高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 古典概型 （解析版）

第02讲10.1.3古典概型

课程标准学习目标

①通过古典概型的学习，进一步理解随机事件和样本点

①理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研

的计算公式。究概率模型的一般性思路。

②能判断一个实验是否为古典概型，分清古②通过实例体会古典概型的抽象过程，理解古典概型的

典概型中某随机事件包含的基本事件的个两个特征，掌握古典概型的计算公式。

数和实验中基本事件的总数。③掌握通过放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样

模型两种古典概型问题。

知识点1：古典概型

1.1古典概型的定义

试验具有如下共同特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

1.2古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有

的试验都是古典概型．

下列三类试验都不是古典概型：

①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．

【即学即练1】（2024上·全国·高三专题练习）以下试验不是古典概型的有（）

A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小

B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率

C．近三天中有一天降雪的概率

D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率

【答案】C

【详解】A选项，从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和

等可能性，是古典概型；

B选项中，同时同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；

C选项中，不满足等可能性，不是古典概型；

D选项中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．

故选：C．

知识点2：古典概型的概率计算公式

2.1古典概型的概率计算公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A

kn(A)

的概率P(A).

nn()

其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数．

【即学即练2】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的

博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行

拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（）

1234

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为a,b,c,d,e，

两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间{aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,

ca,cb,cc,cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee}，共25个样本点，

两位参赛博主抽到不同主题的事件A{ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,

da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed}，共20个样本点，

204

所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为P(A).

255

故选：D

2.2古典概型的解题步骤

求古典概型概率的步骤：

（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件A）

（2）确定样本空间的样本点的总数n

（3）确定所求事件A包含的样本点的个数k

kn(A)

（4）用公式P(A)求出事件A发生的概率.

nn()

题型01古典概型的判断

【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；

（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；

（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；

（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【详解】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不

满足“有限性”．

第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和

等可能性；

第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；

第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．

故选：A.

【典例2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（）

A．某人射击中靶或不中靶

B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C．四名同学用抽签法选一人参加会议

D．从区间1,10上任取一个实数，求取到1的概率

【答案】C

【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；

B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；

C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；

D：基本事件是区间1,10上所有实数是无限的，不满足；

故选：C

【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列是古典概型的有（）

A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小

B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率

C．近三天中有一天降雨的概率

D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

【答案】ABD

【详解】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相

等.

显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；

C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.

故选：ABD.

【变式1】（2024上·全国·高三专题练习）下列概率模型中不是古典概型的为（）

A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小

B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率

C．近三天中有一天降雨的概率

D．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率

【答案】C

【详解】解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能

性相等.

显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；

C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.

故选：C.

【变式2】（2023下·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

①从区间1,10内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；

③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现

反面朝上的概率.

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【详解】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②

是古典概型；

①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；

④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.

故选：A.

【变式3】（2023·全国·高一专题练习）下列试验是古典概型的是（）

A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点

B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环

C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

【答案】C

【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；

对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；

对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；

对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；

故选：C.

题型02用列举法确定样本空间的样本点的总数n

【典例1】（2023上·湖北荆州·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡

片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，

规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则

不正确的是（）

A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线yx4

上甲获胜，所确定的点在直线yx8上乙获胜

B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜

C．取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜

D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜

【答案】A

【详解】画树状图如下：

对于A：由树状图可知，共有16种等可能的结果，

其中所确定的点在直线yx4上的点有1,5,2,6,3,7,4,8共4个，

所确定的点在直线yx8上的点有1,7,2,6,3,5共3个，

故两种情况下的基本事件个数不一样，即两种情况下概率不一样，选项A符合题意；

对于B：由树状图可知，共有16种等可能的结果，

其中两个数乘积大于15的有2,8,3,6,3,7,3,8,4,5,4,6,4,7,4,8共8种，

则两个数乘积不大于15的也有8种，

故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项B不符合题意；

对于C：由树状图可知，共有16种等可能的结果，

其中取出的两个数乘积不小于20的有3,7,3,8,4,5,4,6,4,7,4,8共6种，

则取出的两个数乘积小于20的有10种，

5631030，选项C不符合题意；

对于D：由树状图可知，共有16种等可能的结果，

其中取出的两个数相加和为奇数的有1,6,1,8,2,5,2,7,3,6,3,8,4,5,4,7共8种，

则取出的两个数相加和为偶数的有8种，

故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项D不符合题意；

故选：A.

