高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第03讲 复数的加、减运算及其几何意义（解析版）

第03讲7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

课程标准学习目标

①.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形

则。式的加、减运算法则；

②理解复数加减法的几何意义，能够利用2进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用

“数形结合”的思想解题。“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养；

知识点01：复数代数形式的加法运算及其几何意义

（1）复数的加法法则

设z1abi，z2cdi，（a,b,c,dR）是任意两个复数，那么它们的和：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(cd)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

（2）复数加法满足的运算律

对任意z1,z2,z3C，有

交换律：z1z2z2z1

结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)

（3）复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，

z1abiz2cdiOZ1OZ2OZ1

为邻边作平行四边形，则，即：

OZ2OZOZ1OZ2(a,b)(c,d)(ac,bd)

z(ac)(bd)i，即对角线OZ表示的向量OZ就是与复数(ac)(bd)i对应的向量.所以：复数

的加法可以按照向量的加法来进行.

【即学即练1】（2022·高一课时练习）复数的加、减法运算法则

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，

则z1z2，

z1z2．

复数加法的运算律

（1）交换律：．

（2）结合律：z1z2z3．

复数加、减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为OZ1,OZ2，以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形，则与z1z2对

应的向量是，与z1z2对应的向量是．

【答案】acbdiacbdiz1z2z2z1z1z2z3OZ

Z2Z1

知识点02：复数代数形式的减法运算及其几何意义

（1）复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(cdi)(xyi)abi的复数xyi叫做复数abi减去复数cdi的差，记作(abi)(cdi)

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

（2）复数减法的几何意义

复数向量

z2z1Z1Z2

【即学即练2】（2018·高三课时练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是

12i,2i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．

A．3iB．3iC．13iD．13i

【答案】D

【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．

【详解】∵

OC＝OAOB，

∴

OC对应的复数为：12i2i13i，

∴点C对应的复数为13i．

故选D．

知识点03：|z1z2|(z1,z2C)的几何意义

在复平面内,设复数z1abi，z2cdi（a,b,c,dR）对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d),则

22.又复数zz(abi)(cdi)(ac)(bd)i.则

|Z1Z2|(ac)(bd)12

22,故|ZZ||zz|，即|zz|表示复数z,z在复平面内对应的点之间

|z1z2|(ac)(bd)12121212

的距离.

【即学即练3】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知复数z1，z2满足z1i，z1z23，

则z2的最大值为.

【答案】4

【详解】设z2abiaR,bR，

则z1z2iabia1bi，

所以22，即22，b2,4，

z1z2ab13ab19

2222，

z2ab9b1b2b8

当b4时，则z2取得最大值，最大值为2484.

故答案为：4

题型01复数的加、减运算

【典例1】（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设复数z123i,z212i，则复数z1z2在复

平面内对应的点所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【详解】根据复数运算可知：z1z23i，在复平面对应的点的坐标为(3,1)，

位于第二象限.

故选：B

【典例2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知复数z134i，z234i，则z1z2．

【答案】8i

【详解】因为复数z134i，z234i，则z1z234i34i8i.

故答案为：8i.

【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：

(1)34i53i；(2)15i23i；

(3)23i65i；(4)7i32i．

【答案】(1)2i(2)32i(3)42i(4)103i

【详解】（1）34i53i354i3i2i

（2）15i23i125i3i32i

（3）23i65i263i5i42i

（4）7i32i73i2i103i

【变式1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数z123i,z245i，则z1z2（）

A．22iB．68iC．22iD．68i

【答案】A

【详解】由复数z123i,z245i，则z1z223i45i22i.

故选：A.

【变式2】（2023下·北京昌平·高一统考期末）已知复数z12i,z232i，则复数z1z2在复平面内对应

的点位于第象限.

【答案】三

【详解】因为z12i,z232i，

所以z1z22i32i5i，

所以复数z1z2在复平面内对应的点为5,1，位于第三象限，

故答案为：三

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：

(1)73i；(2)32i12i；(3)62i62i；

(4)322i23i423i；(5)354i52i；

(6)82i75i337i．

【答案】(1)10i(2)2(3)0(4)822i(5)456i(6)1533

【详解】（1）由题意可得：73i10i.

（2）由题意可得：32i12i2.

（3）由题意可得：62i62i0.

（4）由题意可得：322i23i423i32242233i822.i

（5）由题意可得：354i52i35542i456i.

（6）由题意可得：82i75i337i8733257i=1533.

题型02复数的加、减运算的几何意义

【典例1】（2023下·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）复数65i与34i分别表示向量OA

与OB，则表示向量BA的复数为（）

A．39iB．28iC．9iD．9i

【答案】D

【详解】复数65i与34i分别表示向量OA与OB，

因为BAOAOB，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i.

