高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第10讲 平面与平面平行（解析版）

第10讲8.5.3平面与平面平行

课程标准学习目标

1.通过对平面与平面平行的判定定理与性质定理的探

索过程，培养学生的几何直觉以及运用图形语言、符号

语言进行交流的能力；

2.进一步了解空间平面与平面平行关系的基本性质及

①理解并掌握平面与平面平行的判定定理。

判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位

②理解并掌握平面与平面平行的性质定理。

置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题；

3.进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分

析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁

移到后续的知识学习中去，为后面学习面面垂直打下基

础；

知识点01：平面与平面平行的判定定理

（1）两个平面平行的判定定理

如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面

面平行。）

（2）符号语言

a,b

abP//

a//,b//

（3）图形语言

（4）定理应用

线线平行面面平行

【即学即练1】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，

E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点.给出下列四个推断：

①FG//平面AA1D1D；②EF//平面BC1D1；

③FG//平面BC1D1；④平面EFG//平面BC1D1，

其中推断正确的序号是.

【答案】①③

【详解】对于①：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，

E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

所以FG//BC1，因为BC1//AD1，所以FG//AD1，

因为FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，

所以FG//平面AA1D1D，故①正确；

对于②：因为EF//A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，

所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；

对于③：因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

所以FG//BC1，因为FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，

所以FG//平面BC1D1，故③正确；

对于④：EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误.

故答案为：①③.

知识点02：平面与平面平行的性质定理

（1）平面与平面平行的性质定理

两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

（2）符号语言

//

aa//b

b

（3）图形语言

（4）定理应用

面面平行线线平行

【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，平面//平面，PAB所在

的平面与，分别交于CD和AB，若PC2，CA3，CD1，则AB.

5

【答案】

2

【详解】因为平面//平面，由面面平行的性质定理得CD//AB，

PCCD215

所以PCDPAB，所以，即，解得AB，

PAAB23AB2

5

故答案为：.

2

知识点03：直线与平面、平面与平面之间位置关系的相互转化

由直线与直线平行可以判定直线与平面平行;由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;由直

线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与

直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.

题型01判断，证明面面平行

【典例1】（2023下·山西太原·高一校联考阶段练习）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在

平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④

存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有个．

【答案】2

【详解】如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①；

若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行.②是正确的；

若α与β相交，如图所示，l,m,p,

m//l,p//l,A,Bm,Cp，且l与m，n两直线等距离，

则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等.所以排除③；

存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β.则可以判断两个

平面α与β平行.④是正确的．

故答案为：2

【典例2】（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为

其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形序号是．（写出所有符合条件的序号）

【答案】①②

【详解】

对于①，如图1.

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以MN//AC，NP//AD.

又BC//AD，所以NP//BC.

因为MN平面MNP，AC平面MNP，所以AC//平面MNP.

同理可得BC//平面MNP.

因为AC平面ABC，BC平面ABC，ACBCC，

所以平面ABC//平面MNP.

又AB平面ABC，所以AB//平面MNP，故①正确；

对于②，如图2，连结CD.

因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以MP//CD.

又AC//BD，且ACBD，所以，四边形ABDC是平行四边形，所以AB//CD，

所以AB//MP.

因为MP平面MNP，AB平面MNP，所以AB//平面MNP，故②正确；

对于③，如图3，连结AC、AD、CD.

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以MP//AC，MN//CD.

因为AC平面MNP，MP平面MNP，所以AC//平面MNP.

同理可得CD//平面MNP.

因为AC平面ACD，CD平面ACD，ACCDC，

所以平面ACD//平面MNP.

显然A平面ACD，B平面ACD，所以AB平面ACD，且AB与平面ACD不平行，所以AB与平面MNP

不平行，故③错误；

对于④：如图4，连接GE,EN，因为M,N为所在棱的中点，则MN//EF，

故平面MNP即为平面MNEF，由正方体可得AB//EG，

而平面ABGE平面MNEFEM，

若AB//平面MNP，

由AB平面ABGE可得AB//EM，

故EG//EM，显然不正确，故④错误.

故答案为：①②.

