高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第01讲 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算（解析版）

第01讲10.1.1有限样本空间与随机事件+10.1.2事件的关系和运算

课程标准学习目标

①理解随机试验的概念及特点。

1.数学建模：随机实验及样本空间的概念

②理解样本点和样本空间，会求所给试验的

2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间

样本点和样本空间。

3.数学运算：计算随机实验的样本空间

③理解随机事件、必然事件、不可能事件的

4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间；

概念，并会判断某一事件的性质。

知识点1：有限样本空间

1.1．随机试验

(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．

(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

1.2．样本点和样本空间

(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．

(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果1，2，…，

n，则称样本空间{1,2,n}为有限样本空间．

、

【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为B1B2，

、

白色球2个，记为W1W2，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：.

【答案】{B1B2,B1W1,B2W1}（答案不唯一）

【详解】从袋中任取2个球，

共有如下情况B1B2,B1W1,B1W2,B2W1,B2W2,W1W2.

其中一个不等可能的样本空间为Ω{B1B2,B1W1,B2W1}，

此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.

故答案为：Ω{B1B2,B1W1,B2W1}.(答案不唯一)

知识点2：事件的分类

(1)随机事件：

①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．

②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．

③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．

(2)必然事件：

作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称

为必然事件．

(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．

知识点3：事件的关系

3.1包含关系

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，

记作：BA(或AB)

图示

3.2相等关系

如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等，

记作：AB；

图示

知识点4：事件的运算

4.1并事件(或和事件)

一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，

我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，

记作：AB(或AB).

图示：

4.2交事件(或积事件)

一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这

样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，

记作：AB(或AB).

图示：

【即学即练2】（2023上·高一课时练习）掷一枚骰子，下列事件：A{掷出奇数点}，B{掷出偶数点}，

C{点数小于3}.则①BC；②AB.

【答案】{掷出2点}{掷出1,2,3,4,5,6点}

【详解】因为A{掷出奇数点}，B{掷出偶数点}，C{点数小于3}，

所以BC{掷出2点}，AB{掷出1,2,3,4,5,6点}.

故答案为：{掷出2点}；{掷出1,2,3,4,5,6点}.

知识点5：互斥事件与对立事件

5.1互斥事件

一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB，则称事

件A与事件B互斥(或互不相容)，符号表示：AB.

图示：

5.2对立事件

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即AB，且AB，那么

称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A，符号表示：AB，且AB.

图示：

【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）若PAB1，则互斥事件A和B的关系是（）

A．ABB．A,B是对立事件

C．A,B不是对立事件D．AB

【答案】B

【详解】由题意，事件A与B是互斥事件，则PABPAPB1，

则A,B是对立事件.

故选：B

知识点6：事件的关系或运算的含义及符号表示

事件的关系或运算含义符号表示

包含A发生导致B发生AB

并事件(和事件)A与B至少一个发生AB或AB

交事件(积事件)A与B同时发生AB或AB

互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB

互为对立A与B有且仅有一个发生AB，AB

题型01事件类型的判断

【典例1】（2023上·新疆·高二八一中学校考阶段练习）对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称

为（）

A．样本空间B．必然事件C．不可能事件D．随机事件

【答案】C

【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，

所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，

故选：C．

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其

中为必然事件的是（）．

A．3件都是正品B．至少有1件是次品

C．3件都是次品D．至少有1件是正品

【答案】D

【详解】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为0,1,2，正品

的个数分别为3,2,1，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有

可能不发生．

故选：D．

【典例3】（多选）（2024上·陕西汉中·高一统考期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件

产品，其中是随机事件的是（）

A．5件都是正品B．至少有1件次品

C．有3件次品D．至少有3件正品

【答案】AB

【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都

是随机事件，A、B正确，

在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，

则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；

在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.

故选：AB

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（）

A．标准大气压下，水加热到100C，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯

C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为abD．实系数一元一次方程必有一实根

【答案】B

【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；

B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；

C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；

D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．

故选：B．

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质

地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（）

A．摸出的4个球中至少有一个是白球

B．摸出的4个球中至少有一个是黑球

C．摸出的4个球中至少有两个是黑球

D．摸出的4个球中至少有两个是白球

【答案】B

【详解】因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，

所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.

故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；

事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；

事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；

事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.

故选：B.

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）下列现象中，随机现象有哪些？

（1）某射手射击一次，射中10环；

（2）同时掷两颗骰子，都出现6点；

（3）某人购买福利彩票未中奖；

（4）若x为实数，则x211.

