高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第01讲 指数（解析版）

第01讲4.1指数

课程标准学习目标

①理解根式和分数指数幂的含义，

通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行

并且能进行两者之间的互化。

顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更

②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性

充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具

质进行根式的运算。

有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和

③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较

分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实

复杂的运算式子。

数指数幂的运算性质进行化简.

知识点01：整数指数幂

n

aaaaaaa

1、正整数指数幂的定义：，其中，nN

n个

2、正整数指数幂的运算法则：

①amanamn（m,nN）

②amanamn（a0，mn，m,nN）

③(am)namn（m,nN）

④(ab)mambm（mN）

aam

⑤()m（b0mN）

bbm

知识点02：根式

1、n次根式定义：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN.

特别的：

①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号表

示na.

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号na表

示，叫做a的n次算术根；负的n次方根用符号na表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成

na(a0).

③负数没有偶次方根；

④0的任何次方根都是0，记作n00

2、根式：

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

在根式符号na中，注意：

①n1，nN

②当n为奇数时，na对任意aR都有意义

③当n为偶数时，na只有当a0时才有意义.

3、(na)n与nan的区别：

①当n为奇数时，(na)na（aR）

②当n为偶数时，(na)na（a0）

③当n为奇数时，且n1，nana

a,a0

④n为偶数时，且n1，nan|a|

a,a0

【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）n(3π)n(nN,n2)（）

A．3πB．π3

C．3πD．当n为奇数时，3π；当n为偶数时，π3

【答案】D

【详解】当n为奇数时，n(3π)n3π；

当n为偶数时，n(3π)n3ππ3.

故选：D

知识点03：分式指数幂

m

1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，

annama0m,nNn1a0m,nN

n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

m

11

2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，an（，，

mnma0m,nN

ana

n1）.

3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）化简：(a25a3)(a10a9)=．（用分数指数幂表示）.

【答案】6

a5

【详解】因为

3191371376

(a25a3)(a10a9)(a2a5)(a2a10)a5a5a55a5.

故答案为：6

a5.

知识点04：有理数指数幂

①arasars（a0，r,sQ）

②(ar)sars（a0，r,sQ）

③(ab)rarbr（a0，b0rQ）

知识点05：无理数指数幂

①arasars（a0，r,sR）

②(ar)sars（a0，r,sR）

③(ab)rarbr（a0，b0rR）

1111

73

【即学即练3】（2023·高一课时练习）计算(0.0081)4[3()0]1[810.25(3)3]2100.0273.

88

【答案】0

1111

333

【详解】原式[()4]431{(34)0.25[()3]3}210[()3]3

10210

311313

()1[()1]210

1033210

101121

()230

3333

题型01根式的概念

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）二次根式x2x成立的条件是（）

A．x0B．x0C．x0D．x是任意实数

【答案】C

【详解】因为x2|x|x，

所以x0.

故选：C.

【典例2】（2023·高一课时练习）81的4次方根是．

【答案】3

【详解】81的4次方根是4814343.

故答案为：3

【变式1】（2023·高一课时练习）625的四次方根为.

【答案】5

4

【详解】因为5625，所以625的四次方根为5.

故答案为：5.

【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）16的平方根为，27的5次方根为；已知x76，

则x；

【答案】452776

2

【详解】416，16的平方根为4.

27的5次方根为527.

x76，x76.

故答案为：4；527；76.

题型02根式的化简(求值)

34

【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）若a33，b42，则ab的值为（）

A．1B．5C．1D．25

【答案】A

34

【详解】依题意，a333，b42|2|2，

则ab(3)(2)1，

所以ab的值为1.

故选：A

【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）当2x有意义时，化简x24x4x26x9的结果是（）

A．2x－5B．－2x－1

C．－1D．5－2x

【答案】C

【详解】因为2x有意义，可得2x0，即x2，

又由x24x4x26x9=(x2)2(x3)2

x2x32x(3x)1

故选：C.

【变式1】（2023·江苏·高一假期作业）若2a3，化简(2a)24(3a)4的结果是（）

A．5－2aB．2a－5

C．1D．－1

【答案】C

【详解】因为2a3，所以2a0,3a0，

所以(2a)24(3a)42a3aa23a1.

故选：C.

【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）有下列说法：

①31255；②16的4次方根是2；

③4813；④(xy)2|xy|．

其中，正确的有(填序号)．

【答案】②④

【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，31255，故①错误；

16的4次方根有两个，为2，故②正确；

因为4813，故③错误；

因为(xy)2是正数，故(xy)2|xy|，故④正确．

故答案为：②④

题型03分数指数幂的简单计算

【典例1】（多选）（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列各式中一定成立的有（）

71

n74

A．nm7B．12333

m

3

33

C．4xyxy4D．3933

【答案】BD

71

n774

【详解】nm，A错误；1233333，B正确；

m

11

11213

4x3y3x3y34，C错误；39939233，D正确

故选：BD

11

【典例2】（2023·高一课时练习）根式的分数指数幂的形式为（）

aa

4433

．．．．

Aa3Ba3Ca4Da8

【答案】D

1

1111

2

【详解】112224

aaaa

aa

33

a4a8.