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，C1D1中点，

G，H分别为AB，BC中点，O为平面ABCD中心．证明：平面OEF‖平面C1GH；

【答案】证明见解析

【详解】连接A1C1，OH，

∵ABCDA1B1C1D1为正方体，O为平面ABCD的中心，

∴A1C1‖AC，D1C1‖AB，D1C1AB，O为AC中点，

∵H为BC中点，F为D1C1中点，

1

∴OH‖AB‖FC1，OHABFC，

21

∴四边形OHC1F为平行四边形，OF‖HC1，

∵E,F分别为A1D1,C1D1中点，G,H分别为AB,BC中点，

∴EF‖A1C1，GH‖AC，

∴EF‖GH，

∵EF,OF平面OEF，GH,HC1平面OEF，

∴GH‖平面OEF，HC1∥平面OEF，

∵GHHC1H，GH,HC1平面C1GH，

∴平面OEF∥平面C1GH．

【典例4】（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、

B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：

(1)E、F、D、B四点共面

(2)平面AMN//平面EFDB.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）证明：E,F分别是B1C1、C1D1的中点，

1

所以EF//BD,EFBD，

11211

又DD1//BB1,DD1BB1，

所以四边形D1B1BD是平行四边形，

D1B1//BD.

EF//BD，

即EF,BD确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.

（2）（2）M、N分别是A1B1、A1D1的中点，

MN//D1B1//EF.又MN平面EFDB，EF平面EFDB，MN//平面EFDB.

连接NE，如图所示，则NE//A1B1,NEA1B1，A1B1//AB,A1B1AB.

四边形NEBA是平行四边形.

AN//BE.

又AN平面EFDB，BE平面EFDB.

AN//平面EFDB.

AN,MN都在平面AMN,且ANMNN,所以平面AMN//平面EFDB.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）如图，三条直线AA1、BB1、CC1不共面，但交于一点O，若AOA1O，

BOB1O，COC1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位置关系是．

【答案】平行

【详解】由AOA1O，BOB1O，且AOBA1OB1,故AOBA1OB1，因此A1B1OABO,故

A1B1//AB,A1B1平面A1B1C1,AB平面A1B1C1,故AB//平面A1B1C1,同理可得BC//平面

A1B1C1,ABBCB,AB,BC平面ABC,故平面ABC//平面A1B1C1,

故答案为：平行

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中

点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是.

【答案】平行

【详解】D，E，F分别为AA1，BB1，CC1的中点，

DE//AB，EF//BC，

又DE平面DEF，AB平面DEF，AB//平面DEF，

同理可证，BC//平面DEF，

又AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，

∴平面ABC//平面DEF

平面DEF//平面ABC．

故答案为：平行.

【变式3】（2023上·高二课时练习）已知S是等边△ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC

的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是．

【答案】平行

【详解】∵E,F分别是SB,SC的中点，

∴EF是△SBC的中位线，∴EF//BC.

又∵BC平面ABC，EF平面ABC，

所以EF//平面ABC.

同理DE//平面ABC.

∵EFDEE，

所以平面DEF//平面ABC.

故答案为：平行.

【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，几何体ABCDA1C1D1为直四棱柱ABCDA1B1C1D1截去一个

角所得，四边形ABCD是正方形，AB2，DD13，P为BC的中点．证明：平面A1BC1//平面ACD1；

【答案】证明见解析

【详解】解：连接AD1,CD1，如图所示：

依题意，AB//CD//C1D1,ABCDC1D1，

则四边形ABC1D1是平行四边形，

于是BC1//AD1，而AD1平面ACD1，BC1平面ACD1，

因此BC1//平面ACD1，同理BA1//平面ACD1，

∵BA1BC1B，BA1,BC1平面A1BC1，

∴平面A1BC1//平面ACD1．

题型02补全面面平行的条件

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图PA平面ABCD，ABCD是矩形，PAAB1，AD2，点F

是PB的中点，点E是BC边上的任意一点．当E是BC的中点时，线段AB上是否存在点G，使得平面EFG//

平面PAC，若存在指出点G位置并证明，若不存在说明理由．

【答案】存在G为AB中点使面EFG//面PAC，理由见解析

【详解】存在G为AB中点，使得平面EFG//平面PAC，理由如下：

当G为AB中点，连接FG,GE,EF,AC，

又F是PB的中点，E是BC的中点，

所以EF//PC，FG//PA，

而EF平面PAC，PC平面PAC，所以EF//平面PAC，

同理可证FG//面PAC，

又EFFGF，即平面EFG//平面PAC，

综上，G为AB中点时平面EFG//平面PAC．

【典例2】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的高为3，

底面边长为2，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.