故选：D.

【典例2】（2022下·山东日照·高一校联考期末）若复数z143i，z243i（其中i为虚数单位）所对应

的向量分别为OZ1与OZ2，则OZ1Z2的周长为.

【答案】16

【详解】因为OZ14,3，OZ24,3，Z1Z2OZ2OZ10,6，

所以22，22，22

OZ1435OZ2435Z1Z2066.

所以OZ1Z2的周长为55616.

故答案为：16

【典例2】（2022·高一课时练习）如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,32i,24i,

其中i为虚数单位由复数的几何意义,知OA与OC对应的复数分别为32i,24i.

(1)求AO对应的复数.

(2)求CA对应的复数.

(3)求OB对应的复数.

【答案】(1)32i.(2)52i.(3)16i

【详解】解：(1)因为AOOA,所以AO表示的复数为32i.

(2)因为CAOAOC,所以CA表示的复数为(32i)(24i)52i.

(3)OBOAOC,所以OB对应的复数为(32i)(24i)16i.

【变式1】（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点A对应的复数为2i，BA对应的复数为12i，

BC对应的复数为3i，则点C的坐标为．

【答案】4,2

【详解】因为BA对应的复数是12i，BC对应的复数为3i，又ACBCBA，

所以AC对应的复数为3i12i23i，又OCOAAC，

所以点C对应的复数为2i23i42i，

所以点C的坐标为4,2．

故答案为：4,2．

【变式2】（2022下·高二课时练习）在复平面上，如果AB，AC对应的复数分别是54i，23i，那么BC

对应的复数为.

【答案】7i

【详解】AB,AC对应的复数分别是54i,23i,BCACAB，

BC对应的复数为23i(54i)7i.

故答案为：7i.

【变式3】（2022·高一课时练习）设向量OZ1及OZ2在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，

试计算z1－z2，并在复平面内表示出来

【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析.

【详解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，Z15,3,Z24,1，则Z2Z11,2即为z1－z2

所对应的向量，如图所示，

根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量OZ1,OZ2的终点，并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复

数.

题型03与复数的模的几何意义有关的应用

【典例1】（2023·江西·统考模拟预测）已知复数z满足ziz，则z的最小值为（）

113

A．B．C．D．1

424

【答案】B

【详解】设zxyix,yR，

2

由ziz得：xy1ixyi，x2y1x2y2，

11

整理可得：y，zxi，

22

111

zx2（当且仅当x0时取等号），z的最小值为.

422

故选：B.

【典例2】（2023下·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）已知i是虚数单位，复数zabi，aR，

bR，且ziz2i，则z33i的最小值为（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【详解】因为zabia,bR，则ziab1i，z2ia2b1i，

222

由ziz2i可得a2b1a2b1，解得a1，则z1bi，

所以，z33i4b3i，

22

因此，z33i4b34，当且仅当b3时，等号成立，

故z33i的最小值为4.

故选：B.

【典例3】（2022下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）若zcosisin(R，i是虚数单位),

则z22i的最小值是（）

A．22B．2C．221D．221

【答案】D

【详解】解：由复数的几何意义可知：zcosisin表示的点在单位圆上，

而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数22i表示的点Z的距离，

由图象可知：z22i的最小值应为点A到Z的距离，

而OZ222222，圆的半径为1，

故z22i的最小值为221，

故选D．

【变式1】（2022上·湖北武汉·高三校联考阶段练习）复数z满足1z2i3，则z的范围是（）

A．51,53B．10,26C．0,53D．10,26

【答案】D

【详解】设zabia,bR，则z2ia2b1i，

1a233a5

由题意可得：，解得，

b10b1

则za2b2a2110,26.

故选：D.

【变式2】（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）若i为虚数单位，复数z满足z1，则z(1i)的最大值

为（）

A．21B．2C．21D．22

【答案】C

【详解】z1表示的几何意义是复数z对应的点到原点的距离小于等于1，

z1i表示的几何意义是复数z对应的点与点1,1连线段的长度，

22

故的z(1i)最大值为0101121，

故选：C.

【变式3】（2023·高一课时练习）若复数z满足|z﹣2i|＝1（i为虚数单位），则|z|的最小值为.

【答案】1

【详解】设zxyi,x,yR，

∵z2i＝1，

∴xy2i＝1，

2

∴x2y21，

2

∴x21y2y1,3.

2

则zx2y21y2y24y3431.

当y1时取等号.

故答案为：1.

