＞2014，2013+2014＝4027，所以计算的结果一定大于4027，再从选项中选出结果即可．【完整解答】解：＞1，那么2013×＞2013；＞1，那么2014×＞2014，2013+2014＝4027，则2013×+2014×+＞4027选项中只有4029＞4027，所以只能这个选项正确．故选：B。【考察注意点】解决本题不需要计算出算式的结果，根据一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数，找出算式结果的取值范围，再根据选项进行排除求解．3．（3分）+++…+＝（）A． B． C． D．【思路引导】+++…+＝（+…+﹣），即可得出结论．【完整解答】解：+++…+＝（+…+﹣）＝（﹣）＝，故选：C。【考察注意点】本题考查分数的巧算，考查裂项法的运用，正确裂项是关键．4．（3分）计算（9999×+3333×﹣6666×）÷﹣2012的结果为（）A．3333 B．1331 C．1332 D．1321【思路引导】先约分，再根据乘法的交换律简算即可．【完整解答】解：（9999×+3333×﹣6666×）÷﹣2012＝（3333×+3333×﹣2222×）÷﹣2012＝[3333×（+）﹣2222×]÷﹣2012＝[3333﹣2222×]÷﹣2012＝﹣2012＝3333﹣2012＝1321故选：D。【考察注意点】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．5．（3分）从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是（）A． B． C． D．【思路引导】这五个分数的总和为1.45，而≈0.857，前者比后者大0.593，所以题目即需要从前面五个分数中选出两个，使他们的和最接近0.593，比较后可得应选和．【完整解答】解：++++＝++＝1＝1.45，≈0.857，1.45﹣0.857＝0.593，所以题目即需要从五个分数中选出两个，使他们的和最接近0.593，比较后可得应选和．故选：D。【考察注意点】先求出五个分数的和，然后用和减去，得出一个差，看看那两个分数的和与这个差最接近．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）算式（202﹣192）÷（﹣）的计算结果为780。【思路引导】根据平方差公式简算即可。【完整解答】解：（202﹣192）÷（﹣）＝（20+19）×（20﹣19）÷＝39×20＝780故答案为：780。【考察注意点】解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算。7．（2分）一个自然数，与它的倒数的差为19，那么这个自然数为20。【思路引导】根据题意可得这个自然数一定不是1，这样这个自然数的倒数一定是真分数，所以这个自然数与它的倒数的差相差一个分数单位，即这个自然数为20；据此解答即可。【完整解答】解：因为这个自然数与它的倒数的差相差一个分数单位，即差19的分母就是这个自然数20。故答案为：20。【考察注意点】解答本题关键是明确倒数的意义和求法。8．（2分）算式（+）÷（﹣）的计算结果是2020。【思路引导】先算小括号里的加法和减法，再算除法。【完整解答】解：（+）÷（﹣）＝（）÷（）＝＝＝2020故答案为：2020。【考察注意点】熟练掌握分数四则混合运算的顺序是解题的关键。9．（2分）将化为有限小数：0.4375。【思路引导】先将分数约分，再进行除式运算。【完整解答】解：＝＝7÷16＝0.4375故答案为0.4375。【考察注意点】化为有限小数做除法之前，化为最简分数看可以减少计算量。10．（2分）计算：×+×＝。【思路引导】把×变成×，然后根据乘法的分配律简算即可。【完整解答】解：×+×＝×+×＝×（+）＝×2＝故答案为：。【考察注意点】本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解和灵活应用。11．（2分）算式（63﹣）÷（1﹣）的计算结果是64．【思路引导】根据商不变的性质和平方差公式简算即可．【完整解答】解：（63﹣）÷（1﹣）＝[（63﹣）×63]÷[（1﹣）×63]＝（632﹣1）÷（63﹣1）＝63+1＝64故答案为：64．【考察注意点】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．12．（2分）计算：×＝．．【思路引导】将分数的分子与分母分别写成两项的积，约分可得结论．【完整解答】解：×＝＝．故答案为．