【答案】（1）（2）（3）

【详解】某射手射击一次，射中10环是随机事件；

同时掷两枚骰子，都出现6点是随机事件；

某人购买福利彩票未中奖是随机事件；

若x为实数，则x211是必然事件．

题型02样本点与样本空间

【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）写出下列试验的样本空间：

(1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；

(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；

(3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；

(4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数．

【答案】(1){(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}

(2)答案见解析；

(3){2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；

(4){4,5,6,7,8,9,10}．

【详解】（1）第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为：

{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}

（2）四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为：

{甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙

丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙

丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}；

（3）第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为：

{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；

（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为：{4,5,6,7,8,9,10}．

【典例2】（2023上·高一课时练习）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一

枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出：

(1)试验的样本空间Ω；

(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；

(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；

(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)

(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)

【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，

(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，

(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，

(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，

(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，

(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．

（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：

(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).

（3）“出现点数相等”包含以下6个样本点：

(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).

（4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：

(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).

【典例3】（2022·高一课时练习）指出下列试验的样本空间：

(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；

(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．

【答案】(1){{红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}}

(2)9,7,5,4,3,2,2,3,4,5,7,9

【详解】（1）由题意可得：{{红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}}.

（2）由题意可知：132,312；165,615；

1109,1019；363,633；

3107,1037；6104,1064；

即试验的样本空间9,7,5,4,3,2,2,3,4,5,7,9．

【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件A，试分别写出

样本空间及事件A所包含的样本点．

【答案】答案见解析

【详解】记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是k”为kk1,2,3,4,5,6，则

Ω1,2,3,4,5,6，

A2,4,6．

【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）抛掷两枚硬币，用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，写出试验

的样本点和样本空间．

【答案】答案见解析

【详解】解将第一枚硬币视为硬币1，第二枚硬币视为硬币2，则试验有4个样本点，它们分别是

HH：硬币1正面朝上，硬币2正面朝上；

HT：硬币1正面朝上，硬币2反面朝上；

TH：硬币1反面朝上，硬币2正面朝上；

TT：硬币1反面朝上，硬币2反面朝上．

因此，样本空间Ω{HH,HT,TH,TT}．

【变式3】（2023·高一课时练习）从两名男生（记为B1和B2）和两名女生（记为G1和G2）这四人中依次选

取两名学生．

(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；

(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为：

Ω1B1,B1,B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,B2,B2,G1,B2,G2,

G1,B1,G1,B2,G1,G1,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1,G2,G2,共16个样本点.

（2）不放回简单随机抽样时，样本空间为：

Ω2B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G1,G2,

G2,B1,G2,B2,G2,G1,共12个样本点.

题型03事件的关系

【典例1】（2023上·河南信阳·高二潢川一中校考阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，

“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有()

A．ABB．ABC．ABD．A与B之间没有关系

【答案】C

【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，

其中事件A{（正，正）}，事件B{（正，正），（正，反），（反，正）}，

所以AB.

故选：C.

【典例2】（2022下·高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中

i1,2,3,4,5,6；D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶

数”.判断下列结论是否正确.

（1）C1与C2互斥；（2）C2，C3为对立事件；（3）C3D2；（4）D3D2；（5）D1D2，D1D2；

（6）D3C5C6；（7）EC1C3C5；（8）E，F为对立事件；（9）D2D3D2；（10）D2D3D3

【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正

确；（9）正确；（10）正确.

【详解】解：该试验的样本空间可表示为1,2,3,4,5,6,

由题意知Cii,D11,2,D23,4,5,6,D35,6,E1,3,5,F2,4,6.

（1）C11,C22,满足C1C2,所以C1与C2互斥,故正确；

（2）C22,C33,满足C2C3但不满足C2C3.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；

根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；

（6）C5C65,6,所以D3C5C6,故正确；（7）C1C3C51,2,3,故EC1C3C5正确；

（8）因为EF,EF,所以E,F为对立事件,故正确；

（9）正确；（10）正确.

【变式1】（2022下·高一课时练习）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上

面是正面”为事件N，则有（）

A．MNB．MNC．M=ND．MN

【答案】A

【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,

则有MN.

故选：A.

【变式2】（2022下·天津和平·高一校考阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A{至少1枚正面朝

上}，B{至多2枚正面朝上}，事件C{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（）

A．CABB．CAB

C．CAD．CB

【答案】D

【详解】记事件D={1枚硬币正面朝上}，E{2枚硬币正面朝上}，F{3枚硬币正面朝上}，则ADEF，

BCDE，

显然CAB，CAB，CB，C不含于A.

