高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第14讲 三角形中线及角平分线问题（解析版）

第14讲拓展二：三角形中线，角平分线问题

题型01三角形中中线长（定值）

【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量ma,b

r

与ncosA,sinB平行．若c2，b2，则BC边上的中线AD为（）

10

A．1B．2C．10D．

2

【答案】D

r

【详解】由于向量ma,b与ncosA,sinB平行，

所以asinBbcosA，由正弦定理得sinAsinBsinBcosA，

由于sinB0所以sinAcosA，

π

由于0Aπ，所以A.

4

12122

AD=ABAC，两边平方得AD=AB2ABACAC

24

1π105

=4222cos2==，

4442

10

所以AD=.

2

故选：D

【典例2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a6，

b5，c4，则BC边上的中线AD的长为.

【答案】46

2

【详解】

a2c2b23616259

由余弦定理可得，cosB.

2ac26416

1

在△ABD中，有ABc4，BDBC3，

2

由余弦定理可得AD2AB2BD22ABBDcosB

923

169243，

162

46

所以，AD.

2

46

故答案为：.

2

【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

2acosB2cb．

(1)求A；

(2)若a4,bc25，求ABC中BC边中线AD长．

2π

【答案】(1)A

3

(2)AD2

【详解】（1）因为2acosB2cb，

由正弦定理得2sinAcosB2sinCsinB，

即2sinAcosB2sinABsinB，

即2sinAcosB2sinAcosB2cosAsinBsinB，

所以2cosAsinBsinB0，

1

又sinB0，所以cosA，

2

2π

又A0,π，所以A；

3

2

（2）由余弦定理得a2b2c22bccosBACbcbc，

即1620bc，所以bc4，

因为AD为ABC中BC边的中线，

1

所以ADABAC，

2

12122

则ADABACABAC2ABAC

22

12π121

c2b22bccoscb3bc20122，

2322

所以AD2.

【变式1】（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知ABC的面积为23,AB2,AC4，则ABC的中线AD长

的一个值为.

【答案】7或3

【详解】因为ABC的面积为23,AB2,AC4，

13

所以SVABACsinA4sinA23sinA，

ABC22

2

故A或；

33

①当A时，BC2AB2AC22ABACcosA12BC23，

3

1

故BDBC3，

2

因为AB2BC2AC2，所以ABBC，

故AD2AB2BD27AD7；

2

②当A时，BC2AB2AC22ABACcosA28BC27，

3

1

故BDBC7，

2

AB2BC2AC227

在ABC中，由余弦定理可知cosB，

2ABBC7

在△ABD中，由余弦定理可知，AD2AB2BD22ABBDcosB3，

故AD3.

综上所述，ABC的中线AD长为7或3.

故答案为：7或3.

【变式2】（2023下·河北·高一校联考阶段练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a8，

b6，c4，则中线AD的长为.

【答案】10

【详解】如图，由余弦定理得AB2AD2DB22ADDBcosADB，

AC2AD2DC22ADDCcosADC，又cosADBcosADC，

两式相加得AB2AC22AD2DB2DC2，即42622AD24242，化简得2AD220，

所以AD10.

故答案为：10

【变式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别

为a，b，c，且满足acb3sinAcosA.

(1)求B；

(2)若b3，且ABC的面积为3，BD是ABC的中线，求BD的长.

π

【答案】(1)B

3

17

(2)

2

【详解】（1）因为acb3sinAcosA，

由正弦定理可得sinAsinCsinB3sinAcosA，

即sinAsinABsinB3sinAcosA，

即sinAsinAcosB3sinAsinB，

π1

又因为sinA0，所以3sinBcosB1，所以sinB.

62

ππ5π

又因为B0,π，所以B,，

666

πππ

所以B，所以B.

663

1

（2）因为S3，所以acsinB3得ac4，

ABC2

由余弦定理得：a2c2b22accosB13.