(1)在棱AC，A1C1上是否存在点D，D1使得平面BC1D∥平面AB1D1？如果存在，在此条件下证明平面

BC1D∥平面AB1D1；

(2)在（1）的条件下，求几何体ABB1C1D1D的体积.

【答案】(1)存在，证明见解析

(2)2

【详解】（1）A1C1与AC的中点D，D1可以使得平面BC1D∥平面AB1D1，

证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵D1与D为A1C1与AC的中点，

∴DD1与BB1平行且相等，

故四边形DD1B1B为平行四边形，∴B1D1∥BD，

∵DD1与BB1平行且相等，∴四边形D1C1DA为平行四边形故AD1∥DC1，

因为B1D1∥BD，BD平面C1BD，B1D1平面C1BD，

所以B1D1∥平面C1BD，同理可证AD1∥平面C1BD，

而B1D1AD1D1，B1D1平面B1D1A，AD1平面B1D1A，

∴平面C1BD∥平面B1D1A；

（）∵13，

2V三棱柱2233

ABCA1B1C122

11131，

V三棱锥V三棱锥223

AA1B1D1C1BDC32222

1

V几何体322.

ABB1C1D1D2

【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

是平行四边形，AC交BD于点O，E是PD上一点且PB//平面ACE

(1)证明：E为PD的中点；

(2)在线段PA上是否存在点F，使得平面OEF//平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，F为PA中点

【详解】（1）连接BD，设ACBDO，连接OE，

因为PB//平面AEC，PB平面PBD，平面PBD平面AECEO，

所以PB//EO，又底面ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，

所以E为PD的中点．

（2）存在，F为PA中点时，平面OEF//平面PBC，

因为F为PA中点，E为PD的中点，所以EF//AD，

由于BC//AD，所以EF//BC，

由于EF平面PBC，BC平面PBC，

所以EF//平面PBC，

同理可证得OE//平面PBC，

由于OEEFE，OE,EF平面OEF，

所以平面OEF//平面PBC.

【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，

P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平面PAO？

【答案】当Q为CC1的中点时，证明见解析.

【详解】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ//平面PAO．

连接PQ，因为Q为CC1的中点，P为D1D的中点，所以PQ//DC．

又DC//AB，所以PQ//AB且PQAB，

所以四边形ABQP为平行四边形，所以QB//PA．

又PA平面PAO，QB平面PAO，

所以BQ//平面PAO．连接BD，则OBD，

又O为DB的中点，P为D1D的中点，

所以PO//D1B．PO平面PAO，D1B平面PAO，

所以D1B//平面PAO．

又D1BBQB，所以平面D1BQ//平面PAO．

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的

中点．

(1)求证：EF//平面BCC1B1．

(2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG//平面ABB1A1?请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，理由见解析

【详解】（1）证明：因为E，F分别为线段AC1A1C1的中点所以EF//A1A.因为B1B//A1A，所以EF//B1B.

又因为EF平面BCC1B1，B1B平面BCC1B1，所以EF//平面BCC1B1．

（2）取BC1的中点G，连接GE，GF.因为E为AC1的中点所以GE//AB．

因为GE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以GE//平面ABB1A1，

同理可得，EF//平面ABB1A1，又因为EFEGE，EG，EF平面EFG，所以平面EFG//平面ABB1A1

故在线段BC1上存在一点G，使平面EFG//平面ABB1A1．

【变式3】（2023下·陕西铜川·高一校考期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥PABCD中，AB2，PA4，

PBPD25，AC与BD相交于点O，E为PD中点．

(1)求证：EO∥平面PBC；

(2)PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在点F，证明见解析

【详解】（1）因为O,E分别是BD,PD的中点，

所以EO//PB，且EO平面PBC，PB平面PBC，

所以EO//平面PBC；

（2）存在，点F是PA的中点，此时，连结EF,OF

因为O,F分别是AC,AP的中点，

所以OF//PC，OF平面PBC，PC平面PBC，

所以OF//平面PBC，

由（1）可知，EO//平面PBC，且OFEOO，且OF,EO平面OEF，

所以平面OEF//平面PBC，

所以PA上存在中点F，使平面OEF//平面PBC.

