高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第03讲 概率的基本性质（解析版）

第03讲10.1.4概率的基本性质

课程标准学习目标

①理解概率的基本性质，会利用概率的基本

性质解决简单问题。

1.通过类比提出概率基本性质的研究内容和方法；

②类比函数性质的研究内容和方法，提出概

2归纳出概率的基本性质，提升逻辑推理素养；

率基本性质的研究内容和方法。

③经历具体实例的探究过程，归纳出概率的

基本性质，提升逻辑推理素养。

知识点01：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）

性质1：对任意的事件A，都有P(A)0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0；

性质5：如果AB，那么P(A)P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为A，所以

0P(A)1.

知识点02：互斥事件的概率加法公式（性质3）

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)；

注意：只有事件A与事件B互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.

12

【即学即练1】（2024上·江西吉安·高一统考期末）已知事件A，B是互斥事件，PA，PB，则

63

PAB（）

1412

A．B．C．D．

18923

【答案】C

2

【详解】∵PB1PB，PB，

3

1

∴PB，

3

∵事件A，B是互斥事件，

111

∴PABPAPB．

632

故选：C

知识点03：对立事件的概率（性质4）

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)；

【即学即练2】（2024上·广东·高三学业考试）将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是

（）

111251

A．B．C．D．

18363636

【答案】B

1

【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为，

6

125

所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为(1)2，

636

2511

所以至少出现一次6点向上的概率为1.

3636

故选：B.

知识点04：概率的一般加法公式（性质6）

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)

331

【即学即练3】（2024·全国·模拟预测）设A,B是随机事件，且PA,PB,PAB，则

842

PAB．

1

【答案】/0.125

8

31

【详解】因为PB，所以PB1PB，

44

3111

故PABPAPBPAB．

8428

1

故答案为：

8

题型01互斥事件与对立事件

【典例1】（2023下·广东珠海·高一校考期末）某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对

立事件是（）

A．至多有1次命中B．2次都命中C．只有1次命中D．至少有1次命中

【答案】D

【详解】记事件A为“2次都不命中”，事件B为“只有1次命中”，事件C“2次都命中”，

则样本空间为ABC，

对于选项A：至多有1次命中为AB，与事件A不对立，故A错误；

对于选项B：2次都命中为C，与事件A不对立，故B错误；

对于选项C：只有1次命中B，与事件A不对立，故C错误；

对于选项D：至少有1次命中为BC，与事件A对立，故D正确；

故选：D.

【典例2】（2023·高一单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件A：“中靶”；事件B：“击

中环数大于5”；事件C：“击中环数大于1且小于6”；事件D：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系

是（）

A．A与D为对立事件B．A与D为互斥事件C．B与C为对立事件D．B

与C为互斥事件

【答案】D

【详解】当击中环数大于0且小于6时，A与D同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项AB

错误；

B与C显然为互斥事件，当击中环数为1时，B与C都不发生，故B与C不是对立事件，故选项C错误；选

项D正确.

故选：D

【典例3】（多选）（2023下·河北承德·高一校联考期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝

上的点数，设事件A“点数为4”，事件B“点数为奇数”，事件C“点数小于4”，事件D=“点数大于3”，

则（）

A．A与B互斥B．A与C互斥

C．B与D对立D．C与D对立

【答案】ABD

【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以A与B互斥，A正确.

事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以A与C互斥，B正确.

事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误.

事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，C与D对立，D正确.

故选：ABD.

【典例4】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确

的是（）

A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件

C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件

D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

【答案】BD

【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误

对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确

对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二

次击中”不是互斥事件，C错误

对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确

故选：BD

【变式1】（2023下·江苏盐城·高二统考期末）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个

人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（）

A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对

【答案】C

【详解】事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”，显然两个事件不可能同时发生，

但两者可能同时不发生，如“甲分得红牌和白牌”与“乙分得蓝牌和黑牌”，

综上，这两个事件为互斥但不对立事件.

