高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第12讲 余弦定理、正弦定理应用举例（解析版）

第12讲6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

课程标准学习目标

①会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中

有关距离、高度、角度的测量问题。

②培养提出问题、正确分析问题、独立解决1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形

问题的能力。的面积公式；

③理解三角形面积公式的推导过程，掌握三2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基

角形的面积公式。础上熟练应用是关键；

④.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用；

用。

⑤掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应

用。

知识点1：基线

在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实

际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

知识点2：仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰

角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

【即学即练1】（2023上·四川遂宁·高三统考期中）某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙

阁的高度.如图所示，记OT为临仙阁的高，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A,B.现测

得OAB45.OBA105，AB75m，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则临仙阁高OT大致为（）

m（参考数据：62.45）

A．31.41mB．51.65mC．61.25mD．74.14m

【答案】C

【详解】依题意，AOB中，AOB1804510530，

ABOB75OB

所以由正弦定理得，即，

sinAOBsinOABsin30sin45

解得OB752，

OT3

在BOT中，tanOBTtan30，即OTOBtan30752256252.4561.25m．

OB3

故选：C.

知识点3：方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是

0360.

【即学即练2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图所示，货轮在海上以40km/h的速度

沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B

点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，

与灯塔A的距离是多少.

【答案】AC102（km）

1

【详解】由题设可得ABC30，BC4020（km），

2

而ACB4065105，故A1803010545，

AC20

由正弦定理可得，故AC102（km）.

sin30sin45

知识点4：方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，

例：(1)北偏东：(2)南偏西：

知识点5：坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即

h

itan.

l

题型01测量距离问题

【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青

山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得

∠C＝120°，BC40米，AC603米，则A，B间的直线距离约为（）

A．60米B．130米C．150米D．300米

【答案】B

【详解】由题设，在ABC中，

由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosC124002400316557，

所以AB130米.

故选：B.

【典例2】（2023上·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径

为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误

2

差忽略不计），经过测量得到数据：cosBAD．小岛C与小岛D之间的距离为海里．

3

【答案】10105

3

【详解】由于A,B,C,D四点共圆，

25

所以πBADCcosC,sinC1cos2C，

33

BD25

由正弦定理可知55BD，

sinC3

20400

在△BCD中，BD2CD2BC22cosCCDCBCD2CD0，

39

20205

解之得10105，

CD33

233

10105

显然0不合题意.

3

10105

故答案为：.

3

【典例3】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取

A，B，C，D四个点，使得AD22BC，测得BAD30o，BCD45，ADC120．

(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD102km，CD20km，求A，C两点间距

离；

(2)求tanBDC的值．

【答案】(1)207km

43

(2)

13

CDBD

【详解】（1）在△BCD中，由正弦定理得，

sinCBDsinBCD

20102

即，

sinCBDsin45

解得sinCBD1，所以CBD90，

则△BCD为等腰直角三角形，所以BC102，

则AD22BC40．

在ACD中，由余弦定理得

2221

ACADCD2ADCDcosADC1600400240202800，

2

故AC207．

故A，C两点间距离为207km．

（2）设BDC，则由题意可知，ADB120，ABD30．

BDADAD

在△ABD中，由正弦定理得，即2sin30，

sinBADsinABDBD

BCBDBC

在△BCD中，由正弦定理得，即2sin，

sinBDCsinBCDBD

13

又AD22BC，所以2sin30222sincossin2sin，

22

4343

解得tan，所以tanBDC．

1313

【变式1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）如图，为了测量湖两侧的A，B两点之间的距离，某观

测小组的三位同学分别在B点，距离A点30km处的C点，以及距离C点10km处的D点进行观测.甲同学在

B点测得DBC30，乙同学在C点测得ACB45，丙同学在D点测得BDC45，则A，B两点间

的距离为km.

【答案】105

【详解】DBC30，ACB45，BDC45，AC30，CD10，

CDBCCDsinBDC10sin45

△BCD中，由正弦定理，有，则BC102，

sinDBCsinBDCsinDBCsin30

ABC中，由余弦定理，

22

有AB2BC2AC22BCACcosACB102302210230500，

2

得AB105，即A，B两点间的距离为105.

故答案为：105.