题型04根据复数的加、减运算结果求参数

【典例1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）若zz2，则z2z的实部可能是（）

A．3B．1C．3iD．i

【答案】A

【详解】设zabi(a,bR)，

因为zz2，

所以abiabi2，得a1，

所以z1bi(bR)，

所以z2z1b22(1bi)(1b22)2bi，

则z2z的实部1b223，

故选：A

【典例2】（2022·河北石家庄·石家庄一中校考模拟预测）zC，若|z|z12i，则z（）

33

A．2iB．2iC．22iD．22i

22

【答案】B

a2b2a1

【详解】设zabi，则|z|za2b2abi12i，故，

b2

3

a3

故2，故z2i.

2

b2

故选：B.

【变式1】（2022上·安徽·高三校联考阶段练习）已知复数z满足zz2i，则z的虚部是（）

A．1B．1C．iD．i

【答案】A

【详解】设zabia,bR，

因为zz2i，可得zzabiabi2bi2i，

则2b2，可得b=-1，所以复数z的虚部是1.

故选：A

22

【变式2】（2022下·河南安阳·高一统考期末）已知z1m3mmi，z245m6i，其中m为实数，

i为虚数单位，若z1z20，则m的值为．

【答案】1

22

【详解】由题意可得z1z20，即

m3mmi45m6i，

m2

3m4

根据两个复数相等的充要条件可得，解得，

2m1

m

5m6

故答案为：1.

题型05根据复数的加、减运算结果求复数的特征

【典例1】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称

这个复数为“等部复数”，若复数za2i（其中aR）为“等部复数”，则复数z2ai在复平面内对应的点

在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【详解】因为复数za2i（其中aR）为“等部复数，可得a2，

即z22i，可得z22i，

则z2ai22i4i22i在复平面内对应的点为Z2,2位于第一象限.

故选：A.

【典例2】（2023下·四川眉山·高一仁寿一中校考期中）复数(12i)(34i)对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【详解】由复数(12i)(34i)26i，可得复数在复平面内对应的点(2,6)位于第二象限.

故选：B.

【典例3】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）设复数z1，z2满足z1z22，z1z23i，

复数z1,z2,z1z2在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形ABC的面积为（）

A．3B．23C．2D．3

【答案】D

【详解】设z1abi，z2cdi，

则z1z2acbdi3i，

所以a2b24，c2d24，ac3，bd1，

22

所以acbda2b2c2d22bd2ac4，

即2bd2ac4，

所以222222，

ABz1z2acbdiacbdabcd2bd2ac1223

又BCz12，ACz22，

在ABC中，过C作CDAB，垂足为D，

1

则D为AB中点，即ADDBAB3，

2

所以CDAC2AD2431，

11

所以SABCD2313.

ABC22

故选：D.

【变式1】（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数m1时，复数m3i2i在复平面内对应的点位

于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【详解】m3i2i(3m2)(m1)i,

又m1，故3m210,m10,

故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【变式2】（2022下·上海浦东新·高一校考期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2kx30有两个虚

x

根1和x2，且x1x222，则k的值为（）

A．2B．2C．2D．23

【答案】C

2

【详解】因为方程xkx30有两个虚根x1和x2，

所以D=k2-4´3<0，则23k23，

k12k2i

又由求根公式知两虚根为，x1x222，

2

22

所以x1x212ki22，则12k22，解得k2，满足要求，

所以k2.

故选：C.

【变式3】（2022下·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知复数z1，z2满足z11，z22，z3z1z2，

则z3在复平面所对应的点组成的图形的面积为．

【答案】8

【详解】z11，z1是以复平面内点0,0为圆心，以1为半径的圆，

z3z1z2，z2z1z3z2z1z32，

z1z32,z1z32，即1z33，

复数z3以复平面内点0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，

22

则z3在复平面所对应的点组成的图形的面积为：S318

故答案为：8.

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023下·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知复数z2i，且azzb0，其中a，

b为实数，则（）

A．a1，b4B．a1，b4C．a1，b4D．a1，b4

【答案】B

【详解】因为z2i，所以azzba2i2ib2ab2a1i，

2ab20a1

由azzb0，得，即；

a10b4

故选：B.

2．（2022下·广西钦州·高二统考期末）2i12i等于（）

A．3iB．43iC．4iD．13i

【答案】D

【详解】2i12i2i12i=13i.

故选：D.

3．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数2i1aai为纯虚数，则实数a的值为（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【详解】因为2i1aaia21ai为纯虚数，

a20

所以，解得a2.

1a0

故选：D．

4．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知复数z1123i，z29i，则z1z2的实部与虚部分别为（）

A．3，2B．3，2iC．2，3D．2，3i

【答案】A

【分析】应用复数加法求z1z2，根据实部、虚部定义得答案.

【详解】因为z1123i，z29i，所以z1z232i，其实部与虚部分别为3，2.

故选：A

5．（2023·全国·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为2sin120,2cos120，则z23

（）

A．2B．23C．33D．13

【答案】A

【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.

