高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 复数的几何意义（解析版）

第02讲7.1.2复数的几何意义

课程标准学习目标

①理解可以用复平面内的点或以原点为起

1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来

点的向量来表示复数及它们之间的一一对

表示复数及它们之间的一一对应关系；

应关系。

2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念；

②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；

③.掌握用向量的模来表示复数的模的方

法。

知识点01：复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

①x轴——实轴

②y轴——虚轴

③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

知识点02：复数的几何意义

（1）复数的几何意义——与点对应

复数的几何意义1：复数zabia,bR复平面内的点Z(a,b)

（2）复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数zabia,bR平面向量OZ(a,b)

知识点03：复数的模

向量OZ的模叫做复数zabia,bR)的模，记为|z|或|abi|

公式：|z||abi|a2b2，其中a,bR

复数模的几何意义：复数zabi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离；

特别的，b0时，复数zabi是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).

【即学即练1】（2024上·江苏扬州·高二统考学业考试）已知复数z2i（i是虚数单位），则z为（）

A．5B．1C．2D．3

【答案】A

【详解】z22125.

故选：A

知识点04：共轭复数

（1）定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两

个共轭复数也叫共轭虚数.

（2）表示方法

表示方法：复数z的共轭复数用z表示，即如果zabi，则zabi.

【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）已知复数z1i（其中i为虚数单位），则z.

【答案】1i/i1

【详解】z1i，z1i.

故答案为:1i.

题型01复数的坐标表示

2

【典例1】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）若复数zm3i2i，其中m1，则复数z

3

在复平面内对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【详解】因为zm3i2i3m2m1i，实部为3m2，虚部为m1，

2

因为m1，所以03m21，m10，

3

所以复数z在复平面内对应的点为3m2,m1位于第四象限.

故选：D

【典例2】（2023下·新疆哈密·高一校考期末）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的

复数分别是13i，2i，3i，则点D对应的复数为．

【答案】45i/5i4

【详解】依题意，因为A,B,C三点对应的复数分别是13i，2i，3i，

所以A1,3,B2,1,C3,1，

因为ABCD是平行四边形，所以ABDC，设Dx,y，

3x1x4

则1,43x,1y，故，解得，

1y4y5

所以D4,5，则点D对应的复数为45i.

故答案为:45i.

【变式1】（2023·高一课时练习）复平面上给定四个点O,A,B,C可以构成一个平行四边形，其中四个点对

应的复数分别为zO0，zA1i，zC32i，则zB．

【答案】4+3i或2i或2i

【详解】因为zO0，zA1i，zC32i,又因为O,A,B,C可以构成一个平行四边形,分情况可得

当OABC为平行四边形,则zBzAzC1+i+3+2i=4+3i;

当OBAC为平行四边形,则zAzBzC,即zBzAzC1i32i2i

当OBCA为平行四边形,则zCzBzA,即zBzCzA32i1i2i

故答案为:4+3i或2i或2i

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点：

(1)12i；

22

(2)i；

22

(3)3i；

(4)5．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

(4)答案见解析

【详解】（1）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数12i在复平面对应的点为Z1(1,2).

2222

（2）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得i在复平面对应的点为Z(,).

22222

（3）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数3i在复平面对应的点为Z3(0,3)

（4）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数5在复平面对应的点为Z4(5,0)

题型02在各象限内点对应复数的特征

【典例1】（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）复数z2sinicosR对应的点在第四象限，

则角是（）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【答案】B

sin0

【详解】因为复数z2sinicosR对应的点在第四象限，则，

cos0

因此，角是第二象限角.

故选：B.

2

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知复数zm6m2m3i，若在复平面内z对应的点在第二

象限，则m的取值范围为．

【答案】,31,6

【详解】由已知可得，zm6m22m3i.

m60

根据复数的几何意义可得，2，

m2m30

解得m3或1m6，

所以实数m的取值范围为,31,6.