题型03面面平行证明线线平行

【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，

CG

DE1

F分别在线段DB，DD1上，，G在CC1上且平面AEF//平面BD1G，则（）

EB2CC1

1121

A．B．C．D．

2334

【答案】B

【详解】在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接B1D1，FG，如图，

因为平面AEF//平面BD1G，平面AEF平面BB1D1DEF，

DFDE1

平面BD1G平面BB1D1DBD1，则EF//BD1，于是，

FD1EB2

平面ADD1A1//平面BCC1B1，而BG平面BCC1B1，则BG//平面ADD1A1，

在平面ADD1A1内存在与AF不重合的直线l//BG，又平面AEF//平面BD1G，BG平面BD1G，

则BG//平面AEF，在平面AEF内存在与AF不重合直线m//BG，从而m//l，m平面AEF，

l平面AEF，则l//平面AEF，又l平面ADD1A1，平面AEF平面ADD1A1AF，

因此AF//l//BG，BG，AF可确定平面ABGF，因为平面ABB1A1//平面CDD1C1，

平面ABGF平面ABB1A1AB，平面ABGF平面CDD1C1FG，于是AB//FG，即有CD//FG，

CGDF1

所以.

CC1DD13

故选：B

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1被平面所截，截面为CDEF，且

π4

EFDC，DC2AD4AE2，ADC，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为3．证明：

133

AD//BC.

【答案】证明见解析

【详解】在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD//平面A1B1C1D1，

平面ABCDCD，平面A1B1C1D1EF，则EF//CD，

而C1D1//CD且C1D1CD，又EFCD，因此C1D1//EF且C1D1EF，

则四边形EFC1D1是平行四边形，所以A1D1//B1C1，又A1D1//AD，BC//B1C1，

所以AD//BC．

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，且满足

2

ADDE2,CE，将VADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥PABCE.点F在

2

线段AP上，且EF//平面PBC，试确定点F的位置.

【答案】点F为线段AP上靠近点P的三等分点

【详解】点F为线段AP上靠近点P的三等分点，证明如下：

2

在AB取点G，连接FG，GE，使得BGCE，

2

又BG//CE，所以四边形BGEC为平行四边形，所以BC//GE，

又GE平面PBC,BC平面PBC，所以GE//平面PBC.

又EF//平面PBC，EFGEE，EF,GE平面EFG，

所以平面PBC//平面EFG，

又平面EFG平面PABFG，平面PBC平面PABPB，

AFAG2

21

所以FG//PB，所以在PAB中，FPGB，所以FPAP，

23

2

所以点F为线段AP上靠近点P的三等分点.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE平面ABCD，

平面ABF//平面CDE，A,D,E,F四点共面，ABDE2，AF1．求证：AF//DE.

【答案】证明见解析

【详解】因为平面ABF//平面CDE，A,D,E,F四点共面，

且平面ABF平面ADEFAF，平面CDE平面ADEFDE，

所以AF//DE．

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，BF//平面ADE，CF//AE．求证：AD//BC．

【答案】证明见解析

【详解】∵CF//AE，CF平面ADE，AE平面ADE，∴CF//平面ADE．

∵BF//平面ADE，BFCFF，BF,CF平面BCF，

∴平面ADE//平面BCF．

又平面ADE平面ABCDAD，平面BCF平面ABCDBC，

∴AD//BC．

【变式3】（2023下·高一课时练习）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD//BC，

平面A1DCE与BB1交于点E．求证：EC//A1D．

【答案】证明见解析

【详解】由四棱柱ABCDA1B1C1D1可知，BE//AA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，

所以BE//平面AA1D；

又AD//BC，AD平面AA1D，BC平面AA1D，

所以BC//平面AA1D；

又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE；

所以平面BCE//平面AA1D，

又平面A1DCE平面BCEEC，平面A1DCE平面AA1DA1D，

所以EC//A1D.

