高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 复数的乘、除运算（解析版）

第04讲7.2.2复数的乘、除运算

课程标准学习目标

1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法

①掌握复数代数形式的乘法和除法运算。

和除法运算；

②理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对

2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和

加法的分配律。

乘法对加法的分配律；

知识点01：复数代数形式的乘法运算

（1）复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下：设z1abi,z2cdi是任意两个复数，那么它们的乘积为

2，

z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi(acbd)(adbc)i

即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

（2）复数乘法满足的运算律

复数乘法的交换律、结合律、分配律

z1z2z2z1(交换律)

(z1z2)z3z1(z2z3)(结合律)

z1(z2z3)z1z2z1z3(分配律)

【即学即练1】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）i59i的虚部为．

【答案】5

【详解】由题意得i59i95i，所以i59i的虚部为5．

故答案为：5

知识点02：复数代数形式的乘方

（1）复数的乘方

复数的乘方就是相同复数的乘积

（2）复数乘方的运算律

根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的

z,z1,z2C，m,nN，有：

①zmznzmn

②(zm)nzmn

nnn

③(z1z2)z1z2

知识点03：共轭复数的性质

设，（）

zabizabia,bRz1,z2,z3,znC

①(z)z；②zzz为实数；③zz且z0z为纯虚数

1

④z|z|1；⑤zz2a，zz2bi，zza2b2

z

【即学即练2】（2024·全国·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为1,1，则(1i)z（）

A．1iB．2C．2iD．0

【答案】B

【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为1,1，则z1i，

所以z1i，所以(1i)z(1i)(1i)2．故B正确.

故选:B．

知识点04：复数代数形式的除法运算

（1）定义

规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(cdi)(xyi)abi（a,b,c,d,x,yR，cdi0）

abi

的复数xyi叫做复数abi除以复数cdi的商，记作(abi)(cdi)或

cdi

（2）复数的除法法则

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iacbdbcad

(abi)(cdi)i（cdi0）

cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2c2d2

由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.

35i

【即学即练3】（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）已知z，则z在复平面上对应

i

的点所在象限为（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

35i35ii

【详解】因为z53i，

iii

所以它在复平面上对应的点为5,3，该点位于第四象限.

故选：D.

题型01复数代数形式的乘法运算

【典例1】（2023上·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知aR，2aii32i（i为虚数单位），

则a（）

A．1B．1C．3D．3

【答案】C

【详解】因为2aii32i，所以a2i32i，解得a3.

故选:C.

【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）已知z2i，则zzi的

虚部是（）

A．2B．2

C．2iD．2i

【答案】A

【详解】因为z2i，则zzi2i2ii22i42i，

所以zzi的虚部为2，

故选：A.

3

【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知复数z1i12i(i为虚数单位)，

则z的模等于.

【答案】10

【详解】因为z1i312i1i12i13i，

所以z1910，

故答案为：10.

【变式1】（2021·山西临汾·统考模拟预测）若复数z满足1iz1i，则复数z的虚部是（）

2222

A．B．iC．D．i

2222

【答案】C

|1i|2(1i)1

【详解】z(1i)

1i(1i)(1i)2

122

z(1i)i，

222

2

复数z的虚部是，

2

故选：C.

【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）z12i2i，则z的共轭复数z等于（）

A．34iB．34iC．43iD．43i

【答案】D

【详解】z12i2i43i，z43i，

故选：D.

【变式3】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）已知复数z2i1i，则复数z的虚部为，

z．

【答案】110

【详解】由题意z2i1i22iii23i，

所以复数z的虚部为1，z321210.

故答案为：1，10.

题型02复数的乘方

i

【典例1】（2023上·湖南永州·高三校考阶段练习）设z（i为虚数单位），则z（）

1i2023

21

A．B．2C．D．2

22

【答案】A

iii1i11

12122

【详解】由复数z2023i，所以z()().

1i1i1i1i22222

故选：A.

【典例2】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知复数z满足：z3i3i2023，则z（）

A．1B．5C．25D．5

【答案】A

2023

【详解】由z3i3i，i2023i3,得

3i33i3i96ii243

zi，

3i3i3i1055

22

43

所以z1．

55

故选：A．

【变式1】（2023上·江苏苏州·高三南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）设复数z对应的点在第

四象限，则复数z(1i)1016对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

10162508508

【详解】1i1i2i2508i5082508，

1016

设zabi，则a0，b0，z1i2508a2508bi，

2508a0,2508b0，故复数z(1i)1016对应的点在第四象限.

故选：D

【变式2】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）复数z1i32i的虚部是（）

A．iB．1C．3iD．-3

【答案】D

【详解】z1i32i1i2i2i2ii2213i13i，

所以虚部为3.