故选：D

题型04事件的运算

【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点

数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（）

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】B

【详解】AB表示“点数为2”，AB表示“点数5”，AB表示“点数为3或2或1或4或6”，AB表

示“点数为1或3或4或5或6”，

故选：B

【典例2】（2022上·海南省直辖县级单位·高二校考期末）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用

A，B，C表示出来．

(1)三个事件都发生；

(2)三个事件至少有一个发生；

(3)A发生，B，C不发生；

(4)A，B，C中恰好有两个发生．

【答案】(1)ABC

(2)ABC

(3)ABC

(4)ABCABCABC

【详解】解：（1）三个事件都发生表示为ABC；

（2）三个事件至少有一个发生表示为ABC；

（3）A发生，B，C不发生表示为ABC；

（4）恰好有两个发生表示为ABCABCABC．

【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）盒中有标号1~3的同样白球各1个，标号1~2的同样黑球各1个，

从中倒出3个，观察结果，写出样本空间.

(1)用集合A表示事件“3个都是白球”；

(2)用集合B表示事件“至少2个白球”；

(3)用集合C表示事件“至少1个白球”；

(4)计算AB，AB，A\B，C\B（其中A\B表示属于集合A，且不属于集合B），并解释它们的含义.

【答案】(1)A{abc}；

(2)B{abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf}；

(3)C{abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}；

(4)答案见解析.

【详解】（1）记标号1~3的白球为a，b，c，标号1~2的黑球为e，f，

则样本空间{abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}，

所以A{abc}.

（2）由（1）得B{abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf}.

（3）由（1）得C{abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}.

（4）ABB“至少2个白球”，ABA“3个都是白球”，

A\B“不可能事件”，C\B{aef,bef,cef}“1个白球”．

【变式1】（2023上·四川凉山·高二宁南中学校联考期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设

事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次

投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（）

A．ADB．BDC．ABBDD．ACD

【答案】C

【详解】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”；

事件B表示“两次都未投中”；

事件C表示“恰有一次投中”；

事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，

故AD，所以选项A正确；

事件B和事件D是对立事件，故BD，所以选项B正确；

事件AB表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件BD表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有

一次投中”，故选项C错误；

事件AUC表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故ACD，所以选项D正确；

故选：C.

【变式2】（2023上·新疆·高二八一中学校考期中）连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A{两次

出现的点数相同}，事件B{两次出现的点数之和为4}，事件C{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件

D={两次出现的点数之和为6}.

(1)用样本点表示事件CD，AB；

(2)若事件E1,3,1,5,2,2,2,6,3,1,5,1,6,2，则事件E与已知事件是什么运算关系？

【答案】(1)CD1,5,5,1，AB1,1,1,3,2,2,3,1,3,3,4,4,5,5,6,6

(2)EB∪C

【详解】（1）由题意得，事件A1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，

事件B1,3,2,2,3,1，

事件C1,5,2,6,5,1,6,2，

事件D1,5,2,4,3,3,4,2,5,1.

则CD1,5,5,1，AB1,1,1,3,2,2,3,1,3,3,4,4,5,5,6,6；

（2）由（1）知，事件B1,3,2,2,3,1，C1,5,2,6,5,1,6,2，

因为E1,3,1,5,2,2,2,6,3,1,5,1,6,2，

所以EB∪C.

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．设A“红骰子的点

数是2”，B“蓝骰子的点数是3”．

(1)写出样本空间，并用样本点表示事件A，B；

(2)计算AB；

(3)计算AB．

【答案】(1)答案见解析；

(2)“红骰子是2点，蓝骰子是3点”；

(3)“红骰子是2点或蓝骰子是3点”.

【详解】（1）用(i,j)表示红骰子的点数是i，蓝骰子的点数是j，则试验的样本空间是

{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}．

依题意A{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}，B{(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.

（2）AB{(2,3)}“红骰子是2点，蓝骰子是3点”．

（3）AB{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}“红骰子是2点或蓝骰子是3点”．

题型05互斥事件与对立事件的判定

【典例1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）掷一枚骰子，设事件A：落地时向上

的点数是奇数；B：落地时向上的点数是3的倍数；C：落地时向上的点数是2；D：落地时向上的点数是

2的倍数，则下列说法中，错误的是（）

A．A和B有可能同时发生B．A和D是对立事件

C．B和C是对立事件D．A和C是互斥事件

【答案】C

【详解】依题意，事件A{1,3,5},B{3,6},C{2},D{2,4,6}，

对于A，事件A和B有相同的基本事件：点数3，A正确；

对于B，事件A和D不能同时发生，但必有一个发生，则A和D是对立事件，B正确；

对于C，事件B和C不能同时发生，但可以同时不发生，则B和C不是对立事件，C错误；

对于D，事件A和C不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.

