2025年北京二中高考数学模拟试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年北京二中高考数学模拟试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z在复平面内对应点是(2,−1)，则z+2z−1=(

)A.12+52i B.122.设集合A={x|0<x≤4,x∈N}，B={x|2x≤6}，则A∩B=A.{1,2} B.[1,2] C.{1,2,3} D.[1,3]3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为(

)A.4π B.8π C.12π D.20π4.如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为(

)A.48

B.36

C.42

D.325.已知数列{an}满足：an+1+(−1)naA.1240 B.1830 C.2520 D.27606.已知过点A(a,0)作曲线y=(1−x)ex的切线有且仅有1条，则a=(

)A.−3 B.3 C.−3或1 D.3或17.已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1A.24 B.22 C.8.设a=sin0.2，b=0.2cos0.1，c=2sin0.1，则(

)A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=12，则D(X)=12

B.若随机变量Y的方差D(Y)=2，则D(3Y+2)=8

C.若随机变量ζ服从二项分布B(4,12)，则P(ζ=3)=14

10.关于函数f(x)=sin2x+1sin2x，下列说法正确的是(

)A.f(x)的最小值为2 B.f(x+π2)是奇函数

C.f(x)的图象关于直线x=π4对称 11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则(

)A.事件A1，A2为互斥事件 B.事件B，C为独立事件

C.P(B)=212.已知定义域为R的函数f(x)在(−1,0]上单调递增，f(1+x)=f(1−x)，且图像关于(2,0)对称，则f(x)(

)A.f(0)=f(−2) B.周期T=2

C.在(2,3)单调递减 D.满足f(2021)>f(2022)>f(2023)三、填空题：本题共4小题，共25分。13.某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是

．14.在等比数列{an}中，若a1+a3=62，a2+15.若3sinα−sinβ=10，α+β=π2，则sinα=

，cos2β=16.过点(2,0)的直线与抛物线y2=4x交于A，B两点，若M点的坐标为(−1,0)，则|MA|四、解答题：本题共6小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题11分)

已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an−n+1(n∈N∗)．

(1)证明：数列{an−n}是等比数列，并求出数列18.(本小题12分)

已知在△ABC中，∠A=π6，点D在边AB上且满足AD=3，BD=DC．

(1)若△ADC的面积为32，求BD2+AC2的值；19.(本小题12分)

如图，已知四棱锥P−ABCE中，AB=1，BC=2，BE=22，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC

(1)证明：AB⊥BC；

(2)若PA=22，且AC=AE，G为△PCE的重心.求直线CG20.(本小题12分)

近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：(i)若1件手工艺品3位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；(ii)若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关的2位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关的2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；(iii)若有2位或3位专家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中1件手工艺品被1位专家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立．

(1)求1件手工艺品质量为B级的概率；

(2)若1件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元、600元、300元，质量为D级不能外销，利润为100元．

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与均值．21.(本小题12分)

已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为−1，△OFM的面积为1．

(1)求C的方程；

(2)过点F作一条直线l′，交C于A，B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N22.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx，g(x)=x2−x+1，ℎ(x)=f(x)−g(x)．

(1)求函数ℎ(x)的极值；

(2)若2ae2x参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.D

6.C

7.B

8.A

9.CD

10.BCD

11.ACD

12.ACD

13.22

14.6

15.316.34

17.解：(1)证明：∵数列{an}满足a1=2，an+1=2an−n+1，

则an+1−(n+1)=2(an−n)，

又a1−1=1，则数列{an−n}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴an−n=1⋅2n−1，即an=2n−1+n；

(2)18.解：(1)∵S△ADC=12AD⋅AC⋅sinA=34AC=32，∴AC=2．

∴由余弦定理，得DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC⋅cosπ6=13−63，

∴BD2+AC2=DC2+AC2=17−63．

(2)设∠B=θ，∴∠DCB=θ,∠ADC=2θ,∠ACD=π−π6−2θ=5π619.解：(1)证明：过A作AD⊥PB于D，

∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，又AD⊂平面PAB，

∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，

∴AD⊥BC，又PA⊥平面ABCE，BC⊂平面ABCE，

∴PA⊥BC，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，

∴BC⊥平面PAD，又AB⊂平面PAD，∴BC⊥AB；

(2)以BA，BC所在直线分别为x，y轴，过B平行于PA的直线为Z轴，建系如图，

则B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(0,2,0)，P(1,0,22)

设E(x,y,0)，∵BE=22，∴x2+y2①，

∴AC=AE，∴(x−1)2+y2②，

由①②得x=2，y=2，∴E(2,2,0)，

又P(1,0,22)，故G(1,43,223)，20.解：(1)由题意知，1件手工艺品质量为B级的概率为C31×13×(1−13)2×(1−13)2=1681．

(2)①由题意可知，1件手工艺品质量为D级的概率为C32×(13)2×(1−13)+C33×(13)3=727，

设10件手工艺品中不能外销的手工艺品是ξ件，则ξ～B(10,727)，

则P(ξ=k)=C10k⋅(727)k⋅(2027)10−k，其中．

P(ξ=k+1)P(ξ=k)=C10k+1⋅(727)k+1⋅(2027)X900600300100P816207则E(X)=900×82721.解：(1)由题意知F(p2,0)，设点M的坐标为(−p2,a)，

则直线MF的斜率为a−0−p2−p2=−ap．

因为直线MF的斜率为−1，所以−ap=−1，即a=p，

所以