1

又BDBABC，

2

1117

所以|BD|2(BABC)2c2a22accosB，

444

1717

得BD，故BD的长为.

22

题型02三角形中中线长（最值，范围）问题

【典例1】（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）在ABC中，AB5,AC9，则BC边上

的中线AD的长的取值范围是.

【答案】2AD7

【详解】解：延长AD到点E，使DEAD，连接BE，如图所示：

在△ADC和△EDB中，

DADE

ADCEDB，

DCDB

ADC≌EDBSAS，

EBAC9．

在ABE中，由三角形的三边关系，得BEABAEBEAB，

即42AD14，

2AD7，

故答案为：2AD7．

【典例2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

acsinAcsinABbsinB，b4，则边AC上的中线BD长度的最大值为．

【答案】23

【详解】

在ABC中有A、B、C0,π,sinABsinπCsinC，

故由正弦定理可得acsinAcsinABbsinBaacc2b2，

a2c2b2ac1π

由余弦定理得cosBB，

2ac2ac23

12122

由三角形中线的性质可得：BDBABCBDBABC2BABC，

24

11

即BD2=c2a22cacosBa2c2ac，

44

又a2c2acb216a2c216ac2acac16，

故a2c2ac2ac1648，当且仅当ac4时取得等号，

1

所以BD2a2c2ac12BD23.

4

故答案为：23.

【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校考阶段练习）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边

cosCc3tanC△3

分别为a，b，c.①2acosB+b-2c=0；②；③tanB.在以上三个条件中选择一

cosBbsin2B3tanC1

个，并作答.

(1)求角A；

(2)已知ABC的面积为43，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.

△π

【答案】(1)条件选择见解析，A

3

(2)23

a2c2b2

【详解】（1）若选①，因为：2acosBb2c0，即：2ab2c0，

2ac

c2b2a21

则：a2c2b2bc2c20，即：c2b2a2bc，所以：cosA，

2bc2

ππ

因为：A0,，故A；

23

cosCsinC3sinBcosCcosBsinC3

若选②，原式等价于，即，

cosBsinBsin2BsinBcosBsin2B

3sinBC2sinA

π

即：1，因为：A,B0,，则02Bπ，所以：sin2B0，

sin2Bsin2Bsin2B2

2

3π

则：sinA，故A；

23

若选③，原式等价于3tanBtanCtanBtanC3，即：tanBtanC31tanBtanC，

tanBtanC

所以：3，即：tanBC3，即：3tanπAtanA，

1tanBtanC

ππ

因为：A0,，故A.

23

13

（2）因为SbcsinAbc43，所以：bc16，

ABC24

111

因为D为BC的中点，则：ADABBDABBCABACABABAC

222

所以：2ADABAC，

2222π

则：4ADABACABAC2AB·ACb2c22bccosb2c2bc2b2c2bc3bc48当

3

且仅当bc4时，等号成立，

因此：AD的最小值为23.

【变式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是ABC的中线，若A120，ABAC4，则AD

的最小值是．

【答案】2

1

【详解】ABACABACcos120ABAC4,ABAC8，

2

21122

ADABACABAC2ABAC

24

1221

ABAC82ABAC82，

44

所以AD2，当且仅当ABAC22时等号成立.

故答案为：2

【变式2】（2023上·浙江·高二校联考开学考试）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，

ac43ac.

(1)求角B；

(2)求AC边上中线BD长的取值范围.