故选D.

b2a4

【典例3】（2023秋·山西·高一校联考期中）（1）化简：(a0,b0).（结果用分数指数幂表示）

a3b6

211

（2）化简：8a3b22a6b2(a0,b0).（结果用分数指数幂表示）

21

（3）求值：83273(21)0.

1155

16

【答案】（1）22；（2）62；（3）.

ab4ab3

11

b2a411

【详解】（1）a3b2a4b62a3b2a2b3a1b12a2b2；

a3b6

21121155

2

（2）8a3b22a6b24a36b24a6b2；

2112

1

16

（3）83273(21)083333122311.

3

【变式1】（2023·高一单元测试）下列式子的互化正确的是（）

11

A．6y2y3y0B．x33xx0

55

11

C．x44x0D．xx2x0

x

【答案】C

【详解】根据分数指数幂的运算可知，

155

111

311

6y2|y|3y3(y0)，xx0，x44x0，xx2x0，

3xx

故选：C

【变式2】（2023·全国·高一假期作业）化简求值:

12

2

23

90272；

(1)9.6

483

13

(2)a2·3b2b4·a2（a0，b0）.

1

【答案】(1)

2

1

(2)

a

12

2

23

【详解】（）90272

19.6

483

12

232

322323441

11.

2332992

13

（2）a2·3b2b4·a2

3

121

a2·b3b4a12

31

1

a2·b2b2a2a1b0

a

【变式3】（2023·高一课时练习）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：

34

32mmm

ba11

（1）；（2）22；（3）1.

6aaa5

ab(6m)m4

【答案】（）；（）1；（）

112a231.

11131

b3a22b32a24b2a2

【详解】（1）原式1；

ab6ab613

a2b2

111

11211411141

（2）原式a2a2aa4a2aa4a8a2a2；

111

11151

m2m3m4

（）原式234640

351mm1.

m6m4

题型04条件求值

【典例1】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知aa13，下列各式中正确的个数是

（）

11

22331

①aa7；②aa18；③22；④aa25；

aa5aa

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【详解】①a2a2(aa1)22927,正确；

②a3a3(aa1)(a21a2)3(71)18，正确；

1111

因为1可知，，21，

③aa3a0a2a20(a2a2)a2a5

11

所以，故错误；

a2a25

3311

1

④aaa2a2(a2a2)(a1a1)5(a1a1)25，正确.

aa

故选：C

1

1

03

【典例】（秋江苏南通高一江苏省南通中学校考期中）（）求48的值；

22022··18153

27

11

22

（2）已知xx114，求xx4的值.

x2x2200

84

【答案】（1）；（2）

33

11

113

033

【详解】（）4844228；

181533131

27333

112

1111

（）221，，，

2xxxx216x2x20x2x24

11

2

221x2x24444

xxxx2194，．

x2x22001942003

【典例3】（2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考期中）计算下列各式

103

6

73

(1)0.001316423；

8

(2)已知xx13，求下列各式的值：

11

；

①x2x2

33

．

②x2x2

【答案】(1)89；

(2)①5；②25.

1311

66

【详解】（1）原式10331244223310187289；

112121112

（2）①∵x2x2x22x2x2x2x1x12325，

11

∴x2x25，

又由xx13得x0，

11

∴，

x2x20

11

所以；

x2x25

②（法一）

33131311121112

x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2

11

221

xxxx153125，

（法二）

333333

(x2x2)2(x2)2(x2)22x2x2x3x32，

而x3x3xx1x2x21

2

xx1xx13332318，

332

∴x2x220，

又由xx130得x0，

33

∴，

x2x20

33

所以

x2x22025.

1

11

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）（1）计算0.0273()2810.75()031；

69

11

（）若，求22的值．

2x2x26xx

【答案】（1）-5；（2）14.

1

11﹣1101

【详解】（1）0.0273()2810.75()0310.31﹣36+33+136+27+15．

69333

11

112﹣22﹣2

（2）若22，∴x2＝6，x4，∴x+x+2＝16，∴x+x＝14．

xx6xx

22

11xx2

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知22，则33．

xx3

x2x23

【答案】3

11

【详解】解：因为，

x2x23

112

所以x2x2xx129，

即xx17，

2

所以xx1x2x2249，

即x2x247，

x2x22x2x2247245

33113

所以36315，

x2x23x2x2x1x13

故答案为：3．

11

【变式】（秋广西玉林高一校考期中）已知，则22．

32022··x2x23xx

【答案】215

112

11

【详解】由可得221，

x2x23xxx2x9

即xx17，

22

又因为xx1xx14，

22

即72xx14，可得xx145

即xx135，

所以x2x2xx1xx1735215．

故答案为：215

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

2112

2

1．（2023·全国·高三专题练习）化简4a3b3a3b3的结果为（）

3

2a8a6a

A．B．C．D．6ab

3bbb

【答案】C

21122112

223316a

【详解】4a3b3a3b34ab336ab

33b

故选：C.