故答案为：,31,6.

【典例3】（2023下·安徽宿州·高一统考期中）在复平面内，复数zcos1sin1sin2cos2i,(i为虚数单

位)的共轭复数对应的点在第象限.

【答案】三

【详解】由复数zcos1sin1sin2cos2i,(i为虚数单位)的共轭复数为：

zcos1sin1sin2cos2i，

所以对应的点为cos1sin1,sin2cos2，

ππ

因为1，

42

所以sin1cos1，所以cos1sin10，

π

因为2π，

2

所以sin2cos2，所以sin2cos20，

故复数z的共轭复数对应的点在第三象限，

故答案为：三.

【变式1】（2023下·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若复数aa1i在复平面内对应的点位于第一象限，

则实数a的取值范围是（）

A．a1B．a0C．a1D．0a1

【答案】C

a0

【详解】由题意可得a1.

a10

故选：C

【变式2】（2021·高一课时练习）当0m1时，复数z1mm2mi在复平面上对应的点位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【详解】∵0m1，

∴1m0，m2mmm10，

∴复数z1mm2mi在复平面上对应的点位于第四象限．

故选：D.

【变式3】（2022上·北京·高二北京二中校考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z3mimR且z5，

z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为.

【答案】4

【详解】z3mimR，

z32m25，解得m4，

z在复平面内的对应点位于第四象限，m0，m4.

故答案为：4.

题型03实轴，虚轴上点对应复数

【典例1】（2023下·高一单元测试）若复数zm2m2m23m2i在复平面内对应的点位于虚轴上，

则实数m的取值集合为.

【答案】1,2

【详解】因为m为实数，且复数zm2m2m23m2i在复平面内对应的点m2m2,m23m2

位于虚轴上，

所以m2m20，解得m2或m1.

故答案为：1,2.

【典例2】（2022上·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知复数

zm22m3m24m3imR在复平面上对应的点为Z，

(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；

(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；

(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.

【答案】(1)m=1或m=3；

(2)m=3或m1；

(3)m3或m1.

【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部m24m30，

解得m=1或m=3.

（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，

所以m22m30，解得m=3或m1.

（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，

m22m3>0

即，解得或

2m3m1.

m4m+3>0

【典例3】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中）mR，复数zm2m2m21i在复平面

内对应的点Z.

(1)点Z位于第二象限，求m的取值范围；

(2)复数z是纯虚数，求m的值.

【答案】(1)(2,1)

(2)m2

【详解】（1）因为复数zm2m2m21i在复平面内对应的点Z位于第二象限，

m2m202m1

所以，即，

2

m10m1或m1

解得2m1，即m的取值范围为(2,1)

（2）因为复数z是纯虚数，

m2m20

所以，解得，

2m2

m10

所以当m2时，复数z是纯虚数

【变式1】（2022·高一课时练习）若复数za22aa2a2i对应的点在虚轴上，求实数a应满足的

条件．

【答案】a＝0或2

【详解】∵复数za22aa2a2i对应的点在虚轴上，

∴a22a0，解得a2或a0.

【变式2】（2023下·陕西榆林·高一校考期中）求实数m的值或取值范围，使得复数zm2m2m21i

分别满足：

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.

【答案】(1)1

(2)2

(3)1m1

22

【详解】（1）因为复数zmm2m1i是实数，所以m210，所以m1；

m210

（）因为复数22是纯虚数，所以，

2zmm2m1i2

mm20

所以m2；

（3）复数zm2m2m21i在复平面中对应的点为m2m2,m21，

m2m20

因为该点位于第三象限，所以，所以1m1

2.

m10

【变式3】（2023下·天津河北·高一统考期中）已知复数zm21m2m2i，mR.

(1)若z是实数，求m的值；

(2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.

