河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（七）数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（七）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知等差数列an的公差为3，则a10−A．3 B．9 C．27 D．30二、解答题2．已知函数fx(1)当x∈0,π4(2)若a=1，设fx（ⅰ）证明：an（ⅱ）判断数列an附：当x∈0,3．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为23，左、右焦点分别为(1)求C的方程；(2)证明：q2(3)过点O和线段PQ的中点作一条直线与C交于R,S4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AO=OC=2

(1)证明：AB(2)证明：sinα(3)记∠OCD=θ5．如图，在圆锥CO中，平面ABC是轴截面，D为底面圆周上一点（与A,B(1)求证：AD⊥平面(2)若AB=4，CO=3，6．小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．(1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；(2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为X，求X的分布列和数学期望．三、填空题7．若过点A1,1的直线l与抛物线Γ:y2=4x交于B、C8．我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”，已知三棱锥O−ABC中，AB=3，D、E、F分别在棱OA、OB、OC上，且截面DE9．已知集合A=x0≤x≤1，非空集合B四、多选题10．如图，一个圆形仓鼠笼被分为A,B,C,D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入A区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过n次随机选择后仓鼠在

A．x1=0 B．xn+111．在三棱锥A−BCD中，已知AB=BC=A．AC长度的取值范围是B．直线AB与平面AEC．若AC=2，则D．若AC=1，则三棱锥12．在△OAB中，若OA=1−3,1+3，OB=1,1A．AB=6 B．∠AOB五、单选题13．与曲线y=ex和圆C:xA．1条 B．2条 C．3条 D．4条14．若m2+4n2=5，且mA．12 B．1 C．2 D．15．已知函数fx的部分图象如下，则fx的解析式可能为（

A．sin2xx2+1+1 16．已知x、y∈0,π2，若sinx=A．865 B．1665 C．336517．若双曲线C:x216−y29=1上的点A．14 B．12 C．10 D．818．若z1,z2为方程z2A．−2i B．2i C．−19．已知a>0，b>0且A．log2a⋅C．2a⋅2答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（七）数学试卷》参考答案题号1101112131415161718答案CACDBDADCBCDBA题号19答案D1．C【分析】根据等差数列的通项公式求解.【详解】由题，公差d=3，则故选：C.2．(1)4(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）数列an【分析】（1）分离参数，求解导数，结合单调性求出最大值即可；（2）（ⅰ）利用单调性得出零点所在区间，结合诱导公式可得答案；（ⅱ）数列单调性转化为函数值的大小，构造函数，利用导数可证明结论.【详解】（1）由题意，fx<0即a设gx=tan当x∈0,π4时，2x∈0,gxmax=即a的取值范围是4π（2）（ⅰ）若a=1，fx所以对任意n∈N*，f又fnπ=−nπ<0，当x趋近于nπ所以an所以an+π和a又tanan+即an（ⅱ）数列an证明如下：记bn=a即证明：当n≥2时，an又因为an=bn+由（ⅰ）知an∈nπ,所以fbn=fb设函数hx=f则h′因为f′x=1cos2x−1所以hx在x>b即fbn+因为fx在0,π2上单调递增，且综上，数列an3．(1)x(2)证明见解析(3)6【分析】（1）依题意可得a=3，12（2）设Px1,y1（3）设PQ的中点为M，不妨设OR=tOP+OQ=2tO【详解】（1）设C的半焦距为cc当P在短轴顶点时△P依题意可得a=3，12所以b3−b所以C的方程为x2（2）设Px1,由x2+2y2则Δ=x1+x因为OP所以x==p化简得q2=p（3）设PQ的中点为M，因为直线RS经过点O和点所以不妨设OR=t则SP又S=12=q由OR=tOP又y1所以tx代入C的方程得−4化简得8q2t所以S=6因为0<12p2即四边形PRQS4．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2【分析】（1）设OB=x，根据余弦定理得到A（2）利用AB=CD，A（3）由题意可知α+β=【详解】（1）设OB=x，则OCD所以AB2=（2）在△AOB在△COD由（Ⅰ）知AB=CD，又（3）若α=β，则△A所以α+β=所以5sin2α=13整理得5sin2θ解得sinθ5．(1)证明见解析；(2)π6【分析】（1）依次求证OC⊥A（2）建立适当的空间直角坐标系，依次求出向量AD和平面C【详解】（1）由题意在圆锥CO中，OC⊥又AD⊂平面AB因为E为AD的中点，OA=因为OC∩OE=O,（2）在平面ABD内，过O作OF⊥AB交AD因为AB=4，∠DA由（1）知平面OCE的一个法向量为又B2,0,0，C设平面CBD的法向量为则n→⋅C所以cosn所以平面COE与平面CB6．(1)4(2)分布列见解析，数学期望为42【分析】（1）根据对立事件的概率公式结合古典概率的概率公式求解；（2）求出X的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列求得期望.【详解】（1）所求概率为1−（2）X的所有可能取值为30,PX=30PX=50所以X的分布列为X30405060P1131X的数学期望EX7．2【分析】设l:x=my【详解】设l:x=my−1联立x=my−1则y1+y2=由抛物线的切线方程可知，以点B,C为切点的切线方程分别为：yy设两切线的交点为D，联立两切线方程可得：xD=y即xD=m−1所以两条切线的交点的轨迹方程为2x故答案为：2x8．2【分析】根据相似锥体的体积比是边长比的立方，表面积比为边长的平方比，结合“相对积”的定义求解即可.【详解】设三棱锥O−ABC、三棱锥O−因为AB=3，DE=2，D、E、F分别在棱且截面DEF与底面所以V1V2则三棱锥O−ABC与三棱锥故答案为：29．0【分析】利用交集运算得B⊆A，根据集合【详解】因为非空集合B=xb<x又A=x0≤x≤1，所以b故答案为：010．ACD【分析】根据选择法则得x1=0，判断A，根据全概率公式、概率乘法公式列式求得xn+1−【详解】对于A，因为仓鼠一开始在A区域，经过1次随机选择后仓鼠不可能在A区域，所以x1对于B，记仓鼠经过n次随机选择后在B,C,则xn+Bn+因为x1=0，所以xn−所以xn−14=所以xn对于C，因为x2x2n−对于D，因为x2n=所以x2故选：ACD11．BD【分析】连接AE、CE，由已知可得AE、CE的长，利用三角形的三边关系可得AC长度的取值范围，判断A；可得∠BAE即为直线AB与平面AEC所成的角，由三角函数特殊值求得角的大小，判断B；由A【详解】