故选：D

z

【变式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知复数z满足i2023（i为虚数单位），

12i

则z（）

A．3B．3C．5D．5

【答案】D

【详解】复数zi202312ii12ii2i22i，故z5．

故选：D．

题型03复数范围内的因式分解

【典例1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）在复数范围内分解因式2x28x26=.

【答案】2x23ix23i

【详解】由2x28x26=0得x24x13=0，

41641343646i

解得x====23i，

222

所以2x28x26=2x24x13=2x23ix23i.

故答案为：2x23ix23i

【典例2】（2022下·上海普陀·高一校考阶段练习）在复数范围内分解因式：2x26x5．

3131

【答案】2xixi

2222

【详解】解：2x26x5

299

2x3x5

42

2

31

2x

22

2

31

2x

24

2

312

2xi

24

3131

2xixi

2222

3131

故答案为：2xixi

2222

【典例3】5．（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：

(1)x28；

(2)x22x3；

(3)3x22x1.

【答案】(1)x28(x22i)(x22i)

(2)x22x3(x12i)(x12i)

1212

(3)3x22x13(xi）(xi)

33

【详解】（1）x28=x28i2(x22i)(x22i)

2

（2）x22x3=x12i2(x12i)(x12i)

2112

（3）∵3x22x1=3(x2x)3[(x)2i2]

3339

1212

∴3x22x13[(x)+i][(x)i]

3333

1212

∴3x22x13(xi）(xi)

33

【变式1】（2023下·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）将x22x5在复数范围内因式分解

为.

【答案】x12ix12i

【详解】令x22x50，

24i

Δ4201616i2，所以x12i，

2

即x22x5x12ix12i.

故答案为:x12ix12i.

【变式2】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：

(1)x46x29；

(2)x42x28．

【答案】(1)(x3i)2(x3i)2

(2)(x2i)(x2i)(x2)(x2)

【详解】（1）由于x3ix3ix23，

2

所以x46x29x23(x3i)2(x3i)2.

（2）由于x2ix2ix22，

所以x42x28x22x24(x2i)(x2i)(x2)(x2).

题型04复数范围内方程的根

【典例1】（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知复数z是一元二次方程x22x40

的一个根，则|z|的值为（）

A．1B．2C．0D．2

【答案】B

【详解】由题意zz|z|24，即|z|2.

故选：B

【典例2】（2023下·山西晋中·高一校考期中）方程x210的一个解可以是（）

A．0B．iC．1D．1

【答案】B

【详解】因为x210，所以x21i2，所以xi或xi，

所以方程x210的一个解可以是i.

故选：B

【典例3】（2023下·陕西西安·高二校考期中）已知复数za25a6a3iaR.

(1)若z是纯虚数，求a的值；

(2)若z是方程x24x80的一个根，求z.

【答案】(1)a2

(2)22

a25a60

【详解】（1）za25a6a3iaR为纯虚数，所以a2

a30

2

（2）方程x24x80变形为x24，所以x22ix22i，

所以z22

2

【变式1】（2023·全国·模拟预测）在复数范围内方程x2x20的根为x1，x2，则x1（）

2

A．B．2C．2D．1

2

【答案】B

【详解】由x22x20得(x1)21，解得x1i或x1i，

若x11i，则x12；若x11i，则x12；

综上所述：x12.

故选：B．

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知2i3是关于x的方程2x2pxq0的一个根，则实数p，q的

值分别为.

【答案】12,26

【详解】因为2i3是关于x的方程2x2pxq0的一个根，且p,qR，

所以2i3是关于x的方程2x2pxq0的另一个根，

p

32i32i

2p12

而且，

qq26

32i32i

2

故答案为：12,26

【变式3】（2023下·山东青岛·高一校考期中）已知i是虚数单位，2i3是关于x的方程

2x2pxq0p,qR的一个根，则pq.

【答案】14

2

【详解】把2i3代入方程得22i3p2i3q0，

所以24912i2pi3pq0，

所以242pi103pq0，

242p0

所以，解得p12,q26，

103pq0

所以pq14．

故答案为：14．

题型05共轭复数的概念及计算

1i

【典例1】（2023上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）已知z，则z（）

22i

11

A．iB．iC．iD．i

22

【答案】D

2

1i11i12ii2i1

【详解】由题意z，所以zi.

22i21i1i422

故选：D.

【典例2】（2023下·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）i是虚数单位，若复数z满足iz34i，

则z.

【答案】43i

34i

【详解】iz34i，z43i，故z43i.

i

故答案为：43i.

【典例3】（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）已知复数z满足2ziz3，则z（）

A．2iB．2iC．12iD．12i

【答案】B

【详解】设zabi,a,bR，则zabi，

则2ziz2(abi)i(abi)(2ab)(2ba)i3，

2ab3a2

则，解得：，则z2i.