【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20

米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距

离是多少？

【答案】106米

【详解】根据正弦定理，

CDsin456020(sin45cos60cos45sin60)

在ACD中，有AC10(13)(米)，

sin180304560sin45

CDsin45

BC20

在△BCD中，有(米)．

sin180304560

在ABC中，由余弦定理得AB＝AC2BC22ACBCcosBCA＝106(米)．

所以A，B两点间的距离为106米．

【变式3】（2023下·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在

π

湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在

3

两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，且AEAF23千米．若要求观景台D与两接送点所

成角EDF与BAC互补，且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线

路DE和DF，求观光线路之和最长是多少千米，此时DA为多少千米？

【答案】观光线路之和最长是4千米，此时DA为4千米

π

【详解】在△AEF中，因为AEAF23，EAF，所以EF23，

3

2π

又EDF与EAF互补，所以EDF，

3

在DEF中，由余弦定理得EF2DE2DF22DEDFcosEDF，

2

即DE2DF2DEDF12，即DEDFDEDF12，

12

又因为DEDFDEDF，所以DEDF4，

4

当且仅当DEDF2时取等号，

此时由于DEDF，AEAF，ADAD，所以VADE≌△ADF，

π

又EDF与EAF互补，所以AED，所以AD4.

2

所以观光线路之和最长是4千米，此时DA为4千米.

题型02测量高度问题

【典例1】（2023上·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）高邮镇国寺是国家3A级旅游景

区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道

镇国寺塔的高度MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB,高约为7.5m，在地面上点C处（B，C，N三点

共线）测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为15和60在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，

镇国寺塔的高度约为（）（参考数据：21.41，31.73）

A．31.42mB．33.26mC．35.48mD．37.52m

【答案】C

【详解】如图所示：

由题意MAC153045，MCA1801560105，

AMC180MACMCA1804510530，

因为在Rt△ABC中，有AB7.5，ACB15，ABC90，

ABAB15

所以AC，

sinACBsin152sin15

ACMC

在AMC中，运用正弦定理有，

sinAMCsinMAC

15

152

即MC，化简得MC，

2sin15

sin30sin452sin15

152

又因为在Rt△MNC中，有MC，MCN60，MNC90，

2sin15

1521523156

所以有MNMCsin60sin60，

2sin152sin1524sin15

232162

因为sin15sin4530，

22224

156156156621533

所以MN，

4sin156262622

由题意21.41，31.73，

15331531.73

所以MN35.47535.48，

22

综上所述：镇国寺塔的高度约为35.48m.

故选：C.

【典例2】（2023上·全国·高三专题练习）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实

物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米AC30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定

范围内上下转动张角CAE90≤CAE≤150，转动点A距离地面的高度AE为4米．当起重臂AC的长

度为24米，张角CAE120时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为米．

【答案】16

【详解】如图，过点A作AGCF，由题意的：EAG90，GFAE4，

CAE120，CAG30，

在RtACG中，AC24，CGACsin3012，

CFCGGF12416米．

故答案为：16

【变式1】（2023上·河北承德·高三校联考期中）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我

国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高1.7m的同学假期到河北

省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为45，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）

向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰角为60，据此估计该须弥塔的高度约为m．（参考数

据：21.414,31.732，结果保留整数）

【答案】42

【详解】如图，A1B117，因为CA1D145,CB1D160，所以A1CB115，

ABCB

111

在A1B1C中，由正弦定理得，

sinA1CB1sinCA1D1

A1B1sinCA1D117sin45

所以CB1，

sinA1CB1sin15

321262

其中sin15sin6045sin60cos45cos60sin45，

22224

2

17

17sin4534234262

2

故CB11731，

sin1562626262

4

1733174.732

又，且，所以，

CDCBsin6031.732CD140.2

1122

又该同学身高1.7m，所以塔高约为40.21.741.9m42m.

故答案为：42.

【变式2】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时

期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，

选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得BCD30，BDC86，CD40米，在

点D处测得丛台台顶的仰角为50，则丛台的高度为米（结果精确到0.1米，取tan501.19，

sin640.90）.

【答案】26.4

CDBD

【详解】在△BCD中，CBD180308664，，

sin64sin30

20200AB

则BD米.在ABD中，tanADB1.19，

0.99BD

238

则AB1.19BD26.4米.

9

故答案为：26.4.

题型03测量角度问题

【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75，距离为126

海里，灯塔C在A的北偏西30，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在

其南偏东60方向，则此时灯塔C位于游轮的（）

A．正西方向B．南偏西75方向C．南偏西60方向D．南偏西45方向

【答案】C

ADAB126

242,AD24

【详解】如图，在△ABD中，B45，由正弦定理得sin45sin603，

2

在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos30，

因为AC123,AD24，所以解得CD12，

CDAC3

由正弦定理得,sinCDA，故CDA60或CDA120，

sin30sinCDA2

因为ADAC，故CDA为锐角，所以CDA60，

此时灯塔C位于游轮的南偏西60方向.