π

【答案】(1)B

3

(2)1BD3

【详解】（1）由b2，ac43ac可得：a2c22ac43ac，

即a2c2b2ac，

a2c2b21π

所以cosB，而B(0,π)，从而B；

2ac23

b223

2R,R

（2）解法1：设ABC外接圆半径为R，则π，

sinBsin3

3

如图所示，过点C作CE∥AB，交BD延长线于E，

则CDE∽ADB，则BDED,CEAB，

2

故BE22BDa2c22accos(πB)，

2

所以2BDa2c22accosB，

2

a2c2ac2Rsin2Asin2CsinAsinC

161cos2A1cos2C

sinAsinC

322

2π

1cos2A

161cos2A32π

sinAsinA

3223

16513

(cos2Asin2A)

3422

165π

sin(2A)，

346

2πππ7ππ1

又因为A0,，故2A,，则sin(2A)(,1]，

366662

2

所以2BD4,12，即BD(1,3]；

2

解法2：由平行四边形性质可得2BDb22a2c2，

2

所以2BD2a2c2b22a2c24，

2π

1cos2A

22222161cos2A3

因为ac(2R)(sinAsinC)

322

1631

(1sin2Acos2A)

324

161π

1sin2A，

326

2πππ7ππ1

又因为A0,，故2A,，则sin(2A)(,1]，

366662

2

所以a2c2(4,8]，则2BD4,12，即BD(1,3]；

解法3：

因为AC2a2c22accosB，

所以4a2c2ac2acacac0，所以4ac0，

2

又因为2BDa2c2ac，结合解法2可知a2c2(4,8]，

2

所以2BD4,12，即BD(1,3]，

当且仅当ac2时取到最大值3；

解法4：

π

如图所示，B，b2，

3

b223

2R,R

设ABC外接圆半径为R，则π，

sinBsin3

3

故ABC有外接圆O如图，D为AC的中点，

233

则OD()212，

33

由图可知CDBDODOB，

所以1BD3.

题型03已知中线长，求其它元素

π

【典例1】（2023·全国·模拟预测）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且asinCcsinA．

3

(1)求角A的大小；

(2)若ABC的中线AD3，求bc的最大值．

π

【答案】(1)A

3

(2)4

1313

【详解】（1）由题可得，asinCcsinAcosA，结合正弦定理可得sinAsinCsinAsinCsinCcosA，

2222

13

因为sinC0，所以sinAcosA，得tanA3，

22

π

因为A0,π，所以A．

3

1

（2）易知ADABAC，（技巧：向量的平行四边形法则）

2

2122

两边同时平方得ADABAC2ABAC，得12c2b2bc．

4

2

法一：12c2b2bc可化为12bcbc，

2

bc

因为bc2bc，所以bc，

4

32

所以12bc，得bc4，

4

当且仅当bc2时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）

所以bc的最大值是4．

2

22c32

法二：12bcbcbc，

24

c3

令b23cos,c23sin,

22

则b23cos2sin,c4sin，

π

所以bc2sin23cos4sin4，

3

π

当且仅当2kπkZ，即bc2时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）

6

所以bc的最大值为4．

【典例2】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a、

11sinC

b、c，.

tanAtanB3sinAcosB

(1)求B；

1337

(2)已知BD为AC边上的中线，cosC，BD，求ABC的面积.

132

π

【答案】(1)

3

(2)33

11cosAsinBcosBsinAsinABsinCsinC

【详解】（1），

tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinB3sinAcosB

由C0,π，sinC0，A0,π，sinA0，

所以sinB3cosB，即tanB3，

π

由于B0,π，所以B.

3

13239

（2）在ABC中，由cosC，得sinC1cos2C，

1313

π31

由B，得sinB，cosB.

322

3131239339

则sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，

21321326

339

asinA3

由正弦定理得，26，

csinC2394

13

设a3x，c4x，由余弦定理得b2a2c22accosB13x2，故b13x，

在△BCD中，由余弦定理得，BD2CB2CD22CBCDcosC，

37131313

即9x2x223xx，

44213

解得x1，则a3，c4

113

所以ABC的面积SacsinB3433.

222

【典例3】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数fxcos4x23sinxcosxsin4x.

(1)求fx的最小正周期和单调递减区间；

(2)已知ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若fA1,BC边的中线AD长为7，求ABC面积的

最大值.