故选：C

【典例2】（多选）（2024上·四川攀枝花·高二统考期末）某人打靶时连续射击两次，记事件A为“第一次

中靶”，事件B为“至少一次中靶”，事件C为“至多一次中靶”，事件D为“两次都没中靶”.下列说法正确的是

（）

A．ABAB．B与C是互斥事件

C．CDD．B与D是互斥事件，且是对立事件

【答案】AD

【详解】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中

靶”“两次都没有中靶”；

事件B为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”；

事件C为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有

中靶”；

事件D为“两次都没中靶”；

故ABA，B与C不是互斥事件，B与D是互斥事件，且是对立事件，CD.

故选:：AD.

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，

事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也

不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.

（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C.

【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也对立；（3）不互斥；（4）不互斥；

【详解】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A

与C不是互斥事件.

（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又

因市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种也不订”，故B与E是对立事件.

（3）事件B“至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D

也可能发生，故B与D不是互斥事件.

（4）事件B“至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”；事件C“至

多订一种报纸”中，有这些可能：“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，

由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.

【变式1】（2024·广东·高三学业考试）已知事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示“3粒种子都不发

芽”，则M和N（）

A．是对立事件B．不是互斥事件

C．互斥但不是对立事件D．是不可能事件

【答案】C

【详解】事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示“3粒种子都不发芽”，

所以事件M和事件N不会同时发生，是互斥事件，

因为3粒种子可能只发芽1粒，

所以事件M和事件N可以都不发生，则M和N不是对立事件.

故选：C

【变式2】（2024上·辽宁铁岭·高一校考期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E“点数为奇数”，

F“点数为偶数”，G“点数大于2”，H“点数不大于2”，R“点数为1”.则下列结论不正确的是（）

A．E，F为对立事件B．G，H为互斥不对立事件

C．E，G不是互斥事件D．G，R是互斥事件

【答案】B

【详解】E，F是对立事件，选项A正确；G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；

E，G不互斥，选项C正确；G，R为互斥事件，选项D正确.

故选：B.

【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加

演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）

A．是互斥事件B．不是互斥事件C．是对立事件D．不是对立事件

【答案】AC

【详解】从3男2女中人选2名同学，一共会出现的抽取情况为：2男，或者2女，或者1男1女，

至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件.

故选：AC

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2024上·山东潍坊·高二临朐县第一中学期末）一个口袋中装有3个白球和3个黑球，下列事件中，是独

立事件的是（）

A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球

B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球

C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球

D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球

【答案】B

【详解】解：对于选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是互斥事件不是独立事件；

对于选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件；

对于选项C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立

事件；

对于选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不

是独立事件，

故选：B.

2．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，

9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件A“取出的牌有两张6”，事件B“取出的

牌至少有一张黑桃”，事件C“取出的牌有一张大王”，事件D=“取出的牌有一张红桃6”，则（）

A．事件A与事件D互斥B．事件B与事件C互斥

C．事件B与事件D互斥D．事件A与事件C互斥

【答案】D

【详解】ABC选项，因为事件A与事件D，事件B与事件C，事件B与事件D都可以同时发生，所以A，B，

C错误.

D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥.

故选：D

3．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一

次正面向上”互为对立事件的是（）

A．至多一次正面向上B．两次正面都向上

C．只有一次正面向上D．两次都没有正面向上

【答案】D

【详解】将一枚均匀硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，共4种可能，

事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，

对A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；

对B：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；

对C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；

对D：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件.

故选：D.

4．（2024·全国·高三专题练习）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对

立的两个事件是（）

A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球

【答案】C

【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；

对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；

对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两

个事件，C是；

对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.

故选：C

5．（2024上·上海黄浦·高二统考期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于

3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（）

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】B

【详解】AB表示“点数为2”，AB表示“点数5”，AB表示“点数为3或2或1或4或6”，AB表

示“点数为1或3或4或5或6”，

故选：B

6．（2023下·内蒙古包头·高二校考期末）从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这

个三角形是等腰三角形”为事件A，则下列推断正确的是（）

11

A．事件A发生的概率等于B．事件A发生的概率等于

45

C．事件A是不可能事件D．事件A是必然事件

【答案】D

【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，

所以事件A是必然事件．

故选：D．

7．（2023·江苏·高一专题练习）对满足AB的非空集合A、B，有下列四个命题：

①“若任取xA，则xB”是必然事件；②“若xA，则xB”是不可能事件；

③“若任取xB，则xA”是随机事件；④“若xB，则xA”是必然事件.