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：

(1)连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数；

(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．

【答案】(1){0,1,2,3,4,5}；

(2){黑桃，红心，方块，梅花}

【详解】（1）连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数为0，1，2，3，4，5，样本空间是{0,1,2,3,4,5}；

（2）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色只能是黑桃、红心、方块、

梅花中的一个，样本空间是{黑桃，红心，方块，梅花}．

【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）在试验E5“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事

件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，试用样本点

表示事件A和事件B．

【答案】见解析

【详解】解：A{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}；

B{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．

【变式1】（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）A,B两个元件组成一个串联电路，每

个元件可能正常或失效.设事件A“A元件正常”，B“B元件正常”，用x1,x2分别表示A,B两个元件的状态，

用x1,x2表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（）

①样本空间1,1,1,0,0,1,0,0；②事件B0,1,1,1；

③事件“电路是断路”可以用AB（或AB）表示；

④事件“电路是通路”可以用AB（或AB）表示，共包含3样本点.

A．0B．2C．3D．4

【答案】B

【详解】因为x1,x2分别取值0和1，因此(x1,x2)的取值为(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)，①正确；

事件B中x21，而x1任取，因此②正确；

事件“电路是断路”中，x1,x2至少有一个取0，因此事件“电路是断路”{(0,1),(1,0),(0,0)}，

A{(1,1),(1,0)}，A{(0,1),(0,0)}，B{(1,0),(0,0)}，从而“电路是断路”可表示为AB，③错；

事件“电路是通路”中，x1,x2两个都取1，因此事件“电路是通路”{(1,1)}，

A{(1,1),(1,0)}，从而“电路是通路”可表示为AB，其中只有一个样本点，④错．

正确的个数是2，

故选：B．

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）在试验E6“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为

1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，

摸到白球的结果分别记为w1，w2，w3，摸到黑球的结果分别记为b1，b2．设事件A表示随机事件“第一次

摸出的是黑球”，事件B表示随机事件“至少有一次摸出的是黑球”，试用样本点表示事件A和事件B．

【答案】答案见解析

【详解】Ab1,w1,b1,w2,b1,w3,b2,w1,b2,w2,b2,w3,b1,b2,b2,b1,

Bb1,w1,b1,w2,b1,w3,b2,w1,b2,w2,

b2,w3,

w1,b1,w2,b1,w3,b1,w1,b2,w2,b2,w3,b2,b1,b2,b2,b1.

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）拋掷一枚骰子，用1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，写出试验的

样本点和样本空间．

【答案】答案见解析

【详解】解：试验一共有6个样本点，它们是1，2，3，4，5，6．

所以该试验的样本空间Ω{1,2,3,4,5,6}．

题型03用列举法求古典概型的概率

【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主

从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，

则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（）

1234

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为a,b,c,d,e，

两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间{aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,

ca,cb,cc,cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee}，共25个样本点，

两位参赛博主抽到不同主题的事件A{ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,

da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed}，共20个样本点，

204

所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为P(A).

255

故选：D

【典例2】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取

1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.

3

【答案】

5

【详解】由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件的总数为N5525个，

则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：

(1,1),(2,2),(2,1),(3,3),(3,2),(3,1),(4,4),(4,3),(3,2),(4,1),(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1)，

共有15个，

153

所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为P.

255

3

故答案为：.

5

【典例3】（2024上·辽宁朝阳·高二统考期末）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功

举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，

举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，

将他们的成绩分成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100六组，并制成如图所示的频率

分布直方图.

(1)求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；

(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从80,90，90,100中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采

访，求接受采访的2人中有人成绩在90,100的概率.

【答案】(1)a0.015，平均数为72分

1

(2)

3

【详解】（1）依题意，0.0052a0.020.030.025101，解得a0.015，

平均数为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572.

（2）80,90的频率为0.25，90,100的频率为0.05，

所以从80,90中抽取5人，记为1,2,3,4,5，

在90,100中抽取1人，记为6，

从中任选2人，基本事件有：1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6，

3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，共15种，

其中接受采访的2人中有人成绩在90,100的有1,6,2,6,3,6,4,6,5,6，

51

共5种，所以接受采访的2人中有人成绩在90,100的概率为.

153

【典例4】（2024上·吉林长春·高二校考期末）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取

了100名候选者的面试成绩,并分成五组：第一组45,55,第二组55,65,第三组65,75,第四组75,85,第五

组85,95,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率

相同.

(1)求a,b的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；

(3)在第四,第五两组志愿者中,采用分层抽样的方法从中抽取5人,然后再从这5人中选出2人,求选出的两人

来自同一组的概率.