π2π

【答案】(1)fx的最小正周期Tπ，fx的单调递减区间为kπ,kπkZ；

63

73

(2)

3

【详解】（1）fxcos4x23sinxcosxsin4x，

cos2xsin2xcos2xsin2x3sin2x,

13

cos2x3sin2x2cos2xsin2x

22

π

2sin2x，

6

故fx的最小正周期Tπ，

ππ3ππ2π

由2kπ2x2kπ，得kπxkπ，

26263

π2π

\f(x)的单调递减区间为kπ,kπkZ；

63

ππ1

（2）由（1）得，fA2sin2A1，即sin2A，

662

π5ππ

0Aπ,2A,A，

663

12122

又ADABAC,ADABAC2ABAC，

24

11

7c2b22bccosAb2c2bc，

44

b2c22bc,b2c2bc3bc，

28221

bc，当仅bc时取等号，

33

1332873

面积SbcsinAbc，

24433

73

ABC面积的最大值为.

3

【变式1】．（2023上·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分

cosC2bc

别为a，b，c.已知.

cosAa

(1)求角A；

29

(2)ABC的中线AD＝，AC＝22，求AB.

2

【答案】(1)45

(2)3

cosC2bc

【详解】（1）因为，所以acosC(2bc)cosA，

cosAa

由正弦定理，有sinAcosC(2sinBsinC)cosA，

化简可得sinAcosCcosAsinC2sinBcosA，

可得sin(AC)sinB2sinBcosA，

因为B是ABC的内角，于是sinB0，

2

故cosA，解得A45.

2

（2）延长AD至E，使得ADDE，易知EBAD，于是ACE135，

由余弦定理可得AE2AC2CE22ACCEcosACE，

2

即298CE2222CE，

2

解得CE3或7（舍去），

于是ABCE3，所以AB3.

【变式2】（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

满足2bccosAacosC

(1)求角A的大小；

(2)若a27，BC边上的中线AM的长为19，求ABC的面积.

π

【答案】(1)

3

(2)63

【详解】（1）解：由已知及正弦定理得：2sinBsinCcosAsinAcosC，

则2sinBcosAsinAcosCsinCcosAsinACsinπBsinB，

1π

在ABC中，sinB0，∴cosA，又因为0Aπ,故A.

23

（2）解法一：∵a27，M为BC中点，则BMCM7，

b2c2281

∴由cosA，得b2c228bc，

2bc2

BM2AM2AB2719c2

在AMB中，cosAMB

2BMAM2719

CM2AM2AC2719b2

在AMC中，cosAMC

2CMAM2719

∵AMBAMCπ，

∴cosAMBcosAMC0，

22

719c2719b252bc5228bc

∴0，

2719271927192719

解得：bc24，

113

故ABC的面积为SbcsinA2463.

222

b2c2281

解法二：由cosA，得b2c228bc，

2bc2

uuuruuuruuur

12122

由题意得AMABAC，则AMABAC2ABACcosA，

24

11

即有19c2b2bc28bcbc，解得：bc24，

44

113

故ABC的面积为SbcsinA2463.

222

【变式3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为

sinBsinCsinAsinC

a,b,c,．

sinAsinBsinC

(1)求B；

1337

(2)已知BD为AC边上的中线，cosC,BD，求ABC的面积．

132

π

【答案】(1)B

3

(2)33

sinBsinCsinAsinCbcac

【详解】（1）由正弦定理及，得，

sinAsinBsinCabc

a2c2b21

化简得b2c2a2ac，所以，

2ac2

1π

由余弦定理可得cosB，由于B0,π.所以B．

23

13239

（2）在ABC中，由cosC，得sinC1cos2C，

1313

13

由cosB，得sinB．

22

3131239339

则sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，

21321326

339

asinA3

由正弦定理得，26，

csinC2394

13

设a3x,c4x，由余弦定理得b2a2c22accosB13x2，故b13x，

在△BCD中，由余弦定理得，BD2CB2CD22CBCDcosC，

37131313

即9x2x223xx，解得x1，则a3,c4，

44213

113

所以ABC的面积SacsinB3433．

222

【变式4】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

bcosA3bsinAac.