2ba0b1

故选：B

13i

【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）设z,则在复平面内z的共轭复数对应

2i

的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

(13i)(2i)17i1717

【详解】依题意，zi，则zi，

(2i)(2i)55555

17

所以在复平面内z的共轭复数对应的点(,)位于第二象限.

55

故选：B

4

【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知z3（i为虚数单位），则zz（）

1i

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

44221i

【详解】因为z31i1i，

1i2i1i1i1i1i

所以z1i，所以zz1i1i2．

故选：D．

【变式3】（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）已知复数zaiaR满足zz2，则a的值为.

【答案】1

【详解】解：因为zaiaR，所以zai，

∴zzaiaia212，所以a21.

∴a1.

故答案为：1.

题型06复数的除法运算

32i

【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市第一六六中学校考期末）复数z，在复平面内z的共轭复

1i

数z对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

32i32i1i15

【详解】zi，

1i1i1i22

15

zi，

22

32i

复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限，

1i

故选：D.

1bi

【典例2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）i是虚数单位，若复数zbR为纯虚数，则b．

1i

【答案】1

1bi1bi1i1biibi21bb1i

【详解】zR,

1i1i1i22

1b0

所以，所以b=-1.

b10

故答案为：1.

【典例3】（2023·全国·高一专题练习）计算．

4

6

1i23i；13．

(1)(2)i

1i32i22

55

14i1i24i1i1i

(3)；(4)；

34i1i1i

202222

23i248i48i

(5).

123i1i117i

13

【答案】(1)1i(2)i(3)1i(4)0(5)2i

22

26

(1i)(23i)(32i)662i3i6

【详解】（1）原式i1i．

2(3)2(2)25

2222

131331313313

（2）原式iiiii．

224242244222

53i24i7i7i34i2525i

（3）原式1i.

34i34i34i34i25

33

662233

1i1i1i1i2i2i8i8i

（4）原式0.

1i1i222

42

23i23i123i13i

（），21，

5i1

123i123i123i131ii

202245052

2225051，

1i

1i1i1ii

22

48i48i

0，

117i

原式ii02i.

【变式1】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）若zi20212i，则z=（）

A．12iB．12iC．12iD．12i

【答案】D

2i2i(2i)(i)

【详解】由已知可得z12i，

i2021ii2

所以z12i，

故选：D

【变式2】（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若复数z满足(12i)z3i，则z

【答案】2

3i3i12i55i

【详解】(12i)z3i，则z1i，故z12122.

12i12i12i5

故答案为：2.

【变式3】（2023下·高一单元测试）计算：

6

1i23i

(1)；

1i32i

69

3113

(2)ii

2222

【答案】(1)1i

(2)1

66

1i23i(1i)223i32i

【详解】（1）

1i32i232i32i

62i3i6i2

i6

5

1i

2

（）因为31331213，

2iiii

2242422

632

所以31131313133213

iiiiiii

2222222242422

1313

ii

2222

31

i21，

44

32

因为1313131313132，

iiiiii1

222222222244

933

1313

所以ii1，

2222

69

所以3113

ii111

2222

题型07根据复数乘、除法运算结果求参数

【典例1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数z12iaiaR,z的实部与虚部

互为相反数，则a（）

1

A．3B．C．2D．3

3

【答案】D

【详解】z12iaia212ai，

由已知得a212a0，解得a3，

故选：D

ai

【典例2】（2022·河南·宝丰县第一高级中学校联考模拟预测）已知i是虚数单位，若复数zaR的

1i

实部是虚部的2倍，则a（）

1111

A．B．C．D．

3322

【答案】B

ai1ia11aa11a

【详解】zi，所以2，

1i1i2222

1

解得a，

3

故选：B.

【典例3】（2023下·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）（1）若复数

zm22m3m25m6i是纯虚数，求实数m的值；

（2）若复数z满足：zzzzi1i，求复数z.

1313

【答案】（1）m1；（2）zi或zi

2222

m22m30

【详解】（）复数22是纯虚数，则，

1zm2m3m5m6i2

m5m60

解得m1；

（2）设zabi，a,bR，zzzzi1i，

a2b21

即abiabiabiabiia2b22ai1i，故，

2a1

11

aa

221313

解得或，故zi或zi.

332222

bb

22

【典例4】（2023下·河南郑州·高一校联考期中）解答下列各题：

z5i

(1)已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；

2i

(2)已知复数z1im23im2i1，实数m为何值时，复数z表示的点位于第四象限．

【答案】(1)z13i

(2)1,2

【详解】（1）（1）设复数zabi(a,bR)，

因为z3iab3i为实数，所以b3，则复数za3i(aR)，

z5ia2ia2i2i22aa4i22aa4

又因为i为纯虚数，

2i2i2i2i555

22a0

则

，得a1，

a40

所以复数z13i．

（2）z1im23im2i1m21m23m2i，

m210

由复数z表示的点位于第四象限，可得，解得，

21m2

m3m20

当1m2时，复数z在复平面内对应的点在第四象限，

∴m的取值范围为1,2.