故选：C.

【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.

事件A:选出的球是红色，事件B:选出的球是绿色.则事件A与事件B（）

A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件

【答案】A

【详解】由题意可知，事件A与B为互斥事件，但事件AB不是必然事件，

所以，事件A与事件B是互斥事件，不是对立事件.

故选：A.

【变式3】（多选）（2023下·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）（多选）一个不透明的袋中

装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取

出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（）

A．P和R是互斥事件

B．P和Q是对立事件

C．Q和R是对立事件

D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件

【答案】ABD

【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①取出的两球

都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.

事件R包括①③两种情况，∴事件P是事件R的子事件，故A中结论不正确;

事件Q与事件R互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确;

事件P与事件Q互斥，但不对立，故B中结论不正确.

故选：ABD.

【变式4】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是1,2”为事件A,“向

上的点数是1,2,3”为事件B,“向上的点数是1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是4,5,6”为事件D,则下列关于事件

A，B，C，D判断正确的有

A．A与D是互斥事件但不是对立事件B．B与D是互斥事件也是对立事件

C．C与D是互斥事件D．B与C不是对立事件也不是互斥事件

【答案】ABD

【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是1,2”为事件A,

“向上的点数是1,2,3”为事件B,

“向上的点数是1,2,3,4”为事件C,

“向上的点数是4,5,6”为事件D.

事件A与D不能同时发生，但能同时不发生，

是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确；

事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生，

故B与D是互斥事件，也是对立事件，

故选项B正确；

事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件，

故选项C错误；

事件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件，

故选项D正确.

故选：ABD.

题型02互斥事件概率加法公式的应用

【典例1】（2023下·福建宁德·高一统考期末）设A,B为两个互斥事件，且P(A)0，P(B)0，则下列各

式一定正确的是（）

A．P(AB)P(A)P(B)B．P(AB)P(A)P(B)

C．P(AB)P(A)P(B)D．P(AB)P(A)P(B)

【答案】B

【详解】因为A,B为两个互斥事件，P(A)0，P(B)0，

所以AB，即P(AB)0，且P(AB)P(A)P(B).

故选：B．

【典例2】（2023下·高一课时练习）袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从

155

中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到

31212

黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.

111

【答案】/0.25/0.25

464

【详解】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，

则事件A，B，C，D两两互斥，

1

PA

3

5

PBPC

根据题意，得12，

5

PCPD

12

PAPBPCPD1

111

解得P(B)，P(C)，P(D)，

464

111

故答案为：，，

464

【典例3】（2023·高一课时练习）在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样）

的试验中，事件A表示“不大于3的奇数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则事件AB的

概率为．

5

【答案】

6

【详解】依题意，抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果，它们等可能，其中事件A有2个结果，事件B有

3结果，

21315

于是有P(A)，P(B)，而事件A和B是互斥的，则P(AB)P(A)P(B)，

63626

5

所以事件AB的概率为.

6

5

故答案为：

6

【变式1】（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）若事件A和B是互斥事件，且PA0.1，

则PB的取值范围是．

【答案】0,0.9

【详解】事件A和B是互斥事件，

故P(AB)P(A)P(B)0.1P(B)

而P(AB)0,1且事件概率非负，

故PB0,0.9，

故答案为：0,0.9

【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）已知两个事件A和B互斥，记事件B是事件B的对立事件，且

P(A)0.3，P(B)0.6，则P(AB)．

【答案】0.7.