(1)求B；

(2)若ABC的中线BD长为23，求ac的最大值.

π

【答案】(1)B

3

(2)8

【详解】（1）因为bcosA3bsinAac，

所以sinBcosA3sinBsinAsinAsinC，

又CπAB，

所以sinCsinπABsinABsinAcosBcosAsinB，

所以sinBcosA3sinBsinAsinAsinAcosBcosAsinB，

整理得sinA3sinBcosBsinA，

π

因为A0,π,sinA0，所以3sinBcosB1，即2sinB1，

6

ππ5π

因为0Bπ，所以B，

666

πππ

所以B，得B.

663

（2）因为D为AC中点，

1

所以BDBCBA，

2

π

因为BCa,BAc,BD23,B，

3

2122122π

所以BD12BCBA2BCBAac2accos，

443

整理得a2c2ac48，

2

2ac2

所以ac48ac48，得ac64，即ac8，

2

当且仅当ac4时，等号成立，

所以ac的最大值为8.

题型04求角平分线长（定值）问题

【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的

两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，

AC＝4，BC＝5，则AD＝（）

2215152122

A．B．C．D．

7777

【答案】D

3

【详解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足324252，∴BAC90，故cosABC，

5

∵AD是∠BAC的角平分线，∴BDAB3，∴BD3515，

DCAC477

在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，

2

得AD2321523153288，

77549

122

解得AD或者AD122（舍去），

77

故选：D．

π

【典例2】（2023·江西上饶·统考二模）在ABC中，C的角平分线交AB于点D，B，BC33，

6

AB3，则CD（）

363325

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【详解】

如图所示，在ABC中，由余弦定理得

23

AC2BC2AB22BCABcosB333223339，

2

ππ2π

∴AC3AB，∴ABC为等腰三角形，ACBB，Aπ2，

663

π

又∵CD为角平分线，∴ACD，

12

2πππ

∴在ACD中，ADCπ，

3124

ACCD

由正弦定理得得，

sinADCsinA

2π3

3sin3

ACsinA36

CD32.

π

sinADCsin22

42

故选：A．

【典例3】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在ABC中，BAC60，AC2，BC7，BAC

的角平分线交BC于D，则AD．

【答案】63

5

【详解】ABC中，由余弦定理AC2AB22ACABcosBACBC2得4AB24ABcos607，

解得AB3（1舍去），

CDAC2

AD是角平分线，则，

BDAB3

327

所以BD7，CD，

55

又由余弦定理得：

AB2AD2BD22ADBDcosADB，

AC2AD2CD22ADCDcosADC，

而cosADBcosADC0，

AD2BD2AB2AD2CD2AC2

因此0，

2ADBD2ADCD

AD2CDBD2CDAB2CDAD2BDCD2BDAC2BD0，

22210863

ADBCABCDACBDBCBDCD7，AD．

255

故答案为：63．

5

【典例4】（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，ABC的内角A、B、C的对

ππ

边分别为a、b、c，且3sinBsinB0.

63

(1)求角B的大小；

153

(2)若a3，S△.

ABC4

（i）求sinA的值；

（ii）求ABC的角平分线BD的长.

2π

【答案】(1)B

3

3315

(2)（i）sinA；（ii）BD.

148

ππππππ

【详解】（1）解：3sinBsinB3sincosBcossinBsincosBcossinB

636633

3331

cosBsinBcosBsinBsinB3cosB0，

2222

所以，sinB3cosB0，可得tanB3，

2π

又因为0Bπ，故B.

3

133153

（2）解：（i）因为S△acsinBc，解得c5，