高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第05讲 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（解析版）

第05讲8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

课程标准学习目标

1.本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体

的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开

图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆

柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱

①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体

柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、

积的计算公式。

台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的

②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面

表面积公式推导出了球的体积公式

积之间的关系，并能利用计算公式求几何体

2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和

的表面积与体积。

体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间

想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和

体积的计算；

3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观

想象、逻辑推理、数学运算等；

知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积

（1）圆柱的表面积

①圆柱的侧面积：

圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，

另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为S侧=2rl.

②圆柱的表面积：

2

SS侧2S底=2rl2r2r(lr).

【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面

的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是cm2．（π

取3.14）

【答案】102.28

【详解】正方体的表面积为44696cm2，圆柱的侧面积为2π112πcm2，

则挖洞后几何体的表面积为962π102.28cm2．

故答案为：102.28.

（2）圆锥的表面积

①圆锥的侧面积：

圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，

半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为S侧=rl

②圆锥的表面积：

2

SS侧S底=rlrr(lr)

【即学即练2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知ABC中，

ππ

C,A,BC1，将ABC绕AC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是．

26

【答案】3π

ππ

【详解】因为C,A,BC1，所以AB2,ACAB2BC23，

26

所以旋转体是底面半径为1，高为3，母线长为2的圆锥，

所以表面积为Sπ12π123π，

故答案为：3π.

（3）圆台的表面积

①圆台的侧面积：

圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为r,下底面半径为r,母线长为l,故圆台的侧面积为

S侧=(rr)l

②圆台的表面积：

22

SS侧S上底+S下底=（r+r）lr+r

【即学即练3】（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线

π

与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（）

3

A．5πB．6πC．11πD．12π

【答案】C

【详解】由题意，得上底面面积为π12π，下底面面积为π224π，

由图形可得BDAF1，FCACAF211，

FC

πCD2

母线与下底面所成的角为，故π，

3cos

3

1

故圆台的母线长为2，所以侧面积为2π4π26π，

2

所以该圆台的表面积为π4π6π11π．

故选：C．

知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积

（1）圆柱的体积：VSh

1

（2）圆锥的体积：VSh

3

1

（3）圆台的体积：V(S上+S上S下+S下)h

3

【即学即练4】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为4，高为8的圆锥，用一个平行于底面的平面去截

该圆锥得到高相等的两个几何体，则截得圆台的体积为．

112112

【答案】/

33

【详解】由题意可知，圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面，

故圆台的上底面半径为r2，下底面半径为R4，高为h4，

14112π

则圆台的体积为VπhR2r2Rrπ422242，

333

112π

故答案为：

3

知识点03：球的表面积和体积

（1）球的表面积：S=4R2

4

（2）球的体积:VR3

3

【即学即练5】（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则

球的体积为.

500500

【答案】/

33

4π34π3500π

【详解】依题意，球的半径R32425，所以球的体积VR5.

333

500π

故答案为：

3

题型01圆柱的表面积与体积

【典例1】（2024上·全国·高三期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个

圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（）

A．2πB．3πC．23πD．4π

【答案】C

【详解】由题意作图如下：

由题设可知该圆锥的高POh23．设在该圆锥中内接一个高为QOx的圆柱，

CDPQ2r23x3

该圆柱的底面半径为OFr，由VPDC:VPAB，则，即，所以r2x，

ABPO4233

332

故该圆柱的侧面积S2πrx2π2xx2πx2x，

33

当x3时，侧面积S取得最大值23π．

故选：C.

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，

高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加

工后的表面积最大，则r的值应设计为．

【答案】5cm

【详解】大圆柱的表面积为2152π10215π750π，

小圆柱的侧面积为20πr，上、下底面积之和为2πr2，

2

所以加工后物件的表面积为750π20πr2πr22πr5700π，

所以当r=5(cm)时，表面积最大．

故答案为：5cm.

【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆锥的底面半径R6，高h8，过PO上一点O作平

行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径r3，求剩余部分体积；

(2)试求圆柱侧面积的最大值.

【答案】(1)60π

(2)24π

【详解】（1）因为圆锥的底面半径R6，高h8.

所以圆锥的母线长Lh2R210、

12

圆锥体积V锥πRh96π.

3

r8h

设圆柱的高h，则，所以h4，

R8

2

圆柱体积V柱πrh36π，

剩余部分体积为V剩V锥V柱96π36π60π，

（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中SO8,OAOB6，设OKx(0x8)，

r8x3

设圆柱底面半径为r，则，即r8x

684

设圆柱的侧面积为

33π

S2πrx2π8xxx28x.