【详解】PB0.6得PB0.4，且事件A与B互斥，则PABPAPB0.7

故答案为：0.7

【变式3】（2023·高一课时练习）假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，

炸中其余两个军火库的概率都为0.1．若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸．求军火库发生爆炸的概率．

【答案】0.7

【详解】设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，

于是P(A)0.5，P(B)P(C)0.1．

又设D表示军火库爆炸这个事件，则有DABC，其中A、B、C彼此互斥．

∴P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.50.10.10.7,

即军火库发生爆炸的概率0.7．

题型03对立事件概率公式的应用

【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）已知随机事件A和B互斥，且PAB0.6，PA0.4，

则事件B的对立事件的概率为（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】D

【详解】根据题意，因为PA0.4，事件A和B互斥，

所以PABPAPB0.6，

所以PB0.60.40.2，

所以事件B的对立事件发生的概率为10.20.8.

故选：D.

【典例2】（2023上·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考期中）将一颗骰子连续抛掷两次，至少出

现一次6点向上的概率是（）

111251

A．B．C．D．

18363636

【答案】B

1

【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为，

6

125

所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为(1)2，

636

2511

所以至少出现一次6点向上的概率为1.

3636

故选：B.

【典例3】（2023·全国·校联考模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，

2

随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率

15

1

为，则“两个球颜色不同”的概率为（）

3

47811

A．B．C．D．

15151515

【答案】C

【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，

21

则PA，PB，且CAB.

153

因为A，B，C两两互斥，

218

所以PC1PC1PAB1PAPB1.

15315

故选：C.

12

【典例4】（2023上·四川凉山·高二统考期中）若A，B互为对立事件，PA，PB，且a0，b0，

ab

则2ab的最小值是.

【答案】8

12

【详解】因为A，B互为对立事件，则PAPB1，且a0，b0，

ab

12b4ab4a

可得2ab2ab4428，

ababab

b4a

当且仅当，即b2a4时，等号成立，

ab

所以2ab的最小值是8.

故答案为：8.

【变式1】（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知A，B，C，D四个开关控制着1，2，3，4

号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，

4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮.开始时，A，B，C，D四个开关均未打开，四盏灯也

都没亮.现随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（）

1115

A．B．C．D．

6326

【答案】D

【详解】由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD种，

其中只有打开AC开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮，

15

所以2号灯灯亮的概率为1.

66

故选：D.

【变式2】（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考开学考试）已知随机事件A和B互斥,且

PAB0.6,PB0.3,则PA等于（）

A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2

【答案】B

【详解】因为A和B互斥,

所以PABPAPB0.6,

又PB0.3,

所以PA0.3,

因为PAAPAPA1,

所以PA1PA10.30.7.

故选:B.

1

【变式3】（2023·高一课时练习）从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红心的概率为，

4

则没有取到红心的概率为（）

113

A．B．C．D．1

244

【答案】C

13

【详解】设：取到红心为事件A，PA，则没有取到红心是A的对立事件A，PA1PA；

44

故选：C.

4

【变式4】（2023上·高一课时练习）同时抛掷两枚骰子，5点，6点都没有的概率为，则至少掷出一个5

9

点或6点的概率为．

5

【答案】

9

【详解】设“既没有5点，也没有6点”的事件为A，“至少掷出一个5点或6点”的事件为B，

45

则A与B是对立事件．所以PB1PA1.

99

5

故答案为：

9

题型04概率的一般加法公式的应用

【典例1】（2024上·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）某校校庆日为每年5月4日，根据气象统计资料，

这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为

（）

A．6%B．15%C．30%D．50%

【答案】B

【详解】记吹风为事件A，下雨为事件B,

因为P(AB)P(A)P(B)P(AB)，

所以既吹南风又下雨的概率为：20%30%35%15%，

故选：B.

【典例2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考阶段练习）根据以往经验，小张每次考试语

文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科

及格的概率为.

19

【答案】0.95/

20

【详解】设A“小张语文成绩及格”，B“小张数学成绩及格”，

则AB“语文和数学同时及格”，AB“语文数学两科至少有一科及格”，

由已知得，P(A)0.8，P(B)0.9，P(AB)0.75，

代入和事件概率公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)得，

P(AB)0.80.90.750.95.

故答案为：0.95.

【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，

乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？

【答案】0.96.