【答案】(1)m1或m2；

(2)m1；

(3)1m2

【详解】（1）解：zm21m2m2i，且z是实数，

m2m20，

解得m1或m2；

（2）解：z是纯虚数，

m210

，

2

mm20

解得m1；

（3）解：z在复平面内对应的点在第四象限，

m210

，

2

mm20

解得1m2.

题型04求复数的模

【典例1】（2023·全国·模拟预测）若aR，z为纯虚数，且2a1i2azi，则az（）

37

A．5B．5C．D．3

3

【答案】A

【详解】因为z为纯虚数，

所以设zmimR,m0，

由2a1i2azi得2a1im2ai，

2ma1

所以，解得，

a12am2

所以z2i，则az12i5，

故选：A．

17

【典例2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知zi，则z（）

55

A．1B．2C．3D．5

【答案】B

1717

【详解】因为zi，所以z()2()22.

5555

故选：B

【典例3】（2022·全国·高二专题练习）已知zm3m1imR在复平面内对应的点在第四象限，

则复数z的模的取值范围是（）

A．22,4B．2,4C．22,4D．2,4

【答案】A

【详解】解：因为zm3m1imR在复平面内对应的点在第四象限，

m30

所以，解得3m1，

m10

222

zm3m12m24m102m18，

22

因为3m1，所以m10,2，则2m1822,4，

所以复数z的模的取值范围是22,4.

故选：A.

【变式1】（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）若a2ib12i43i，其中a，

bR，i是虚数单位，则abi（）

A．2B．5C．3D．5

【答案】B

【详解】若a2ib12i43i，即2aba2bi43i，

2ab4a1

得，解得，

a2b3b2

所以abi12i5．

故选：B

【变式2】（2023下·高一单元测试）已知复数z68i，则z（）

1416

A．5B．10C．D．

99

【答案】B

【详解】复数z68i，则|z|628210，

故选：B

【变式3】（多选）（2022上·山东青岛·高三统考期末）已知复数za1a2i，i为虚数单位，aR，

则下列正确的为（）

A．若z是实数，则a1B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上

3

C．zD．若z2z1，则a1

2

【答案】BC

2

【详解】选项A：由复数za1ai是实数可知1a20，解之得a1.选项A判断错误；

选项B：复数za1a2i在复平面内对应点Z(a,1a2)，其坐标满足方程y1x2，即点Z(a,1a2)位于

抛物线y1x2上.判断正确；

选项C：由za1a2i，可得

2

222422133

za1aaa1a.判断正确；

242

22

选项D：z2z1即a1ai=2a121ai

a2a1

可得22，解之得a1.选项D判断错误.

1a21a

故选：BC

题型05根据复数的模求参数

【典例1】（2023下·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）已知复数zababi为纯虚数（a,bR，

i是虚数单位），且z2，则（）

A．a1且b1B．a1且b=-1C．a1或b=-1D．b1或b=-1

【答案】D

ab0

【详解】复数zababi为纯虚数，则，即ab0，故z2bi，

ab0

2

由z2b2b2，则b1或b=-1．

故选：D．

ππ

【典例2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设复数zcos2sin（ii为虚数单位）且,0，

22

若z1，则tan2．

【答案】22

2

【详解】由题设zsin2sini，则|z|(sin)22sin1，

21π36

所以sin，又,0，则sin，cos，

3233

2tan

2

所以tan，则tan2222.