【答案】(1)a0.025，b0.005

(2)69.4

3

(3)

5

【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以0.0450.020b100.7，解得b0.005，

所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即ab100.3，所以a0.025

（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以中位数在65和75之间,即为

0.50.3

651069.4，

0.45

所以中位数为69.4；

（3）第四、第五两组志愿者分别有20人、5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为

a,b,c,d,第五组志愿者人数为1,设为e，这5人中选出2人，

所有情况有a,b，a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e共有10种情况,

记事件A：选出的两人来自同一组,则A中有a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d.共6种情况,

63

故PA.

105

【变式1】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海

至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风

光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金

坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（）

3113

A．B．C．D．

204208

【答案】D

【详解】设金坛站､武进站､江阴站､张家港占、常熟站用A,B,C,D,E，

甲、乙两人用字符对表示下车的站，

于是有以下情形：

AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE共有16种情形，

其中甲比乙晚下车的情况是BA，CA,CB,DA,DB,DC，共有6种情形，

63

所以甲比乙晚下车的概率为，

168

故选：D

【变式2】（2024上·山东淄博·高二统考期末）从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互

质的概率为.

3

【答案】/0.6

5

【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：

{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，

所取2个数互质的事件A{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}，共6个样本点，

63

所以这2个数互质的概率为P(A).

105

3

故答案为：

5

【变式3】（2024上·北京昌平·高一统考期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，

我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取M个居民作为样本，得

到这M个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：

分组区间频数频率

10,15150.15

15,2020

20,25350.35

25,30m

30,35120.12

合计M1

(1)求出表中M，m及图中a的值；

(2)若本小区有3200人，试估计该小区阅读时间在区间15,20内的人数；

(3)在所取样本中，从阅读时间不少于25小时的居民中，按分层抽样的方法选取5人，并从这5人中选2人去

参加社区知识竞赛，求至多有1人阅读时间在区间25,30内的概率.

【答案】(1)M100,m18,a0.7

(2)640

7

(3)

10

15

【详解】（1）依题意，M100，

0.15

所以m1001520351218，

0.35

a0.7.

5

20

（2）阅读时间在区间15,20内的人数为3200640.

100

18

（3）25,30抽取53人，记为1,2,3，

1812

12

30,35抽取52人，记为4,5.

1812

从这5人中选2人去参加社区知识竞赛，基本事件有：

1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，共10个，

至多有1人阅读时间在区间25,30内包含的基本事件有：

1,4,1,5,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，共7个，

7

所以至多有1人阅读时间在区间25,30内的概率为.

10

【变式4】（2024上·广西桂林·高一统考期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10

月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教

师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.

(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；

(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.

【答案】(1)答案见解析

9

(2)

10

【详解】（1）将2位男教师记为a1,a2，3位女教师记为b1,b2,b3，

则样本空间a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3，共10个样本

点.

（2）设事件A表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”,

则Aa1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3，

9

A中包含9个样本点,所以P(A).

10

题型04有放回与无放回的概率

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再

随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

1132

A．B．C．D．

105105

【答案】D

【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，

则事件A共包含以下10种情况：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)，

而有放回的连续抽取2张卡片共有5525（种）不同情况，

102

则P(A)

255

故选：D

【典例2】（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，

放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

1357

A．B．C．D．

8888

【答案】B

【详解】从分别写有1,2,3,4的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数4416种情况，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3共6种情况，

63

故所求概率为：P，

168

故选：B.

【典例3】（2024上·广西北海·高一统考期末）从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1

张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为．

3

【答案】

7

【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件A，

事件A包括以下21种情况：(7,1)，(7,2)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(7,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，

而有放回地连续抽取2张卡片共有7749（种）不同情况，

213

则PA．

497

3

故答案为：.

7

【典例4】（2023上·河南信阳·高二统考期中）从三名男生（记为A1，A2，A3）、两名女生（记为B1，B2）

中任意选取两人.

(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；

(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.

9

【答案】(1)样本空间见解析，

25

7

(2)样本空间见解析，.

10

【详解】（1）样本空间

ΩA1A1,A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A1,A2A2,A2A3,A2B1,A2B2,

A3A1,A3A2,A3A3，A3B1,A3B2,B1A1,B1A2,B1A3,B1B1,B1B2,B2A1,B2A2,B2A3,

B2B1,B2B2，

记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有:

A1A1,A1A2,A1A3,A2A1,A2A2,A2A3A3A1,A3A2,A3A3，共9个，

9

则P(A).

25

（2）样本空间A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2，

记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有：

7

AB,AB,AB,AB,AB,AB,BB，共7个，则P(B).