【详解】设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔断”，则有P(A)0.85，P(B)0.74，

“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件AB，有P(AB)0.63，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件AB，

于是得P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.850.740.630.96，

所以甲、乙至少有一根熔断的概率是0.96.

【变式1】（2024上·辽宁锦州·高三统考期末）已知事件A与事件B互斥，如果PA0.4，PB0.3，

那么PAB.

3

【答案】0.3/

10

【详解】事件A与事件B互斥，则PAB0，PABPAPBPAB0.7，

故PAB10.70.3.

故答案为：0.3.

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知PA0.5，PB0.6，PAB0.9，则PAB．

【答案】0.2

【详解】因为PABPAPBPAB，

所以PABPAPBPAB0.50.60.90.2.

故答案为：0.2.

【变式3】（2023上·上海·高二上海市向明中学校考阶段练习）已知在一次随机试验E中，定义两个随机事

件A，B，且P(A)0.4，P(B)0.3，PAB0.3，则P(AB)=.

2

【答案】0.4/

5

【详解】由题意P(AB)=P(A)P(B)P(AB)0.40.30.30.4.

故答案为：0.4.

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）已知随机事件A和B互斥，且PAB0.6，PA0.4，则事

件B的对立事件的概率为（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】D

【分析】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得．

【详解】根据题意，因为PA0.4，事件A和B互斥，

所以PABPAPB0.6，

所以PB0.60.40.2，

所以事件B的对立事件发生的概率为10.20.8.

故选：D.

2．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考开学考试）已知随机事件A和B互斥,且PAB0.6,PB0.3,

则PA等于（）

A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2

【答案】B

【分析】因为A和B互斥,由PABPAPB0.6求出PA,再由PAAPAPA1即可得

到答案.

【详解】因为A和B互斥,

所以PABPAPB0.6,

又PB0.3,

所以PA0.3,

因为PAAPAPA1,

所以PA1PA10.30.7.

故选:B.

3．（2023上·河北邯郸·高二校考开学考试）某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运

奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概

率为（）

A．0.16B．0.22C．0.12D．0.1

【答案】C

【分析】根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案.

【详解】由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的，

且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为10.30.20.380.12．

故选：C.

4．（2023下·福建福州·高一校联考期末）已知P(A)0.6，P(B)0.3，如果AB，那么P(AB)（）

A．0.18B．0.42C．0.6D．0.7

【答案】C

【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案.

【详解】由于AB，所以P(AB)PA0.6.

故选：C.

5．（2023下·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口

袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（）

A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球

B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球

C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球

D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.

【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；

至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；

至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；

恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.

故选：D.

6．（2023上·四川泸州·高二校考阶段练习）已知随机事件A和B互斥，且PAB0.8,PB0.3，则PA

等于（）

A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2

【答案】C

【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可.

【详解】因为随机事件A和B互斥，且PAB0.8,PB0.3，

所以PAPAUBPB0.80.30.5，所以PA1PA0.5.

故选：C.

7．（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，

下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）

A．“至少有1件正品”与“都是次品”B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”

C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D．“都是正品”与“都是次品”

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.

【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次，

对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合；

对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意；

对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互

斥事件，不符合题意；

对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；

故选：D

8．（2023下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（）

A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件

B．若A，B为两个事件，则PABPAPB

C．若事件A，B，C两两互斥，则PAPBPC1

D．若事件A，B满足PAPB1，则A与B相互对立

【答案】A

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D.

【详解】对于A，若事件A与B互斥，则A与B不一定相互对立，

但A与B相互对立，则A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A正确；

对于B，若A，B为两个事件，则P(AB)P(A)P(B)P(AB)，故B错误；

对于C，若事件A，B，C两两互斥，则PAPBPC1不一定成立，

如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记A“向上的点数为1”，B“向上的点数为2”，C“向上的点数为3”，

1111

事件A，B，C两两互斥，但P(A)P(B)P(C).故C错误；

6662

1

对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，

2

1

抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足PAPB1，但是A与B不对立，故D错误.