2．（2023·江苏·高一假期作业）化简4m6(m0)的结果为（）

A．mmB．mm

C．mmD．mm

【答案】D

3

【详解】m0，4m6mmm.

故选：D

1

(4)01

3．（2023·高一课时练习）计算22(15)0，结果是（）

221

1

．．．．

A1B22C2D22

【答案】B

1

(4)0111

【详解】22(15)0(21)122.

22122

故选：B

4．（2023·全国·高一假期作业）有下列四个命题：

①正数的偶次方根是一个正数；

②正数的奇次方根是一个正数；

③负数的偶次方根是一个负数；

④负数的奇次方根是一个负数．

其中正确的个数是()

A．0B．1

C．2D．3

【答案】C

【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在；

正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数；

①③错误，②④正确．

故选：C

3ab2a2b2

5．（2023·全国·高一专题练习）化简114（a，b为正数）的结果是（）

3ba6b4

b2a2

A．B．C．a2b2D．ab

a2b2

【答案】C

1

232278

3ab2a2b2ababa3b3

22

【详解】112ab

11412233.

333ab

64bab

bab

故选：C.

6．（2023·全国·高三专题练习）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.

截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所

有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都

相等.若火星与地球的公转周期之比约为9:5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约

为（）

258159

A．3B．3C．3D．3

812595

【答案】A

【详解】设地球的公转周期为5T，则火星的公转周期为9T.

设地球､火星运行轨道的半长轴分别为m，n，

m3n3

则，

25T281T2

m25

于是3.

n81

故选:A.

33

1122

．（全国高一假期作业）已知，则mm的值是（）

72023··2211

mm4

m2m2

A．15B．12C．16D．25

【答案】A

11

【详解】因为，

m2m24

11

所以mm1(m2m2)2216214，

331111

2222221

又由立方差公式，mm(mm)(mmmm)1，

1111m1m15

m2m2m2m2

故选：A．

13

0.52

44

．（全国高三专题练习）923322（）

82023··(2π)2

1633

A．πB．2πC．4πD．6π

【答案】B

13

0.52

44

【详解】92332242

(2π)2π242π.

163333

故选：B

二、多选题

9．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的是（）

A．16的4次方根是2

B．416的运算结果是±2

C．当n为大于1的奇数时，na对任意aR都有意义

D．当n为大于1的偶数时，na只有当a0时才有意义

【答案】CD

【详解】对于A，由于(2)416，所以16的4次方根是2，故A不正确．

对于B，4162，故B不正确．

对于C，由根式的意义知，当n为大于1的奇数时，na对任意aR都有意义，故C正确．

对于D，由根式的意义知，当n为大于1的偶数时，na只有当a0时才有意义，故D正确．

故选：CD．

10．（2023·全国·高一假期作业）已知a2a23，则aa1等于（）

A．5B．5C．1D．1

【答案】AB

2

12121

【详解】令aat,taa2,

aa2

t2325,t5.

故选：AB

三、填空题

12

1

23

．（高一课时练习）求值：40643．

112023·(5.6)0.125

927

178

【答案】/1

99

12

1

23

【详解】40643

(5.6)0.125

927

12

222433121617

33

213212

33399

17

故答案为:.

9

a3a3a3a3a21a42

12．（2023·全国·高三专题练习）

a4a41aa1aa1

【答案】2a

a6a6a22aa1a2

【详解】原式

a4a41aa1aa1

2

a2a2a41a4aa1

aa1a41a4aa1

aa1aa1

aa1aa1aa12a.

aa1

故答案为：2a.

四、解答题

13．（2023·江苏·高一假期作业）计算：

1

1

31

120；

(1)0.0021052π

27

23

116

(2)83()2()4(21)0

281

【答案】(1)22

19

(2)

8

1

1

31

【详解】（）120

10.0021052π

27

3105105201

22；

23

116

（2）83()2()4(21)0

281

23

324()2719

234()41441.

388

14．（2023·江苏·高一假期作业）求值：

2

0.5

3

2749220；

(1)(0.2)(0.081)

8925

2221

(2)π0－83＋52×45.

8

【答案】(1)

9

(2)13

2

8492478

【详解】（1）原式32511；

27925939

214

（）原式32

21232525124213.

B能力提升

1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）阅读下段文字：“已知