21tan

故答案为：22

【典例3】（2021·全国·模拟预测）已知复数zaa4iaR（i为虚数单位），若z22，则实数

a的值为（）

A．2B．0C．1D．2

【答案】D

【详解】由题意zaa4iaR，z22，

22

可得a2a422，整理得a20，所以a20，所以a2，

故选：D．

【典例4】（2022·上海·统考模拟预测）已知是实系数一元二次方程x2(2m1)xm210的一个虚数根，

且||5，若向量a(2m1,3m)，则向量|a|的取值范围为

513

【答案】5,

4

【详解】不妨设abi，abi，

因为是实系数一元二次方程x2(2m1)xm210的一个虚数根，

22

所以也是x(2m1)xm10的一个虚数根，

从而a2b2||2m215①，

又因为x2(2m1)xm210无实根，

所以[(2m1)]24(m21)0②，

3

由①②可得，m2，

4

因为a(2m1,3m)，所以|a|2(2m1)2(3m)25(m1)25，

由一元二次函数性质易知，

32325

当m1时，2有最小值5；当m时，|a|；当m2时，2，

|a|416|a|10

32325513

故当m2时，5|a|，即5|a|，

4164

513

故向量|a|的取值范围为：5,.

4

513

故答案为：5,.

4

【变式1】（2023下·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知复数z3ai(a0)的模为5，则a.

【答案】4

【详解】由题意，可得a9a25，且a0，解得a4.

故答案为：4.

【变式2】（2022下·河南·高二校联考阶段练习）设复数zacos2asini(i为虚数单位)，若对任

意实数，z2，则实数a的取值范围为（）

555

A．1,B．1,1C．0,2D．,

555

【答案】D

【详解】解：由zacos2asini，得zcosisina2ai2，

由复数模的几何意义知，cosisina2ai表示复平面上的点Pcos,sin与点Aa,2a间的距

离，

而点P在单位圆x2y21上，要使PA2恒成立，则点A必在圆x2y21上或其内部，故

2255

a2a1，解得a.

55

故选：D.

【变式3】（2023下·福建·高一校联考期中）已知复数z的实部为3，且z2，则复数z的虚部为．

【答案】1

【详解】由复数z的实部为3，可设复数z3bi,bR，

因为z2，可得(3)2b22，可得b21，解得b1.

故答案为：1.

【变式4】（2023下·河南南阳·高一统考期末）已知复数zm2m6m2m2i(mR)在复平面内所

对应的点为A.

(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；

(2)求|z|的最小值及此时实数m的值.

【答案】(1)3m2或1m2

117

(2)|z|的最小值为22，m

2

m2m60

【详解】（）由，解得或

123m21m2.

mm20

22

（2）|z|2m2m6m2m2，

2

2199

令mm2t，∵tm，∴t,，

244

2

则|z|22t28t162t28，

117

所以当t2，即m时，有最小值22.

2

题型06判断复数对应点所在象限

【典例1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）复数z1i在复平面上对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【详解】根据复数的几何意义，可得复数z1i在复平面内对应的点Z(1,1)位于第四象限.

故选：D.

【典例2】（2022下·高一校考单元测试）欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩

大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当xπ时，eiπ10.根据欧拉公式可知，e4i对应的点

在复平面内位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

4i

【详解】解析：因为eixcosxisinx，所以ecos4isin4,

3

π4π，所以cos40,sin40，

2

故e4i对应的点在复平面中位于第三象限．

故选：C.

【典例3】（多选）（2023·高一单元测试）设mR，复数z3m25m21mi，则z在复平面内对应

的点可能在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】ABD

【详解】由题意得：复数z在复平面内对应的点为3m25m2,1m；

令fm3m25m23m2m1，

①当1m0，即m1时，

22

若m，则fm0，3m5m2,1m位于第一象限；

3

2

若m1，则fm0，3m25m2,1m在第二象限；

3

②当1m0，即m1时，fm0，3m25m2,1m位于第四象限；

综上所述：z在复平面内对应的点可能在第一、第二和第四象限.

故选：ABD.

【变式1】（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）若复数z33i，则z在复平面上的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【详解】复数z33i在复平面上的对应的点为3,3，

所以z在复平面上的点在第四象限.

故选：D.

1

【变式2】（2022下·高一课时练习）复数zxx3i(xR)在复平面上对应的点不可能位于（）

x

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】B

1

【详解】根据题意可知，复数z的实部ax，虚部bx3.

x

1

当x0时，ax0，bx3231，故点a,b可能在一、四象限；

x

1

当x0时，ax0，bx3235，故点a,b在第三象限.

x

1

综上，复数zxx3i(xR)在复平面上对应的点不可能位于第二象限.

x

故选：B.

