2024-2025学年江西省南昌县中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省南昌县中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列有关数列的说法正确的是(

)

①数列−1，0，1与数列1，0，−1是同一数列；

②数列{1n}的第k−1项是1k−1；

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③2.下列函数中，在(0,1)为减函数的是(

)A.y=x−1 B.y=x12 3.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2aA.是公比为q的等比数列 B.是公比为q2的等比数列

C.是公比为q3的等比数列 4.已知曲线y=x4+ax2+1在点(−1,a+2)处切线的斜率为A.9 B.6 C.−9 D.−65.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2−A.14 B.12 C.6 D.36.函数f(x)=xlnxex的图象大致为A. B.

C. D.7.函数f(x)=ax3−ax2+bx(a,b∈R)A.a≠0，且a>4b B.a>0，且a<4b

C.a<0，且a>4b，b≠0 D.a<0，且a<4b，b≠08.已知关于x的不等式exx3−x−alnx≥1对于任意x∈(1,+∞)恒成立，则实数aA.(−∞,1−e] B.(−∞,−3] C.(−∞,−2] D.(−∞,2−e2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=4A.a1=−4 B.a3<0 C.10.下面说法不正确的是(

)A.若f′(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线

B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在11.设a>1，b>0，且lna=2−b，则下列关系式可能成立的是(

)A.a=b B.b−a=e C.a=2024b D.ab>e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=3x2−x，则lim△x→013.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为2的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为______．

14.已知正实数x，y满足lnx=yex+lny，则xy四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

求下列函数的导数．

(1)y=(log3x)sinx16.(本小题15分)

已知{an}为等比数列．

(1)若an>0，且a2a4+2a3a517.(本小题15分)

已知函数f(x)=13x3−12ax2+2(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当0<a<118.(本小题17分)

已知a>0，函数f(x)=ax2−4x，g(x)=lnx．

(1)若a=12，求函数y=f(x)+3g(x)的极值；

(2)设b>0，f′(x)是f(x)的导数，g′(x)是g(x)的导数，ℎ(x)=f′(x)+bg′(x)+4，ℎ(x)图像的最低点坐标为(2,4)，对于任意正实数x1，x2，且x19.(本小题17分)

若无穷正整数数列{xn}满足递推关系xn+1=xn+3,xn为偶数xn+12,xn为奇数(n∈N+)，则称数列{xn}为好数列．

(1)若{a参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.ABD

11.AC

12.−513.60π

14.4e15.16.解：(1)∵{an}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，

∴a32+2a3a5+a52=25，即(a3+a5)2=25．

再由a3=a1⋅q217.解：(1)因为f(x)=13x3−12ax2+2，故可得f′(x)=x2−ax=x(x−a)，

令f′(x)=0，可得x=0或x=a，

当a=0时，f′(x)≥0，此时f(x)在R上单调递增；

当a>0时，当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当a<0时，当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(a,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

综上所述：当a=0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)单调递增，在(0,a)单调递减；

当a<0时，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)单调递增，在(a,0)单调递减．

(2)由(1)可知：当a>0时，f(x)在(0,a)单调递减，

在(a,+∞)单调递增，

又0<a<1，x∈[0,1]，故f(x)在[0,a]单调递减，在[a,1]单调递增．

则f(x)的最小值N=f(a)=13a3−12a3+2=−16a3+2；

又f(0)=2,f(1)=13−12a+2=73−12a，

当23≤a<1时，f(x)的最大值18.解：(1)当a=12时，y=f(x)+3g(x)=12x2−4x+3lnx，

y′=x−4+3x=x2−4x+3x=(x−1)(x−3)x，x>0，

当1<x<3时，y′<0，当x>3或0<x<1时，y′>0，

所以y=f(x)+3g(x)在(0,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,+∞)单调递增，

y=f(x)+3g(x)在x=1处取得极大值为f(1)+3g(1)=−72，

y=f(x)+3g(x)在x=3处取得极小值为f(3)+3g(3)=3ln3−152．

(2)由题意，得ℎ(x)=2ax+bx，则ℎ(x)=2ax+bx≥22ab，

当且仅当x=b2a时，等号成立，

所以b2a=222ab=4，解得a=12b=4，

所以ℎ(x)=x+4x．

又ℎ(x1)ℎ(x2)≥m19.解：若无穷正整数数列{xn}满足递推关系xn+1=xn+3,xn为偶数xn+12,xn为奇数(n∈N+)，则称数列{xn}为好数列，

(1)a4=6，则a3=11，a2=8或21，

当a2=8时，a1=15；当a2=