2

故选：A.

二、多选题

9．（2023上·四川成都·高二校联考期末）一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事

件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则（）

21

A．P(A)B．P(B)

33

51

C．P(AB)D．P(AB)

63

【答案】ACD

【分析】由题意，根据事件的基本运算，结合古典概型的概率公式依次计算即可求解.

【详解】A：掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为{1,2,3,4,5,6}，共6个样本点，

42

则A{3,4,5,6}，共4个样本点，所以P(A)，故A正确；

63

31

B：B{1,3,5}，共3个样本点，所以P(B)，故B错误；

62

5

C：由选项AB知，AB{1,3,4,5,6}，共5个样本点，所以P(AB)，故C正确；

6

21

D：由选项AB知，AB{3,5}，共2个样本点，所以P(AB)=，故D正确.

63

故选：ACD

10．（2023下·全国·高一专题练习）下列四个命题中，假命题有（）

A．对立事件一定是互斥事件

B．若A,B为两个事件，则PABPAPB

C．若事件A,B,C彼此互斥，则PAPBPC1

D．若事件A,B满足PAPB1，则A,B是对立事件

【答案】BCD

【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，

D,

【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确；

对B，当且仅当A与B互斥时才有PABPAPB，

对于任意两个事件A,B，满足PABPAPB-PAB，B不正确；

对C，若事件A,B,C彼此互斥，不妨取A,B,C分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷

出3点”，

1

则PABC，所以C不正确；

2

对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，

从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），

11

满足PA，PB，PA+PB1，

22

但事件A与B不互斥，也不对立，D错误，

故选：BCD.

三、填空题

12

11．（2023上·四川凉山·高二统考期中）若A，B互为对立事件，PA，PB，且a0，b0，

ab

则2ab的最小值是.

【答案】8

12

【分析】根据对立事件可得1，利用“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.

ab

12

【详解】因为A，B互为对立事件，则PAPB1，且a0，b0，

ab

12b4ab4a

可得2ab2ab4428，

ababab

b4a

当且仅当，即b2a4时，等号成立，

ab

所以2ab的最小值是8.

故答案为：8.

12．（2023·上海闵行·统考二模）已知事件A与事件B互斥，如果PA0.3，PB0.5，那么

PAB．

1

【答案】0.2/

5

【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．

【详解】由题意P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)]1(0.30.5)0.2．

故答案为：0.2.

四、解答题

13．（2023上·贵州毕节·高二校考期中）为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），

中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：

命中环数10环9环8环7环

概率0.320.280.180.12

求该选手射击一次：

(1)命中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率．

【答案】(1)0.60

(2)0.78

(3)0.22

【分析】（1）根据互斥事件概率加法得结果；

（2）根据互斥事件概率加法得结果；

（3）根据对立事件概率关系求结果.

【详解】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，

由互斥事件的加法公式得PA0.320.280.60.

（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，

由互斥事件概率的加法公式得PB0.180.280.320.78.

（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，

即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得

PB1PB10.780.22.

14．（2023·江苏·高一专题练习）在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4

黑、2白、1绿，从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取

出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”.求:

(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;

(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.

3

【答案】(1).

4

11

(2).

12

【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可.

（2）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可.

5111

【详解】（1）由题意可知，P(A),P(B),P(C),P(D).

123612

易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，

513

故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(AB)P(A)P(B).

1234

（2）易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥，

51111

故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C).

123612

15．（2023下·西藏拉萨·高一统考期末）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”

三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他

1

通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能

3

13

进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且mn.

244

（1）求m与n的值；

（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的

同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校

本选修课学分分数不低于4分的概率．

111

【答案】（1）m,n；（2）.

246

【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依

113

次为m、、n，已知三个社团都能进入的概率为