故选：C

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船

上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30方向且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行

速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），

使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

【答案】(1)航行速度为303nmile/h

(2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30nmile/h,理由见解析

【详解】（1）

如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，

则由余弦定理得:OC2AC2OA22ACOAcosOAC,

1

叩:v2t2400900t21200tcos60900t2600t400900(t)2300,

3

1

当t时，OC取得最小值，此时速度v303nmile/h，

3

此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为303nmile/h.

（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30nmile/h，

则由(1)可得:

OC2AC2OA22ACOAcosOAC,

22

即:30t400900t21200tcos60,解得:t，

3

此时BOD30,

此时，在OAB中，OAOBAB20，

故可设计航行方案如下:

航行方向为北偏东30°，航行速度为30nmile/h，小艇能以最短时间与轮船相遇.

【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中学校考期中）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正

在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海

里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时

与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），

使得小艇能以最短时间与轮船相遇.

【答案】(1)303海里/时

(2)航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇

【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

2

221

S900t400230t20cos9030900t600t400900t300，

3

103

1v303

当t时，S103（海里），此时1（海里/时）.

3min

3

∴小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

222

（2）设小艇与轮船在B处相遇，则vt400900t22030tcos9030，

600400

故v2900，又0v30，

tt2

600400232

∴900900，即0，解得t.

tt2t2t3

22

又t时，v30海里/时，即v30海里/时时，t取得最小值为.

33

此时，在△OAB中，有OAOBAB20海里，

故可设计航行方案：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

【典例4】（2023下·浙江·高一校联考期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距30(13)海里的两个

观测点，现位于A点北偏东45，B点南偏东30的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正

西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

(1)求B，C两点间的距离；

(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：

cos21.790.93，角度精确到0.01）

【答案】(1)60海里

(2)方向是南偏东68.21，需要的时间为1.75小时.

【详解】（1）依题意得BAC45,ABC30，AB3013，

所以ACB180(BACABC)180(4530)105，

BCABBC30(13)

在ABC中，由正弦定理得,,

sinBACsinACBsin45sin105

232162

sin105sin75sin(4530),

22224

2

30(13)

故BC260（海里），

62

4

所以求B,C两点间的距离为60海里.

（2）依题意得DBCDBAABC9030120,BD100，

在△DBC中，由余弦定理得CD21002602210060cos12019600，

所以CD140（海里），

所以救搜船到达C处需要的时间为140801.75小时，

BD2DC2BC21002140260213

在△DBC中，由余弦定理得cosBDC0.93,

2BDDC210014014

因为0BDC90,cos21.790.93，

所以BDC21.79，

所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东9021.7968.21﹒

【变式1】（2023上·广东广州·高三校联考阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在

北偏东45方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东75方向前进，

若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则

红方侦察艇所需的时间为小时，角的正弦值为．

535

【答案】2/3

1414

【详解】设红方侦查艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.

22

根据余弦定理得14x12210x240xcos120，解得x2，

故AC28，BC20.

BCAC20sin12053

根据正弦定理得，解得sin，

sinsin1202814

53

故答案为：2；.

14

【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每

2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．

(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．

(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：

cos90.988，sin90.156）

【答案】(1)1950km

(2)0.64．

3

【详解】（1）解：如图所示，设人造卫星在12:03时位于C点，其中AOC，则3609，

120

在△ACO中，OA6400km，OC640016008000km，9，

由余弦定理得AC26400280002264008000cos93.79106，

解得AC1.95103，

因此，在12:03时，人造卫星与跟踪站相距约1950km．

（2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则CAO90，

sin90sin90

由正弦定理得，

19508000

8000

故sin90sin90.64，即cos0.64，

1950

因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64．

【变式3】（2023下·贵州铜仁·高一校考期中）信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而

著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森

林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在

湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣

天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得

DBC45，BD2562海里．

(1)求A处距离航标灯D的距离AD；

(2)求cos的值；

【答案】(1)502（海里）

(2)31

【详解】（1）∵AB50，BD2562，DBC45，

∴在△ABD中由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcos135，

22

2

50256225025625000

2

∴AD502（海里）．

BDDC

（2）∵BCD90，由正弦定理得，

sin90sin45

BDsin45

∴cossin9031．

DC

【变式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）某海岸的A哨所在凌晨1点15分

发现哨所北偏东30方向20nmile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，

所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨

所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30方向60nmile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B