42

当x4时，S有最大值为24π，

方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中SO8,OAOB6，

r8h4

设圆柱底面半径为r(0r6),OKh，则，即h8r

683

设圆柱的侧面积为

482

S2πrh2πr8rπr16πr(0r6)

33

16π

r3

当8时，S有最大值为24π.

2π

3

【变式1】（多选）（2024上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）以长为4cm，宽为3cm的矩形的一边为旋

转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（）

A．16πcm2B．24πcm2C．42πcm2D．56πcm2

【答案】CD

【详解】当圆柱底面半径为4cm，高为3cm时，表面积S2π432π4256πcm2；

当圆柱底面半径为3cm，高为4cm时，表面积S2π342π3242πcm2.

故选：CD

【变式2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，

(1)求该圆柱的体积和表面积

(2)直角三角形O1OA绕O1O旋转一周，求所得圆锥的侧面积

【答案】(1)体积为12π，表面积为20π；

(2)213π

【详解】（1）圆柱的底面半径r2，母线长l3，即高h3，

体积Vπr2hπ22312π，

表面积S2πr22πrh2π222π2320π.

（2）由题意，圆锥母线lr2h213，

所得圆锥的侧面积为S圆锥侧πrl213π.

【变式3】（2024·全国·高一假期作业）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个

圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为

30cm，圆锥的母线长为20cm．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1

元）

【答案】(1)11153.3cm3

(2)139元

【详解】（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，

则2πr24π，解得r12cm，

则22，

h1201216cm

11

所以“笼具”的体积V=πr2hπr2hπ(1223012216)3552π11153.3cm3．

313

2

（2）圆柱的侧面积S12πrh720cm，

22

圆柱的底面积S2πr144πcm，

2

圆锥的侧面积为S3πrl240πcm，

2

所以“笼具”的表面积为SS1S2S31104πcm，

1104π5081104π

所以制造50个这样的“笼具”总造价为：139元．

10425

题型02圆锥的表面积与体积

【典例1】（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与

表面积的比值是（）

A．22B．21C．21D．22

【答案】A

【详解】由题意可得轴截面ABC是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为r，则其母线长为2r，

1

从而该圆锥的侧面积S2πr2r2πr2.

12

22

表面积S2S1πr21πr，

S2πr2

122

故2.

S221πr

故选：A.

【典例2】（2024上·山东潍坊·高三统考期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为23的半圆，则该圆锥的体

积为（）

A．3πB．23πC．3πD．9π

【答案】C

【详解】由圆锥的侧面展开图是半径为23的半圆，可得圆锥的母线长l23，

设圆锥的底面半径为r，则2πr=23π，解之得r3，

则圆锥的高hl2r23

11

则该圆锥的体积为πr2hπ333π

33

故选：C

【典例3】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行

工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对

一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上

绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒

近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为152cm，则该圆锥的侧面积为．cm2

（交通锥筒的厚度忽略不计）．

【答案】1350π

【详解】解法一：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，周长为2πl．

因为圆锥的底面半径为152，所以该圆锥的底面周长为2π152302π，

故2πl3302π，解得l452，

所以该圆锥的侧面积为152452π1350πcm2．

解法二：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，面积为l2．

因为圆锥的底面半径为152，所以该圆锥的侧面积为π152l152πl，

故πl23152πl，解得l452，

所以该圆锥的侧面积为152452π1350πcm2．

故答案为：1350π.

【变式1】（2024上·四川南充·高二统考期末）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开

图面积是（）．

A．πB．3πC．4πD．6π

【答案】B

【分析】根据圆锥侧面积公式即可.

【详解】设该圆锥的侧面展开图面积为S,底面半径为r，母线长为l，

则Sπrl3π，

故选：B.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径OA1，侧面展开图扇形SAB的

面积为3π，则此圆锥的体积为（）

22π

A．B．4πC．πD．22π

3

【答案】A

1

【详解】设圆锥的母线长为l，则圆锥的侧面积S2π1l3π，所以l3，

2

所以圆锥的高SO32122，

122

故圆锥的体积Vπ1222π.

33

故选：A.