题型07根据复数的坐标写出复数

【典例1】（2023下·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚

轴对称，若z132i，i为虚数单位，则z2（）

A．32iB．32iC．32iD．23i

【答案】B

【详解】z132i对应的点的坐标为3,2，

因为z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

所以z2对应的点的坐标为3,2，

故z232i.

故选：B.

【典例2】（2022·江苏南通·校联考模拟预测）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋

2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（）

1

A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．3i

2

【答案】B

【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），

由题意可知ABOD，正方形以OA,OB为邻边，设另一点为D（x，y），

所以AB(3,1),OD(x,y),OA(1,2),BD(x2,y1),

ABOD03xy0x1

则，解得，

OABD1(y1)2(x2)y3

∴z13i.

故选：B．

【典例3】（2022下·陕西西安·高二统考期中）在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的

复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为

【答案】3+5i

【详解】试题分析：A,B,C三点对应的复数分别是13i,i,2i，A(1,3),B(0,1),C(2,1)，

设D(x,y)，则：AB(1,4),DC(2x,1y)，

在平行四边形ABCD中，有ABDC，即(1,4)(2x,1y)，

2x1x3

{{，即D(3,5)对应的复数为：35i.

1y4y5

故答案应填：35i．

【变式1】（2022上·广西·高二统考学业考试）复数abia,bR与复平面内的点a,b一一对应，则复平

面内的点2,3对应的复数是（）

A．23iB．1iC．4iD．5i

【答案】A

【详解】复平面内的点2,3对应的复数为23i.

故选：A

【变式2】（2022下·山东枣庄·高一统考期末）在复平面内，点A，B对应的复数分别为35i，32i.若C

为靠近点B的线段AB的三等分点，则点C对应的复数是（）

A．13iB．13iC．5iD．14i

【答案】A

【详解】解：设C(x,y)，点A，B对应的复数分别为35i，32i，

A(3,5)，B(3,2)，则AC(x3,y5)，AB(6,3)，

C为靠近点B的线段AB的三等分点，

2x34x1

ACAB，，解得，

3y52y3

C(1,3)，对应复数为13i．

故选：A．

【变式3】（2022·高一课时练习）已知复数z112i,z22i,z312i在复平面上对应的点是一个正方

形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.

【答案】2i

【详解】设复数z112i,z22i,z312i在复平面上分别对应点

A1,2,B2,1,C1,2

设正方形的第四个顶点对应的坐标是D(x,y),则其对应的复数为xyi,则ADBC,

又AD(x1,y2),BC(1,3)

(x1,y2)(1,3)

x11,y23

x2,y1

故这个正方形的第四个顶点对应的复数是2i

题型08根据复数对应坐标的特点求参数

22

【典例1】（2022下·广东清远·高一校联考期中）已知mR，复平面内表示复数m2m3m4mi的

点位于第三象限内，则m的取值范围是.

【答案】0,3

【详解】由题意可知，复数对应点的坐标为(m22m3,m24m)，该点位于第三象限内，

m22m30

则满足

2,

m4m0

1m3

得,所以0m3,

0m4

故答案为：0,3

【典例2】（2022·全国·高一专题练习）已知z1cosisin2,z23sinicos，当θ为何值时，

(1)z1z2；

(2)z1,z2对应点关于x轴对称；

(3)z22．

【答案】(1)2k(kZ)

6

7

(2)2k(kZ)

6

(3)kk(kZ)

44

【详解】（1）解：因为z1z2，

3

3tan

cos3sintan3

所以，即3，则，

sin2cos1

2sincoscossin

2

所以2k(kZ)；

6

（2）解：因为z1,z2对应点关于x轴对称，

3

3tan

cos3sintan3

所以，即3，则，

sin2cos1

2sincoscossin

2

7

所以2k(kZ)；

6

（3）解：由z22，

2

得3sincos22，

即3sin2cos22，

2122

所以sin，所以sin，

222

所以kk(kZ).