其中正确命题的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【详解】①：因为AB，xA，所以xB，因此“若任取xA，则xB”是必然事件，故本命题是真

命题；

②：当集合A是集合B的真子集时，显然存在一个元素在集合B中，不在集合A中，

因此“若xA，则xB”是随机事件，故本命题是假命题；

③：任取xB，当集合A是集合B的真子集时，xA有可能成立，也可能不成立，

因此“若任取xB，则xA”是随机事件,故本命题是真命题；

④：因为xB，所以一定有xA，显然“若xB，则xA”是必然事件，故本命题是真命题．

因此①③④为真命题.

故选：B

8．（2023下·全国·高一随堂练习）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件M：向上的点数为奇数；事件

N：向上的点数是6，则事件M与事件N（）

A．既互斥又对立B．互斥但不对立C．对立但不互斥D．既不互斥也不对立

【答案】B

【详解】由题意知事件M：向上的点数为奇数；事件N：向上的点数是6，

则事件M与事件N不会同时发生，故二者互斥，

当M不发生时，N也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为2或4，

故二者不对立，

故选：B

二、多选题

9．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝

上的点数，设事件A“记下的点数为3”，事件B“记下的点数为偶数”，事件C“记下的点数小于3”，事

件D=“记下的点数大于2”，则（）

A．事件A与B互斥B．事件A与C互斥

C．事件B与D对立D．事件C与D对立

【答案】ABD

【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为1、2、3、4、5、6共6个基本事件，

则事件B“记下的点数为偶数”包含2、4、6共3个基本事件，

事件C“记下的点数小于3”包含1、2共2个基本事件，

事件D=“记下的点数大于2”包含3、4、5、6共4个基本事件，

所以事件A与B互斥，故A正确；

事件A与C互斥，故B正确；

事件B与D不互斥也不对立，故C错误；

事件C与D互斥且对立，故D正确；

故选：ABD

10．（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列四个命题中，是真命题的是（）

A．若事件A,B是互斥事件，则A,B是对立事件

B．若事件A,B是对立事件，则A,B是互斥事件

C．若事件A是必然事件，则PA1

D．若事件A,B是互斥事件，则PAB1

【答案】BC

【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，故A选项不符合题意，

对于B，对立事件一定是互斥事件，故B选项符合题意，

对于C，因为事件A是必然事件，所以PA1，故C选项符合题意，

对于D，若事件A,B是互斥事件，则只有当事件A,B是对立事件时才有PAB1，故D选项不符合题意.

故选：BC.

三、填空题

11．（2023·全国·高一随堂练习）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花

色．事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事

件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是．

（1）A，B，C，D彼此互斥；

（2）A与D，B与C是对立事件；

（3）A的对立事件是BCD；

（4）AB的对立事件为CD；

（5）AUC与BD为互斥事件，但不是对立事件．

【答案】（1）（3）（4）．

【详解】（1）A，B，C，D四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确；

（2）当B发生时，A和D都不发生，因此A,D不是对立事件，（2）错；

（3）事件A和事件BCD不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确；

（4）事件AB和事件CD不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确；

（5）事件AUC和事件BD不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误．

故答案为：（1）（3）（4）．

12．（2023下·全国·高一专题练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ

闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝.(用B，C，D间的运算关系式表示)

【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)

【详解】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，

因此AB(CD)．

故答案为：B(CD)．也可写成：(BC)(BD)．

四、解答题

13．（2023下·全国·高一随堂练习）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来．

(1)三个事件都发生；

(2)三个事件至少有一个发生；

(3)A发生，B，C不发生；

(4)A，B，C中恰好有两个发生．

【答案】(1)ABC

(2)ABC

(3)ABC

(4)ABCABCABC

【详解】解：（1）三个事件都发生表示为ABC；

（2）三个事件至少有一个发生表示为ABC；

（3）A发生，B，C不发生表示为ABC；

（4）恰好有两个发生表示为ABCABCABC．

14．（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为

180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．

(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院

卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件M“抽取的两名同学中至少有一名

来自高一年级”，试用所给字母写出事件