【变式3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）佛兰德现代艺术中心是比利时

洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示

的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英．佛兰德现代艺术中心的底面直径为8m，

侧面积为8π229m2，则该建筑的高为（）

A．26mB．28mC．30mD．36m

【答案】C

1

【详解】设该建筑的母线长为x，高为h，则由其侧面积为8π229m2，可得π8x8π229，

2

解得x2229m，所以hx24230m．

故选：C．

题型03圆台的表面积与体积

【典例1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”

与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､

大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是12和27，且

ABC120.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（）

13302

A．292πB．πC．195πD．243π

3

【答案】C

【详解】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，

2

利用弧长公式可得2πrπ12，解得r4,

3

2

又2πRπ27，解得R=9；

3

又圆台的母线长为l271215，

所以圆台的侧面积Sπ4915195π，

故选：C.

【典例2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，

上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为（）

A．25πB．26C．30πD．56π

【答案】D

【详解】由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：

则圆亭的高hO1O2BE3，上底面半径rO2B1，下底面半径RO1A5，

母线lAB32425，

所以圆台的表面积SπrRlπr2πR256π.

故选：D

【典例3】（多选）（2024·全国·高一假期作业）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆

台O1O2，在轴截面ABCD中，ABADBC2cm，且CD2AB，则（）

A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为33cm2

23

C．该圆台的侧面积为6cmD．该圆台的体积为73cm

3

【答案】BCD

【详解】

CDAB

如图，作BECD交CD于E，易得CE1，则BE=22-12=3，则圆台的高为3cm，A错

2

误；

1

圆台的轴截面面积为24333cm2，B正确；

2

圆台的侧面积为S侧π1226π，故C正确；

173

圆台的体积为344cm3，D正确.

33

故选：BCD

【变式1】（2024·全国·高一假期作业）已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为26π，则该

圆台的体积为（）

76π383π52π263π

A．B．C．D．

3333

【答案】D

【详解】设圆台的母线长为l．高为h．

所以π12π32π13l26π，解得l=4，

所以hl2(31)223．

1

所以该圆台的体积Vπ12π32π12π3223263π．

33

故选：D．

【变式2】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文

权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之

一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则

该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）

A．21π,37πB．21π,111πC．710π,37πD．710π,111π

【答案】C

【详解】因为圆台纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，

2

所以圆台的母线为长l324310，

则该纸镇下部的侧面积为S=π3410=710π，

1

该纸镇下部的体积为V=π32+π42+π32π423=37π.

3

故选：C.

【变式3】（多选）（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，

加工出如图所示的圆台O1O2，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足CD2AB2AD2BC4cm.下列说法正

确的是（）

A．该圆台轴截面ABCD的面积为33cm2

B．该圆台的表面积为11πcm2

C．该圆台的体积为23πcm3

3

D．该圆台有内切球，且半径为cm

2

【答案】AB

2

【详解】对于，由，可得高42，

ACD2AB2AD2BC4cmO1O243

2

1

则圆台轴截面ABCD的面积为24333cm2，故A正确；

2

2

对于B，圆台的侧面积为S侧π1226πcm，

2222

又S上π1πcm，S下π24πcm，

2

所以S表6ππ4π11πcm，故B正确；

173

对于C，圆台的体积为Vπ3142πcm3，故C错误；

33

对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，

由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误，

故选：AB.

题型04球的表面积与体积

【典例1】（2024上·湖南娄底·高三统考期末）一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为8cm，将该圆柱注

满水，然后将一个半径为4cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水

的体积为（）

3201288064

A．πcm3B．πcm3C．πcm3D．πcm3

3333

【答案】B

【详解】根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积减去实心球的体积，

4128

即Vπ428π43πcm3.

33

故选：B

【典例2】（2024上·重庆长寿·高三统考期末）将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球

的表面积为（）

4π32π

A．B．C．4πD．16

33

【答案】C

【详解】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,

则该球为正方体的内切球，故球的半径为1，

则球的表面积为4π.

故选：C.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得

到圆M，若圆M的面积为9π，则球O的表面积为（）．

A．16πB．24πC．48πD．52π

【答案】C

【详解】设圆M的半径为r，因为圆M的面积为9π，可得πr29π，解得r3，

2

212212

设球O的半径为R，由截面圆的性质，可得RRr，即RR9，

24

解得R212，所以球O的表面积为S4πR24π1248π．

故选：C．

61

【变式2】（2024·全国·高一假期作业）如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高l为的

24

圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料

损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

4461125

【详解】设实心球的半径为R，实心金属几何体的体积Vπr3πr2lπ8π4π.

33246

41255

因为πR3π，所以R，所以该球的直径为2R5.