哨所正西方向30nmile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30nmile/h．（假设所有船

只均保持匀速直线航行）

(1)求走私船的速度大小；

(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．

【答案】(1)103nmile/h

(2)缉私船沿北偏西30方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．

【详解】（1）D点位于A哨所北偏东30方向20nmile处，

BAD9030120,AD20,

AB20,BDAD2AB22ADABcos120203,

ABAD,ABDADB30,

E点位于B哨所北偏西30方向60nmile处，

DBE90303090，

DEBD2BE2403，

403

v103nmile/h，

4

走私船的速度大小为103nmile/h.

（2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，

BE60,BC30,CBE60，

CEBE2BC22BEBCcos60303，

BE2BC2CE2,BCE90,BEC30，CEF120，

走私船速度为103nmile/h，缉私船速度为30nmile/h，

EF103t,CF30t，

在△CEF中，根据余弦定理，CF2CE2EF22CEEFcos120，

900t22700300t22303103tcos120，

3

化简得2t23t90，t(舍去)，或t3，

2

此时CEEF303，ECF30，

缉私船沿北偏西30方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．

题型04综合应用题

【典例1】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）气象台A在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台

A正西方向3002km处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h；距离台风中心10010km以内

的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（）

A．12:0017:00B．13:0018:00C．13:0017:00D．14:0018:00

【答案】B

【详解】如图，由余弦定理，得

AB2OB2OA22OBOAcos45，

于是OB2600OB800000，

解得OB200或OB400，

200400

所以，台风从O到B用时5小时，台风从O到C用时10小时.

4040

故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00.

故选：B.

【典例2】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所

示），其中ACD内的区域为居民区，ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB

和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与

线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公

π

里，线段AB和线段AD长均为6公里，ABAC,CAD，设AEG.

6

(1)求修建道路的总费用y（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；

(2)求修建道路的总费用y的最小值.

2020

y

【答案】(1)sinπ

sin

3

(2)80万元

AGAG2

【详解】（1）在Rt△AEG中，因为sinAEG，可得EG，

EGsinAEGsin

π

在AFG中，可知AFG，

3

AGsinGAF1

GFAGGF

由正弦定理，可得sinAFGπ，

sinGAFsinAFGsin

3

2020

y10EG20GF

所以sinπ.

sin

3

2020204020sin203cos

y

（2）由（1）可知：sinπsin3cossin3sincossin2

sin

3

ππ

80sin80sin

33

，

2π2π

2cos214sin3

33

πππ2π

因为0，则,，

3333

80t80

π3y

令tsin,1，则4t233，

324t

t

3333

且y4t,y在,1上单调递增，可知y4t在,1上单调递增，

t2t2

80t80

y3

所以4t233在,1上单调递减，

4t2

t

π

当t1，即时，修建道路的总费用y取到最小值80万元.

6

【典例3】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预

防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发

生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站

位于点C处（离地面高度忽略不计），观察到位于点C西南方向且距离为1003m的点A处有一名钓友，正

目不转睛地盯着其东偏北15方向上点B处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知BC的距

离为100m，假设A,B,C三点在同一水平面上．

(1)求此时钓友与小孩之间的距离．

(2)若此时钓友到点C处比到点B处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以2.8m/s的速度救

援，与此同时孩子在水流的作用下以2m/s的速度沿北偏东15方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，

最多能持续游600m，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不

能，请说明原因．

【答案】(1)距离为100或200米；

500

(2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为s.

3

【详解】（1）由题意得CAB451530，BC100，AC1003，

在三角形ABC中，根据余弦定理有BC2AC2AB22ACABcos30，

23

即10021003AB221003AB，解得AB200或100，

2

故钓友与小孩之间的距离为100或200米.

（2）因为钓友到点C处比到点B处的距离更近，则AB200m，

设钓友在最短时间内救援到地点为点Q，ABQ159015120,AQxm，

25

则BQxxm，

2.87

5

2002(x)2x2

1

所以cosABQ7，

5

2200x2

7

1400

整理得24x27000x140020，解得x（负根舍去），

3

1400

因为600，所以钓友这次救援有成功的可能，

3

1400500

且成功的最短时间为2.8s.

33

【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修