中山一中等七校高三第一次联考数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精宝安中学潮阳一中桂城中学南海中学普宁二中中山一中仲元中学2017～2018宝安中学潮阳一中桂城中学南海中学普宁二中中山一中仲元中学理科数学本试卷共4页，23小题,满分150分。考试用时120分钟。参考公式:,其中表示球的半径第Ⅰ卷(选择题共60分)选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。，，则（）A.B.C.D。2．如果复数是纯虚数,那么实数等于(）A．B．C．或D．或3．设满足约束条件，则目标函数最大值是（）A．3；B．4;C．6;D.84．已知某批零件的长度误差(单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（)（附:正态分布中，）A．B。C．D.5．下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．B．C．D．6．下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若,则”的否命题为:“若,则".B。“”是“”的必要不充分条件．C.命题“，使得”的否定是:“，均有".D。命题“若，则"的逆否命题为真命题.7．已知函数在处取得最大值，则函数的图象（）A.关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．函数的导函数在区间上的图像大致是（）9．二项式展开式中,除常数项外，各项系数的和为（）A. B.C。D.10.某一简单几何体的三视图如图1所示，该几何体的外接球的表面积是（）A.B.C。D.11.已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为(）A.B。C。D。12。已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数,的图象相切,则必满足（)A．B． C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分)图2本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22~2图2二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设向量、满足:，，,则与的夹角是____.14。公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图2是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为____。（参考数据：,15。过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则______.16．在△中，点在边上,，，,,则的长为．三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17。(本小题满分12分)已知是递增数列，其前项和为，，且，．（Ⅰ)求数列的通项；(Ⅱ）是否存在,使得成立?若存在，写出一组符合条件的的值;若不存在，请说明理由;18。（本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是菱形,且．点是棱的中点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若,且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19。（本小题满分12分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元万元若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为．(Ⅰ）若不额外聘请工人,写出基地收益的分布列及基地的预期收益；（Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．20。(本小题满分12分）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.（Ⅰ)求点的轨迹的方程;（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点;(Ⅲ)在(Ⅱ）的条件下，求面积的最小值．21。(本小题满分12分）已知函数,.(Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围;（Ⅱ）是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值;若不存在，请说理由.（参考数据：，，,）。请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号。22。（本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程选讲已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ）设，若l1、l2与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积。23.(本小题满分10分)选修：不等式选讲已知函数.(Ⅰ）当时，求的解集；（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围。2018届七校第一次联考理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案BDCBCDAABCCD12.【解析】D；画出图像,显然可以排除A、B选项。由题，,所以的方程为，因为也与函数的图象相切，令切点坐标为,所以的方程为,这样有,所以，,令，，又因为，所以在上单调增,又，，，从而，选D。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分。13.14。;15.；16。;16。【解析】；在△中，因为,设，则．在△中，因为，，,所以．在△中，因为,，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为.三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17。【解析】(Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．.…………1分因为,所以。故，.…………3分整理，得，即．.因为是递增数列，且，故,因此．…………5分则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以。……………6分（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下:假设存在，使得，…8分则．…9分整理,得,①显然,左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数不存在．…12分18.【解析】（Ⅰ)∵底面是菱形,∴，又∵面，面，∴面，…………2分又∵，，，四点共面，且平面平面，∴；…………4分(Ⅱ）取中点，连接，,∵,∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴,在菱形中,∵，，是中点，∴，…6分如图,建立空间直角坐标系，设，则,，,，，又∵，点是棱中点，∴点是棱中点,∴，，，,……………8分设平面的法向量为，则有，∴,不妨令，则平面的一个法向量为,…10分∵平面，∴是平面的一个法向量，∵,∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．………………12分19.【解析】(Ⅰ)设下周一无雨的概率为，由题意，，…………2分基地收益的可能取值为，则,,，………4分201510∴基地收益的分布列为：，…………5分∴基地的预期收益为万元．……………6分（Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），…8分,…9分综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人;成本低于万元时，外聘工人；成本恰为万元时，是否外聘工人均可以．……12分20。【解析】（Ⅰ）由题意可知:动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知,点的轨迹是抛物线。……2分,抛物线方程为：……3分（Ⅱ）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为,由得..…5分因为直线与曲线于两点，所以，．所以点的坐标为.…6分由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.…7分当时，有，此时直线的斜率。……8分所以，直线的方程为，整理得.于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点．综上所述，直线恒过定点．…10分（Ⅲ)可求的，所以面积.当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为．……………12分21。【解析】(Ⅰ）函数与无公共点，等价于方程在无解.…2分令，则令得＋0－增极大值减因为是唯一的极大值点,故………………4分故要使方程在无解，当且仅当故实数的取值范围为…6分（Ⅱ)假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立。即对恒成立.…6分令，则，令，则，……………7分因为在上单调递增,，,且的图象在上连续，所以存在，使得，即，则………9分所以当时,单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，所以，即在区间内单调递增。…11分，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.……………12分22。【解析】（Ⅰ）∵曲线的参数方程为(为参数)∴曲线的普通方程为…………2分将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为。…………5分（Ⅱ）在极坐标系中,∴由得到…………7分同理。