如图，连接AE因为E为BD的中点，AB=所以AE⊥B则在Rt△ABE中，由勾股定理得对于A，在△ACE中，A对于B，因为AE⊥BD,CE所以BD⊥平面则∠BAE即为直线A则在Rt△AB所以∠B对于C，若AC=2，则A又AE⊥BE，BE所以AE⊥平面又BC⊂平面BC对于D，如图，取AC的中点F，连接E则EF⊥AC，若由已知图形可知，三棱锥A−BCD外接球的球心设EO在Rt△BO在Rt△AOF中，又OA=O解得x=23所以外接球的表面积为4π故选：BD.12．AD【分析】利用向量的加法结合向量的模长可判断A；利用向量数量积求解向量的夹角可判断B；根据三角形的三边满足勾股定理，结合面积相等可判断C；根据已知条件知OD为∠【详解】对于A，向量AB所以AB对于B，因为OAOA=(设∠AOB=θ,对于C，因为点C在OA上，BC由AB选项知，AB=6，O所以AB2+所以AB⋅OB=对于D，因为向量OAOA和OBO所以OD为∠AOB的平分线，因为所以S△即12所以126⋅故选：AD.13．C【分析】设直线l与曲线y=ex【详解】设直线l与曲线y=ex相切于点t,et，所以l的方程为y−e圆C:x−22所以2et+令gt则g′因为g′0=3>0，所以，借助二次函数的性质，令g′t=0得：当g′t>0可得：t∈所以gt在−∞,所以gt极大值gt极小值又当t→+∞所以gt在区间−所以这样的切线有3条.故选：C14．B【分析】先对原式进行化简变形，通过代数换元，结合均值不等式和二次函数性质，即可求解最大值.【详解】将m−2m由m2+4n2=5设2n+所以m−2==令u=k+4k，由对号函数性质可知，函数在k原式=对于二次函数y=其对称轴为u=当u=5时，所以m−故选：B15．C【分析】根据图象分别判断f(【详解】由图知，f(x)的图象关于y轴对称，所以f对于B，f−对于A，函数f(x)过点π对于D，当π2<x故选：C.16．D【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosx、siny的值，结合两角差的余弦公式可求得【详解】因为x、y∈0,π2所以，cosx=1因此，cosx故选：D.17．B【分析】根据双曲线的定义分析即可求解.【详解】由双曲线x216−y2所以