【详解】因为2sin120,2cos120可化为(3,1)，

所以点Z的坐标为(3,1)，则z3i，

所以z233i233i，

所以z23(3)2122．

故选：A．

6．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）复数i2+2i3+3i4在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的运算可得i22i33i422i，结合复数的几何意义分析判断.

【详解】由题意可得：i22i33i412i322i，

所以该复数对应的点为2,2，该点在第四象限.

故选：D.

7．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对

应的向量OZ1,2，则zi（）

A．3B．3C．2D．2

【答案】D

【分析】由复数的几何意义可得z12i，再根据题意计算复数的模即可.

【详解】因为复数z对应的向量OZ1,2，所以z12i，

所以zi12ii1i12122.

故选：D.

8．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知复数z满足z24i1，当z的虚部取最小值时，z（）

A．23iB．23iC．35iD．33i

【答案】A

22

【分析】设zxyix,yR，利用复数的模长公式可得出x2y41，求出y的取值范围，可得

出y的最小值，进而可得出x的值，由此可得出复数z的值.

【详解】设zxyix,yR，则z24ix2y4i，

2222

所以，z24ix2y41，即x2y41，

2

所以，y41，可得1y41，解得3y5，

22

当z的虚部取最小值时，即当y3时，则x2341，解得x2，

故z23i，

故选：A.

二、多选题

9．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）

A．若z1R，则z1z1B．若z1z2，则z1z2

C．若z1z2，则z1z2D．若z1z2z1，则z10或z22z1

【答案】AC

【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.

【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；

B：取z11，z2i，满足z1z2，但z1z2，故本选项错误；

2222

C：设z1abi，z2cdi，a,b,c,dR，由z1z2，得abicdi，即ac，bd，所以abcd，

即z1z2，故本选项正确；

D：取z12，z213i，则z1z213i，z1z22z1，此时z10且z22z1，故D不正确．

故选：AC

10．（2021下·山东济宁·高一统考期末）设复数z的共轭复数为z，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A．zzRB．zz是纯虚数

3

C．若zcosisin，则z1D．若zi1，则z的最大值为2

55

【答案】AD

【分析】利用复数的运算法则判断A的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算法

则判断C；利用复数模的几何意义判断D．

【详解】解：因为复数z与其共轭复数为z的实部相等，虚部互为相反数，所以zzR，A正确；

当z为实数时，z也为实数，则zz是实数，B错误；

33

若zcosisin，则|z|cos2sin21，C错误；

5555

若|zi|1，设zxyi(x,yR)，即x2(y1)21，则|z|表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，

D正确，

故选：AD．

三、填空题

11．（2023上·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）复数z1a4i，z23bi（a、bR），若它们的

和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则abi．

【答案】5

【分析】应用复数的加减运算求z1z2、z1z2，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可.

【详解】由题设z1z2a4i3bi(a3)(b4)i为实数，故b4，

z1z2(a3)(4b)i，故a3，

所以abi34i32(4)25.

故答案为：5

12．（2023·河南开封·统考二模）已知复数z满足z2iz，写出一个满足条件的复数z．

【答案】1i（答案不唯一，虚部为1即可）

【分析】设复数z，代入复数的模的公式求解即可.

【详解】设zabi，（a，bR），

2

则z2iabi2iab2ia2b2，

zabia2b2，

2

∵z2iz，∴a2b2a2b2，

2

∴a2b2a2b2，化简得4b40，解得b=-1.

∴满足条件的一个复数z1i（答案不唯一，虚部为1即可）.

故答案为：1i（答案不唯一，虚部为1即可）.

四、解答题

13．（2023·高一课时练习）计算：

(1)12i711i56i；

(2)5i68i13i；

(3)abi2a3bi3ia，bR.

【答案】(1)315i；

(2)-7

(3)a4b3ia，bR.

【分析】根据复数的加减运算法则即可求解

【详解】（1）12i711i56i1752116i315i；

（2）5i68i13i5i75i7；

（3）abi2a3bi3ia2ab3b3ia4b3ia，bR.

22

14．（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知复数z1aa6i，z22a3ai，aR．

(1)若z1z2是纯虚数，求a；

(2)若z1z20，求z1．

【答案】(1)a1

(2)42

【分析】（1）先计算z1z2，然后由其为纯虚数，可得实部为零，虚部不为零，从而可求出a的值；

（2）由z1z20可复数z1z2为实数，则虚部为零，实部大于零，求出a的值，从而可求出复数z1，进而

可求得z1.

22

【详解】（1）由题意得z1z2a2a3aa6i，

a22a30

因为zz是纯虚数，所以，得．

122a1

aa60

a22a30

（）因为，所以，得．

2z1z202a2

aa6