【考察注意点】本题考查分数的巧算，考查学生的计算能力，解题的关键是将分数的分子与分母分别写成两项的积．13．（2分）已知2016S＝1+2×（1+）+3×（1+）2+…+2016×（1+）2015，则S＝2016．【思路引导】根据等式的特点，通过两边同乘同一常数的方法进行求和，可得结论．【完整解答】解：∵2016S＝1+2×（1+）+3×（1+）2+…+2016×（1+）2015，①∴2016×（1+）S＝1×（1+）+2×（1+）2+3×（1+）3+…+2016×（1+）2016，②①﹣②得﹣S＝1+（1+）+（1+）2+…+（1+）2015﹣2016×（1+）2016，令S′＝1+（1+）+（1+）2+…+（1+）2015，③则（1+）S′＝（1+）+（1+）2+（1+）3+…+（1+）2016，④③﹣④可得﹣S′＝1﹣（1+）2016，∴S′＝﹣2016+2016×（1+）2016，∴﹣S＝﹣2016，∴S＝2016．故答案为2016．【考察注意点】本题考查分数的巧算，考查方程思想，正确同乘常数是关键．三．计算题（共8小题，满分39分）14．（4分）计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：（1）（）×（2）【思路引导】计算四则混合运算时，要按照运算顺序，先算乘除，后算加减，同一级运算，按从左到右的运算顺序计算，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的，如果既含有小括号又含有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的．能简算的要简算．【完整解答】解：（1）（）×＝+＝1（2）＝×（）＝×5＝2【考察注意点】本题考查的目的是让学生熟练掌握四则混合运算的顺序．15．（5分）计算：1997÷1997+1÷1999．【思路引导】根据倒数的意义把前一项算式变形再根据除法的性质简算．【完整解答】解：1997÷1997+1÷1999＝1÷（1997÷1997）+1÷1999＝1÷（1）+1÷1999＝＝1【考察注意点】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．16．（5分）计算：（1）1+22+333+4444+5555+666+77+8（2）3×1+6×+4÷（3）3（x+5）﹣17＝7（x﹣2）（4）（3x+2）：3＝（9x﹣2）：5．【思路引导】第（1）题，利用两数相加得到都是含有1个到4个9的数，再进行加减运算第（2）题，把带分数化成假分数，再运算第（3）题，先去括号，再把未知数x的项移到一边，解方程第（4）题，把比的形式化成两乘积的形式，再解方程【完整解答】解：（1）1+22+333+4444+5555+666+77+1+8＝1+8+22+77+333+666+4444+5555＝9+99+999+9999＝（10﹣1）+（100﹣1）+（1000﹣1）+（10000﹣1）＝（10+100+1000+10000）﹣1×4＝11110﹣4＝11106（2）3×1+6×+4÷＝+＝+＝＝＝＝＝（3）3（x+5）﹣17＝7（x﹣2）⇒3x+15﹣17＝7x﹣14⇒15+14﹣17＝7x﹣3x⇒12＝4x∴x＝3（4）（3x+2）：3＝（9x﹣2）：5⇒（3x+2）×5＝（9x﹣2）×3⇒15x+10＝27x﹣6⇒10+6＝27x﹣15x⇒16＝12x∴x＝【考察注意点】本题考查了整数和分数运算，本题突破点：交换位置；带分数化成假分数；先去括号，再求解；比的形式化成乘积的形式．17．（5分）计算及解方程（1）3×4.4+×16+2÷（2）22+42+62+82+102+122+142+162（3）﹣+﹣（4）﹣＝1．【思路引导】（1）利用结合律，可得结论；（2）（3）直接计算得出结论；（4）利用一元一次方程的求解方法，即可解方程．【完整解答】解：（1）3×4.4+×16+2÷＝+6＝+6＝24+6＝30；（2）22+42+62+82+102+122+142+162＝4+16+64+100+144+196+256＝816；（3）﹣+﹣＝＝；（4）﹣＝1，去分母6（x+1）﹣（29﹣x）＝12，去括号6x+6﹣29+x＝12，移项、合并同类项，7x＝35，两边同除以7，x＝5【考察注意点】本题考查分数的巧算，考查一元一次方程的解法，属于中档题．18．（5分）用你喜欢的方法计算：×4.5+4.5×60%+0.68×4×12.5××40【思路引导】（1）、（3）根据乘法的分配律简算即可．（2）根据乘法的交换律与结合律简算即可．