题型04面面平行证明线面平行

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，

AB6，ADCDDD12，BAD60，点E在线段AB上，且AE2，F为线段BC的中点．

求证：C1E∥平面ADD1A1.

【答案】证明见解析

【详解】由题意可得CC1∥DD1，

且DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1，可得CC1∥平面ADD1A1；

因为AE∥CD且AECD，可知四边形ADCE为平行四边形，则CE∥AD，

且AD平面ADD1A1，CE平面ADD1A1，可得CE∥平面ADD1A1；

且CC1CEC，且CC1，CE平面CC1E，

可得平面ADD1A1∥平面CC1E，

由C1E平面CC1E，可得C1E∥平面ADD1A1．

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C

是菱形，B1BC60，D、E分别为棱AB、B1C1的中点，F为线段C1E的中点．证明：AF//平面A1DE.

【答案】证明见解析

【详解】证明：如图所示：

取A1C1的中点M，连接AM、EM、FM，

因为AA1//BB1且AA1BB1，故四边形AA1B1B为平行四边形，

所以AB//A1B1且ABA1B1，

1

因为D为AB的中点，所以AD//A1B1且ADAB，

211

因为M、E分别为A1C1、B1C1的中点，

1

所以EM//A1B1且EMAB，

211

所以AD//EM且ADEM，故四边形ADEM为平行四边形，

所以AM//DE，

因为AM平面A1DE，DE平面A1DE，

所以AM//平面A1DE，

因为M、F分别为A1C1、C1E的中点，

所以FM//A1E，

因为FM平面A1DE，A1E平面A1DE，

所以FM//平面A1DE，

因为AMFMM，AM、FM平面AFM，

所以平面AFM//平面A1DE，

因为AF平面AFM，故AF//平面A1DE．

-

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1垂直于底面ABC，ABC是

B1E

边长为2的正三角形，AA1=3，点D在线段A1B上且A1D2DB，点E是线段B1C1上的动点．当为多少

EC1

时，直线DE//平面ACC1A1？

BE1

【答案】1.

EC12

BE1

1

【详解】当点E是线段B1C1上靠近点B1的三等分点，即时，DE//平面ACC1A1.

EC12

过点D作DF//A1A交A1B1于点F，过点F作EF//A1C1交B1C1于点E，连接DE，

EF//A1C1,EF平面ACC1A1，A1C1平面ACC1A1，

EF//平面ACC1A1，

FD//A1A，FD面ACC1A1，A1A平面ACC1A1，

FD//平面ACC1A1，

又EFFDF，EF平面EFD，FD平面EFD，

∴平面EFD//平面ACC1A1，

DE平面EFD，

DE//平面ACC1A1．

BEBFBD1

∴11，

EC1FA1DA12

BE1

1

当时，DE//平面ACC1A1．

EC12

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABDC，求证：A1B//平面DCC1D.

【答案】证明见解析

【详解】因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中A1A//D1D，

又AB//CD，且A1A,AB平面D1CC1D，D1D,CD平面D1CC1D，

A1A//平面D1CC1D，AB//平面D1CC1D

，

而A1AABA，A1AAB平面A1AB,

平面A1AB//平面D1CC1D，

又A1B平面A1AB,A1B//平面DCC1D

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PA

的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

(1)若N是PD上的点，MN//平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．

(2)在PB上是否存在一点Q，使AQ//平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．

【答案】(1)MN//BC，证明见解析

(2)存在，证明见解析

【详解】（1）MN//BC，理由如下，

因为MN//平面ABCD，MN平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，∴MN//AD．

又因为BC//AD，∴MN//BC；

（2）当Q是PB的中点时，AQ//平面BDE成立，理由如下，

取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴QF//BE．∵QFË平面BDE，BE平面BDE，∴QF//