【变式1】（2022·全国·校联考模拟预测）已知复数za2i13i(aR)的实部与虚部的和为12，则a

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【详解】由复数的乘法运算可知，za2i13ia6(3a2)i，

因为复数的实部与虚部的和为12，所以a63a212，解得，a2.

故选：B.

ai

【变式2】（2022下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知i为虚数单位，若复数z

2i

的实部与虚部相等，则实数a的值为（）

A．－3B．－1C．1D．3

【答案】A

ai(ai)(2+i)2a1(a2)i

【详解】由题意可得z，

2i55

2a1a2

故，解得a3，

55

故选：A

z3

【变式3】（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知复数zbi（bR，i是虚数单位），是实数.

1i

(1)求b的值；

2

(2)若复数mz8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)b3；

(2)0,9.

z33bi3bi1i3bb3i

【详解】（1）∵zbi，∴

1i1i22

z3

∵是实数，∴b30，解得b3.

1i

（2）由（1）知z3i,

22

∴mz8mm3i8mm28m96mi，

2

∵复数mz8m在复平面内对应的点在第二象限，

m28m90

∴，解得0m9，

6m0

故实数m的取值范围是0,9.

题型08复数四则运算的创新应用

【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）欧拉公式eicosisin（其中

e2.718,i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在

复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A．eiπ的实部为1

B．eiπ的共轭复数为1

C．e2i在复平面内对应的点在第一象限

D．e2i的模长为1

【答案】D

【详解】由欧拉公式知eiπcosπisinπ1，则eiπ的实部为1，共轭复数为1，AB错误；

由欧拉公式知e2icos2isin2，e2i在复平面内对应的点为cos2,sin2，

而cos20,sin20，因此e2i在复平面内对应的点在第二象限，C错误；

显然e2i的模长为cos22sin221，D正确.

故选：D

【典例2】（2023上·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知复数zxyi，xR,yR，

其中i为虚数单位，且满足z2，且z1为纯虚数.

(1)若复数zxyi，xR,yR在复平面内对应点在第一象限，求复数z；

32i

(2)求；

z

(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程x2mxn0m,nR的一个根，求实数m，n的值.

【答案】(1)z13i

(2)答案见解析

(3)m2，n4

【详解】（1）因为复数zxyi，xR,yR，所以z1x1yi，

又z1为纯虚数，所以x1，

又zx2y22，所以y3，

又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，

所以y3，故z13i.

（2）由（1）可知z13i

32i32i32i13i33i2i23331

当z13i时，i，

z13i13i13i444

32i32i32i13i35

当z13i时，i.

z13i444

（3）法一：由（1）可知z13i是关于x的方程x2mxn0m,nR的一个根，

2

所以把z13i，代入x2mxn0得13im13in0，

化简得mn23m23i0，

mn20

即，解得：m2，n4

3m230

法二：由（1）可知z13i是关于x的方程x2mxn0m,nR的一个根，

zzm2

所以此方程的另一根为：z13i，则，

zzn4

解得：m2，n4

∣nn

【变式1】（2022上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知集合Mxxii,nN（其

中i为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为.

【答案】8

【详解】in周期为4，当n1时，xii10；当n2时，xi2i22；

当n3时，xi3i30；当n4时，xi4i42，所以集合{-2,0,2}的子集个数为23=8个.

故答案为：8个.

【变式2】（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2，

它们满足下列两个条件：①z2z12i；②两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为34i，若O为坐标原点，则

△

Z1OZ2的面积为

【答案】20

【详解】设z1abi(a,bR)，

则z2z12i(abi)2i2b2ai.

所以点Z1,Z2的坐标分别为Z1(a,b),Z2(2b,2a)

又两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为34i，

a2b22

3,a,

25

解得

2ab4

4,b.

25

2222

224844

OZ125,OZ245.

5555

又OZ1(a,b),OZ2(2b,2a),

OZ1OZ20,OZ1OZ2

1

ZOZ的面积为S254520.

122

故答案为：20.

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知复数z满足z2i1i2，则z（）

A．13B．10C．3D．2

【答案】B

221i

【详解】z2i2i13i,z123210．

1i1i1i

故选：B．

1i

2．（2023·四川雅安·统考一模）复数zi，则z（）

1i

A．1B．2C．2D．4

【答案】C

2

1i1i2i

【详解】ziii2i，则z222，

1i1i1i2

故选：C.

2z

3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知i，则z（）

1i

A．1iB．1iC．3iD．3i

【答案】B

【分析】根据条件求出z的代入形式，进而可得其共轭复数.

2z

【详解】i2z1iz1i，

1i

所以z1i.

故选：B．

2mi

4．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）若复数5i为纯虚数，则m（）