【完整解答】解：（1）×4.5+4.5×60%+0.6＝0.6×（4.5+4.5+1）＝0.6×10＝6（2）8×4×12.5×＝（8×12.5）×（×4）＝100×1＝100（3）×40＝×（39+1）＝×39+＝11+＝【考察注意点】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．19．（5分）计算：（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1）.【思路引导】观察发现，可以把原式变形为10﹣（﹣+++++++﹣++），再进一步化简即可。【完整解答】解：（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1）.＝10﹣（﹣+++++++﹣++）＝10﹣×（）＝10﹣×＝10﹣＝9【考察注意点】本题主要考查了学生对于探索规律进行计算的知识的掌握情况，把原式变形为10﹣（﹣+++++++﹣++）是解题的关键。20．（5分）1﹣（）2×（）2×（）2×（）2【思路引导】将拆成×、拆成×、拆成、拆成×，再进一步计算即可。【完整解答】解：1﹣（）²×（）²×（）²×（）²＝1﹣（×）²×（×）²×（）²×（×）²＝1﹣（）²×（）²×（）²×（）²＝1﹣＝1﹣＝【考察注意点】发现原式可变形为：“1﹣（×）²×（×）²×（）²×（×）²”是解题的关键。21．（5分）计算。（能简算的要简算）①75×+25×②÷[×（2﹣）]③34×99④×+⑤××28×45⑥[1﹣（+）]÷【思路引导】①根据乘法分配律的逆运算简算；②先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法；③先把99写成（100﹣1），然后根据乘法分配律简算；④先把除法变为乘法，再根据乘法分配律简算；⑤根据乘法交换律和结合律简算；⑥先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的除法。【完整解答】解：①75×+25×＝（75+25）×＝100×＝60②÷[×（2﹣）]＝÷[×]＝÷＝③34×99＝34×（100﹣1）＝34×100﹣34＝3400﹣34＝3366④×+＝×+×＝×（+）＝×1＝⑤××28×45＝（×28）×（×45）＝12×25＝300⑥[1﹣（+）]÷＝[1﹣]÷＝＝【考察注意点】本题考查了四则混合运算的运算顺序、运用合适的运算律简便计算的方法。四．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）22．（5分）计算（4﹣0.8+3）×[（7+2.6）×1.25]【思路引导】计算四则混合运算时，要按照运算顺序，先算乘除，后算加减，同一级运算，按从左到右的运算顺序计算，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的，如果既含有小括号又含有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。【完整解答】解：（4﹣0.8+3）×[（7+2.6）×1.25]＝（4+3﹣）×[（7+2）×]＝（8﹣）×[10×]＝8×10×﹣×10×＝10010＝90【考察注意点】本题考查的目的是让学生熟练掌握四则混合运算的顺序。23．（5分）求++++……++的整数部分．【思路引导】设x＝++++……++，根据＝1+＝1+2（﹣）（2≤n≤2017），可得：x＝2016+2×（1﹣+﹣+…+﹣），据此求出它的整数部分是多少即可．【完整解答】解：设x＝++++……++，因为＝1+＝1+2（﹣）（2≤n≤2017），所以x＝2016+2×（1﹣+﹣+…+﹣）＝2016+2×（1+﹣﹣）＝2019﹣所以[x]＝2018．答：++++……++的整数部分是2018．【考察注意点】此题主要考查了分数的巧算问题，要熟练掌握，解答此题的关键是求出通项公式是多少．24．（5分）计算：++++＝．【思路引导】先计算出每个分数，即原式＝++++，再把每个分数拆成拆成“1+分数单位”的形式，然后把分数单位进一步拆分，通过加减相互抵消，求出结果．【完整解答】解：++++＝++++＝（1+）+（1+）+（1+）+（1+）+（1+）＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）＝5+×（1﹣+﹣+…+﹣）＝5+×（1﹣）＝5+×＝5+＝故答案为：．【考察注意点】此题解答的关键在于进行分数的拆分，通过加减相互抵消，使计算简化．25．（5分）将1999减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，最后减去