平面BDE，

连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，

∴E为CF的中点，∴OE//AF，

∵AF平面BDE，OE平面BDE，∴AF//平面BDE，

又QFAFF，∴平面AQF//平面BDE，

∵AQ平面AQF，∴AQ//平面BDE．

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD和正方形ABEF，如图所示，N、M分别是对角

ENBM

线AE、BD上的点，且．求证：MN//平面EBC．

ANMD

【答案】证明见解析

【详解】证明：过点N作NF//BE交AB于点F，连接FM，

ENBF

因为NF//BE，则，

ANAF

ENBMBFBM

又因为，则，所以，FM//AD，

ANMDAFDM

因为四边形ABCD为矩形，则BC//AD，所以，FM//BC，

因为NF//BE，NF平面BCE，BE平面BCE，所以，NF//平面BCE，

因为FM//BC，FM平面BCE，BC平面BCE，所以，FM//平面BCE，

因为NFFMF，NF、FM平面MNF，所以，平面MNF//平面BCE，

因为MN平面MNF，所以，MN//平面MNF.

题型05空间平行的转化

【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2,AA13，M是A1D1的中点，

点N在棱CC1上，CN2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为（）

13210213

A．3B．C．D．

233

【答案】C

,=

【详解】取BC,B1C1的中点为H,Q，连接BQC1H，则AM//BQ//C1H,且AMBQC1H，

在平面BB1C1C中，过点N作NP//C1H交BC于P，则NP为平面AMN与侧面BB1C1C的交线，且

NP:C1H2:3,

210

由于CHCH2CC21232=10,NP,

113

故选：C

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，

F，G分别是棱CC1，BC上的动点（不与顶点重合）.作出平面A1DG与平面CBB1C1的交线（要求写出作图

过程），并证明：若平面A1DG//平面D1EF，则EF//A1D；

【答案】作图见解析，证明见解析

【详解】

如图，延长DG交AB的延长线于P，

连接A1P交BB1于Q，

则GQ所在的直线即为平面A1DG与平面CBB1C1的交线.

证明：∵平面CBB1C1//平面ADD1A1，平面CBB1C1平面A1DGGQ，

平面ADD1A1平面A1DGA1D，

∴GQ∥A1D.

又∵平面A1DG//平面D1EF，平面CBB1C1平面A1DGGQ，平面CBB1C1平面D1EFEF，

∴GQ∥EF，∴EF∥A1D.

【变式1】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点

E是线段DD1的中点，过点D1做平面，使得平面//平面A1BE，则平面与正方形B1BCC1的交线的长度

为．

【答案】5

【详解】取BB1的中点P，连接CP,PD1,CD1，如下图所示：

因为CD1//A1B,CD1平面A1BE,A1B平面A1BE，所以CD1//平面A1BE；

因为CP//A1E,CP平面A1BE,A1E平面A1BE，所以CP//平面A1BE；

又因为CP,CD1平面CPD1，CPCD1C，所以平面CPD1//平面A1BE．

因此平面即为平面CPD1，即平面与正方形B1BCC1的交线即为CP．

所以CP1225．

故答案为：5

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，BC∥平面PAD，ADBC，E，F，

H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．

(1)求证：BC∥AD；

(2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)直线EF与直线GH相交，理由见解析.

【详解】（1）解：因为BC//平面PAD，BC平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，

所以BC//AD.

（2）解：直线EF与直线GH相交，理由如下：

连接EG,FH，

因为E,G分别是棱PA,PD的中点，

11

所以EG//AD,EGAD，同理可证：FH//BC,FHBC，

22

因为BC//AD，所以EG//FH，

所以E,F,H,G四点共面，

因为ADBC，所以EGFH，

所以EF与GH不平行，即EF与GH相交.

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）设a,b为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中，

正确的命题是（）

A．若a//，b，则a//bB．若a//，b//，//，则a//b

C．若a，b，a//b，则//D．若a,b,a//b，则a//

【答案】D

【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.