362

故选：C

题型05简单组合体的表面积与体积

【典例1】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近

似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分

别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为42π，高为22，圆柱的母线长

为4，则该几何体的体积是（）

12896162

A．πB．32πC．πD．32162π

33

【答案】C

【详解】设圆锥的底面半径为r，则2πr=42π,\r=22，高为22，

1162π

故圆锥的体积为Vπ(22)222，

133

圆柱的底面半径也为22，母线长也即高为4，

2

则圆柱的体积为V2π(22)432π，

162π96162

故几何体的体积为VV32ππ，

1233

故选：C

【典例2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人

们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球

面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠

的高为h，则球冠的面积S2πRh.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为

14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（）

A．1940πcm2B．2350πcm2C．2400πcm2D．2540πcm2

【答案】C

2

258102

【详解】由题意得：R7，

2

所以R25cm，

5810

所以h251cm，

2

所以两个球冠的面积为2S22πRh22π251=100πcm2，

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：

4πR22S4π252100π=2400πcm2，

故选：C.

【变式1】（2024·陕西安康·校联考模拟预测）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可

以视为由圆锥SO和圆柱OO1组合而成，点M,N在圆锥SO的底面圆周上，且SMN的面积为

7

7,sinMSN，圆锥SO的侧面积为42π，圆柱OO1的母线长为3，则该几何体的体积为（）

4

40π44π52π56π

A．B．C．D．

3333

【答案】B

117

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则SMN的面积为SMSNsinMSNll7，解

224

得l22，

因为圆锥SO的侧面积为πrl22πr42π，所以r2,SOl2r22．

144π

故该几何体的体积为VV圆柱V圆锥4π34π2．

33

故选：B.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的

1

曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为Vπ(3RH)H2，

3

其中R为球的半径，H为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它

寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能.它的外形可近似抽象

成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别4和2，高为6，球缺所在球

的半径为5，则该组合体的体积为．

616616

【答案】/

33

1

【详解】由题意知圆台的体积为V台(16π4π8π)656π，

3

1

如图可知AB4，则球心到圆台上底面的距离为52423，

2

故球缺的高为538，

12448

故球缺的体积为V球缺π(158)8π，

33

448616

所以组合体的体积为VV球缺V台π56ππ，

33

616

故答案为：π．

3

题型06球的截面问题

9

【典例1】2．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知球O的体积为π，高为1的圆锥内

2

27

接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为S,S，若Sπ，则S

121162

【答案】25

3

圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.

493

【详解】设球O半径为R，由πR3π，得R，

322

22733

平面截球O所得截面小圆半径r1，由S1πr1π，得r，

1614

22

3333

因此，球心O到平面的距离22，

dRr1

244

而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为30o，

1

因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为d，

12

22

31

于是得圆锥底面圆半径r2，

22

令平面截圆锥所得截面为等腰PAB，线段AB为圆锥底面圆O1的弦，

o

点C为弦AB中点，如图，由题意CPO130，PO11，

2

32323215

则，，，

CO1PCAB22

3333

112152325

所以SSVABPC.

2PAB22333

25

故答案为：.

3

【典例2】（2023上·上海·高二校考期中）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心O的距离等于球半径

3

的，且AB6，BC8，AC10，则该球的体积为.

5

15625

【答案】π

48

【详解】设球的半径为R，因为AB6，BC8，AC10，则AB2BC2AC2，

所以，ABBC，则ABC为直角三角形，且AC为斜边，

AC

所以，ABC的外接圆半径为r5，

2

3

因为ABC所确定的截面到球心O的距离等于球半径的，

5

2

23225

则rRR，可得R，

54

3

4342515625

因此，该球的体积为VπRππ.

33448

15625

故答案为：π.

48

【变式1】（2023上·上海·高二专题练习）若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，

则两球的半径之差为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

4π4π

R3r312π

【详解】设两球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得33，

2πR2πr6π

R2

解得，故Rr1；

r1

故选：A.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面

V

1

直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为V1，球O的体积为V2，则；若

V2

a

M，N是圆锥底面圆上的两点，且MN，则平面PMN截球O所得截面的面积为.

2

9πa2

【答案】；.

460

3

【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且PDa，

2

13

易知球O的半径RODPDa，

36

3

233

1a33πa433πaV19

所以，，所以；

V1πaV2πa

322243654V24

1a

设MN的中点为C，连接PC，DM，则MCMN，

24

a315

易知DM，DCCM，所以DCa，所以PCPD2DC2a.

244

OEPO

过O点作OEPC，垂足为E，易知△POE△PCD，则，

CDPC

23