44

22

【变式1】（2022下·陕西延安·高二子长市中学校考期末）已知复数zm2mmm6i，mR，i是

虚数单位．

(1)若复数z为纯虚数，求m的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．

【答案】(1)0

(2)0,3

m22m0,

【详解】（）∵复数z为纯虚数，∴解得，

12m0

mm60,

∴m的值为0．

（2）∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，

m22m0,

∴解得，

20m3

mm60,

故m的取值范围为0,3．

【变式2】（2022下·广西柳州·高一统考期中）已知复数zm25m6m23mimR

(1)若复数z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若复数z在复平面内的对应点在第四象限，求实数m的取值范围．

【答案】(1)2；

(2)0m2.

m25m60

【详解】（）复数22是纯虚数，则有，

1zm5m6m3mimR2

m3m0

解得m2，

所以实数m的值是2.

（2）复数zm25m6m23mimR在复平面内的对应点在第四象限，

m25m60

于是得，解得：，

20m2

m3m0

所以实数m的取值范围是0m2.

题型09共轭复数

【典例1】（2023下·四川内江·高一统考期末）设复数z34i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在第

（）

A．一象限B．二象限

C．三象限D．四象限

【答案】A

【详解】由题意可知，复数z的共轭复数为z34i，

则复数z在复平面内对应的点的坐标为3,4，位于第一象限.

故选：A.

【典例2】（多选）（2022下·江苏连云港·高二统考期中）已知复数z43i，则下列命题中正确的为（）

A．|z|5B．z43iC．z的虚部为3iD．z在复平面上对应点在第二象限

【答案】AB

【详解】因为z43i，

2

所以z4235，故A正确；z43i，故B正确；z的虚部是-3，故C错误；z在复平面上对应的

点是4,3，在第四象限，故D错误.

故选：AB

【变式1】（2022·全国·高三专题练习）若i为虚数单位，则复数z2i33i2的共轭复数z在复平面内对应的

点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【详解】解：z2i33i2-3-2i，z=-32i，z在复平面内对应的点为3,2在第二象限

故选：B

【变式2】（2022下·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知复数z34i，那么z的虚部是.

【答案】-4

【详解】z34i,z34i,

z的虚部是4.

故答案为：4

题型10复数与三角函数、集合的综合问题

【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以

2023

nnππ

导出复数乘方公式：rcosisinrcosnisinn．根据复数乘方公式，复数2cosisin

55

在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

2023

ππ20232023π2023π20233π3π

【详解】由题意得2cosisin2cosisin2cosisin，

555555

20233π3π

因为20，cos0，sin0，

55

2023

ππ

所以复数2cosisin在复平面内对应的点位于第四象限．

55

故选：D

2

【典例2】（2023下·山东青岛·高一统考期中）在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数z1m4mi，

mR.

(1)若点A位于第四象限，求m的取值范围；

(2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量AB对应的复数；

(3)若z22cos4sini，且z1z2，求的取值范围.

【答案】(1)m>2

(2)24m2i

(3)[1,8]

2

【详解】（1）由题意z1m4mi对应点A位于第四象限，

m0

故2，解得m>2，

4m0

即m的取值范围m>2.

22

（2）点A对应的复数为z1m4mi，则关于实轴的对称点B对应的复数为zm4mi，

222

则AB对应的复数为zz1m4mi[m4mi]24mi，

（3）z1z2，

m2cos212

2，即4sin4sin4(sin)1，

4m4sin2

1

由1sin1，可知4(sin)21[1,8]，

2

故的取值范围为[1,8].

【变式1】（2023下·上海闵行·高一统考期末）在复平面上，设点