【详解】A选项，如图1，满足a//，b，但a,b不平行，A错误；

B错误，如图2，满足a//，b//，//，但a,b不平行，B错误；

C选项，如图3，满足a，b，a//b，但,不平行，C错误；

D选项，若a,b,a//b，由线面平行的判断定理可得a//，D正确.

故选：D

2．（2024上·北京·高三阶段练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则（）

A．l∥A1DB．l∥B1DC．l∥C1DD．l∥D1D

【答案】A

【分析】由面面平行的性质可判断.

【详解】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

平面BCC1B1//平面ADD1A1，B1C平面BCC1B1平面AB1C，

平面AB1C平面ADD1A1l，l//B1C.

对于A，A1D//B1C，l//A1D，故A正确；

对于B，因为B1D与B1C相交，所以l与B1D不平行，故B错误；

对于C，因为C1D与B1C不平行，所以l与C1D不平行，故C错误；

对于D，因为DD1与B1C不平行，所以l与DD1不平行，故D错误；

故选：A.

3．（2024·全国·高一假期作业）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，

设Q是CC1上的点，则点Q满足什么条件时，有平面D1BQ∥平面PAO．（）

A．Q为CC1的三等分点B．Q为CC1的中点

C．Q为CC1的四等分点D．Q与C重合

【答案】B

【分析】根据面面平行的判定定理易证Q为CC1的中点时满足题意．

【详解】如图所示，设Q为CC1的中点，连接PQ，

∵P为DD1的中点，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB，

故四边形BAPQ是平行四边形，∴QB∥PA，

又QB面D1BQ，PA面D1BQ，∴PA∥面D1BQ．

连接DB，则DB过O，且O是DB中点，

又∵P是DD1中点，∴D1B∥PO，

又D1B面D1BQ，PO面D1BQ，∴PO∥面D1BQ．

又PAIPOP，PA，PO面PAO，

∴平面D1BQ∥平面PAO，

故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO．

故选：B

4．（2024·全国·高一假期作业）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA13，

1

E是BC的中点，F是棱CC1上的点，且CFCC，过A1作平面，使得平面//平面AEF，则平面截直

31

四棱柱ABCDA1B1C1D1，所得截面图形的面积为（）

319

A．B．C．3D．19

22

【答案】A

【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.

【详解】

1

如图，取B,C的中点M，在BB上取一点H，使得BHBB，连接AM,HM,AH，如上图，

11113111

则A1M//AE,HM//EF,A1MHMM,AEEFE，A1M,HM平面A1HM，

AE,EF平面AEF，平面AEF//平面A1HM；

即过A1点平行于平面AEF的平面截四棱柱ABCDA1B1C1D1的图形是三角形A1HM，

1

其中BHBB1,AH5,AM5,MH2，

13111

AM2AH2HM24313

cosMAH11,sinMAH,SAMAHsinMAH，

11A1MH111

2A1MA1H5522

故选：A.

5．（2024·全国·高一假期作业）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H

分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:

①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．

其中正确的有（）

A．①③B．①④C．①②③D．②③

【答案】C

【分析】把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可.

【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，

对于①，因为E，F分别是PA，PD的中点，

所以EF//AD，

又因为EF平面ABCD，AD平面ABCD，

所以EF//平面ABCD，

同理可证EH//平面ABCD，

又因为EFEHE，EH，EF平面EFGH，

所以平面EFGH//平面ABCD，故①正确；

对于②，因为BC//AD，BC平面PAD，AD平面PAD，

所以BC//平面PAD，故②正确；

对于③，因为AB//CD，AB平面PCD，CD平面PCD，

所以AB//平面PCD，故③正确；

对于④，平面PAD平面PABPA，故④错误;

所以正确的有①②③.

故选：C.

6．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，

则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】延拓过点P,Q,R三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择.

【详解】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面PSRHNQ，如下图所示：

对B,C选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；

对A：MC1与QN是相交直线，所以A不正确；

对D：因为A1C1//RH，，BC1//QN，A1C1BC1C1,

又容易知RH,QN也相交，

A1C1,BC1平面A1C1B；RH,QN平面PSRHNQ，

故平面A1C1B//平面PSRHNQ

故选：D.

7．（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）设直线