数学物理方程31省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第三章行波法

陈有亮

上海理工大学环境与建筑学院第1页2025/5/12一维波动方程定解问题无界弦自由振动无界弦强迫振动半无界弦自由振动半无界弦强迫振动三维波动方程定解问题二维波动方程定解问题球对称情形普通情形球面平均法行波法降维法有界弦振动问题第三章行波法第2页2025/5/13第三章行波法§1弦振动方程初值问题§2高维齐次波动方程§3非齐次波动方程第3页2025/5/14§1弦振动方程初值问题1.1

达朗贝尔公式1.2

达朗贝尔解物理意义1.3

二阶偏微分方程分类第4页2025/5/151.1达朗贝尔公式先变换方程形式假如能够找到变量、,使分析定解问题求解此问题，先求方程通解，再由初值条件确定出通解中任意常数。第5页2025/5/161.1达朗贝尔公式定义则则方程（1.1）变为

此方程通解能够很轻易求出，再由初值条件能够确定出通解中任意常数。下面找

,。第6页2025/5/171.1达朗贝尔公式显然满足(1.2)-(1.3)。解方程(1.4)将(1.5)代入(1.6)，得下面经过初值条件确定f1,f2详细函数形式。将(1.7)代入初始条件，得第7页2025/5/181.1达朗贝尔公式第8页2025/5/191.1达朗贝尔公式公式(1.8)就是齐次波动方程初值问题达朗贝尔公式或达朗贝尔解。这种求解方法叫达朗贝尔解法或行波法。第9页2025/5/1101.1达朗贝尔公式达朗贝尔解法先是经过作一个特殊变换，求出了方程通解，然后再由初值条件得到定解问题特解。这种方法对普通方程来说是十分困难。此方法普通只适合波动方程定解问题求解。第10页2025/5/111例1：解：由达朗贝尔公式第11页2025/5/112例2：第12页2025/5/1131.2达朗贝尔解物理意义右传输波左传输波分别分析和第13页2025/5/114左传输波右传输波第14页2025/5/115区间称为解在（x，t）值依赖区间。从达朗贝尔公式中能够看出，u(x,t)仅仅依赖于中初始条件。依赖区间它是过（x，t）点，斜率分别为直线与x轴所截而得到区间（如右图）。1.3二阶偏微分方程分类第15页2025/5/1161.3二阶偏微分方程分类假如在初始时刻t＝0，扰动仅仅在有限区间上存在，则经过时间t后，扰动传到范围为影响区域定义：上式所定义区域称为区间影响区域。第16页2025/5/117定义区间过作斜率为直线过作斜率为直线则它们与区间一起围成三角形区域中任意一点(x,t)依赖区间都落在区间内，所以该三角区域称为决定区域。第17页2025/5/118普通地，对于偏微分方程其特征方程为这个常微分方程积分曲线称为方程(1.9)特征曲线，它只和二阶导数项系数相关，与一阶项系数无关。1.3二阶偏微分方程分类第18页2025/5/119并不是任意两阶线性偏微分方程（1.9）都有两族实特征线。由（1.10）知，若则方程（1.9）无实特征线，且方程称为椭圆型方程；若则每一点只有一条实特征线，且方程（1.10）称为抛物型方程；若1.3二阶偏微分方程分类第19页2025/5/120则过每一点有两条相异实特征线，方程（1.10）称为双曲型方程。如方程（1.1）特征方程为解之得，其特征线为作线性变换原方程转化为1.3二阶偏微分方程分类第20页2025/5/121然后能够很方便地进行求解。行波