1112212231321210

【变式1】（2023上·四川成都·高二统考期中）袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，

其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）

A．8B．9C．12D．16

【答案】C

【详解】设4个小球分别为A1，A2，B1，B2，则试验结果为4312．

故选：C

【变式2】（2024·四川绵阳·统考二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游

戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、

乙二人抽到花色相同的概率为．

3

【答案】

7

【详解】因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽，

所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有：

①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，

43323

所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为.

76767

3

故答案为：.

7

【变式3】（2024上·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）从分别标有数字1,2,3,,9的9张卡

片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是.

5

【答案】.

9

545

【详解】若第一张卡片上的数字为奇数，第二张卡片上的数字为偶数，则p，

19818

455

若第一张卡片上的数字为偶数，第二张卡片上的数字为奇数，则p，

29818

5

故抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是ppp.

129

5

故答案为：.

9

【变式4】（2024·全国·高三专题练习）已知不透明的袋中装有三个黑球（记为B1，B2和B3）、两个红球（记

为R1和R2），从中不放回地依次随机抽取两球．

(1)用集合的形式写出试验的样本空间；

(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．

【答案】(1)答案见详解

3

(2)

10

【详解】（1）试验的样本空间

={(B1,B2),(B1,B3),(B1,R1),(B1,R2),(B2,B1),(B2,B3),(B2,R1),(B2,R2),

(B3,B1),(B3,B2),(B3,R1),(B3,R2),(R1,B1),(R1,B2),(R1,B3),(R1,R2)

(R2,B1),(R2,B2),(R2,B3),(R2,R1)；

（2）设事件A=“抽到两个黑球”，则对于不放回简单随机抽样，

A{(B1,B2),(B1,B3),(B2,B1),(B2,B3),(B3,B1),(B3,B2)}．

因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．

nA63

因此PA．

n2010

3

所以抽到的两个球都是黑球的概率为

10

题型05根据古典概型的概率求参数

【典例1】（2023上·浙江·高二温州中学校联考期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的

是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金

的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资

金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.

刮第1张卡前，下注50元：

若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少；

若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；

所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；

1

所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可，

2

n(n1)

由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种，

2

n(n1)1

所以n(n1)10且2n5，故n4或5，即n至少为4.

202

故选：C

【典例2】（2023上·广东佛山·高二统考期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，

1

现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则n的值为（）

3

A．4B．5C．12D．15

【答案】A

【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n个绿球，

1

从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，

3

651

则，

6n5n3

解得n4（负值舍去）.

故选：A．

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂生

产了690件，乙工厂生产了510件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法

从所生产的产品中随机抽取80件样品，已知该精密仪器按照质量可分为A,B,C,D四个等级．若从所抽取的

3

样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的A等级产品的概率为，则抽取的B,C,D三个等级

20

中甲工厂生产的产品共有件．

【答案】34

690

【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了8046件样品，

1200

x3

设抽取甲工厂生产的A等级产品有x件，则，解得：x12，

8020

抽取的B,C,D三个等级中，甲工厂生产的产品共有461234件.

故答案为：34.

【典例4】（2023·全国·高一专题练习）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机

地取出2个球．

(1)求两次取到的球颜色相同的概率．

3

(2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值．

8

3

【答案】(1)

7

(2)5

321

【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：P，

1767

432

若取出的两个球均为白球，则概率为：P，

2767

3

所以两次取到的球颜色相同的概率为：PPP．

3127

32n3363n3

（2）第二次取出红球的概率为：P，即，

4n3n2n3n28(n3)(n2)8

解得：n5或n2（舍去），故n的值为5．

【变式1】（2023下·重庆·高一统考期末）在一个不透明的袋中有4个红球和n个黑球，现从袋中有放回地

8

随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则n（）

9

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

1

【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则

9

2

n12

2

29nn42n44n40n2.

n49

故选：B

【变式2】（2023上·浙江·高一阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜

1

色的小球，己知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则m的值为．

3

【答案】10

【详解】根据题意，

51

从袋中随机摸出一个红球的概率是P，

5m3

所以m10.

故答案为：10

【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放

4

回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值

9

为．

【答案】2或8

4nn44

【详解】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为，

n4n4n4n49

化简得n210n160，解得n2或8.

故答案为：2或8.

【变式4】（2023·高一课时练习）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小

球1个，蓝色小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件M，且事件M发生的概率是

1

.

2

(1)求n的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小

球得2分，设第一次取出小球后得分为a，第二次取出小球后得分为b，记事件N为“ab2”，求事件N

发生的概率.

【答案】(1)n2

1

(2)

3

【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有n2个结果，每个结果可能性相同，

n1

其中事件M发生有n种结果，所以PM