高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第02讲 三角函数的概念（解析版）

第02讲5.2.1三角函数的概念

课程标准学习目标

①理解结合单位圆定义三角函数的意

义。

1.掌握三角函数的定义；

②结合任意角终边与单位圆的交点会求任

2会求任意角的三个三角函数值；

意角的正弦、余弦、正切值。

3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；

③根据任意角终边所在象限的位置，会判断

任意角三角函数值的符号。

知识点01：任意角的三角函数定义

1、单位圆定义法：

如图,设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)

①正弦函数：把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin,即ysin

②余弦函数：把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos,即

xcos

yy

③正切函数：把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作tan,即tan(x0)

xx

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数

31

【即学即练1】（2023春·北京·高一北京四中校考期中）已知角θ的终边经过点P,，则cos等于（）

22

133

A．B．C．3D．

223

【答案】B

22

【详解】31，故在单位圆上，根据三角函数值的定义，的横坐标的值即为，故

1PPcos

22

3

cos.

2

故选：B

2、终边上任意一点定义法：

在角终边上任取一点P(x,y)，设原点到P(x,y)点的距离为

r|OP|x2y2

y

①正弦函数：sin

r

x

②余弦函数：cos

r

y

③正切函数：tan(x0)

x

【即学即练2】（2023春·广西钦州·高一校考期中）若点P(3,4)在角的终边上，则sin.

4

【答案】/0.8

5

【详解】点P(3,4)在角的终边上，

44

sin

所以2.

3425

4

故答案为：.

5

知识点02：三角函数值在各象限的符号

sin,cos,tan在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”

）

知识点03：特殊的三角函数值

角度0153045607590120135150180

弧度05235

12643122346

正弦0621236213210

值42224222

sin

余弦1623216201231

值42224222

cos

正切03133130

值33

tan

知识点04：诱导公式一y

(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.T

P

(2)式子表示:

①sin(2k)sin

x

②cos(2k)cosOMA

③tan(2k)tan其中kZ.

知识点05：三角函数线

设角的终边与单位圆相交点P；④由点P向x轴做垂线，垂足为点M；⑤由点A作单位圆的切线与终

边相交于点T。如下图所示：

在RtOPM中：

|PM||PM||PM|

sin|PM|

|OP|r1

|PM|为正弦线，长度为正弦值。

|OM||OM||OM|

cos|OM|

|OP|r1

|OM|为余弦线，长度为余弦值。

|AT||AT||AT|

在RtOAT中：tan|AT|。

|OA|r1

|AT|为正切线，长度为正切值。

题型01利用三角函数的定义求三角函数值

【典例1】（2023春·陕西西安·高一校考阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，

5

终边在第三象限且与单位圆交于点P,m，则sin（）

5

552525

A．B．C．D．

5555

【答案】C

2

5

【详解】在单位圆上即5221425

P,mm1m1m

55555

25525

终边在第三象限所以m0，m，所以P,

555

25

所以sinm.

5

故选：C

36

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边与单位圆交于点P(,)，则sincos（）

33

3232

A．B．C．D．

3333

【答案】B

36

【详解】的终边与单位圆交于点P(,),

33

36

故r|OP|1,x,y，

33

6-3

故y6x3，

sin=3=，cos3=-

r13r13

632

所以sincos（-）=-，

333

故选：B.

【典例3】（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，它的始

34

边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P,，则tan的值为

55

3443

A．-B．C．D．

5534

【答案】C

【详解】由题意，角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点

4

34y4

P,，根据三角函数的定义可得tan5.

3

55x3

5

故选：C.

13

【变式1】（2023春·湖南·高二统考学业考试）设角的终边与单位圆的交点坐标为,，则sin（）

22

123

A．B．C．D．1

222

【答案】C

3

3

【详解】由题意得sin2，

132

44

故选：C

【变式2】（2023·福建泉州·高一统考期末）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若

4

的终边与圆心在原点的单位圆交于A,m，且为第四象限角，则sin（）

5

3344

A．B．-C．D．

5555

【答案】B

4

【详解】A,m在单位圆上，

5

2

423

m1，解得m，

55

Q为第四象限角，

3

m0，则m，

5

3

sin，

5

故选：B.

题型02由终边或终边上点求三角函数值

【典例1】（2023秋·云南大理·高二大理白族自治州民族中学校考开学考试）已知角的终边落在直线y2x

上，则sin的值为（）

2552525

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【详解】设直线y2x上任意一点P的坐标为(m,2m)（m0），

2

则OPm22m5m（O为坐标原点），

y2m2m

根据正弦函数的定义得：sin，

rOP5m

2525

m0时，sin；m0时，sin，

55

所以选项D正确，选项A，B，C错误，

故选：D.

【典例2】（多选）（2023秋·江西赣州·高二江西省全南中学校考开学考试）已知角的终边经过点

P(4m,3m)(m0)，则2sincos的值可能为（）

3322

A．B．-C．D．

5555

【答案】CD

【详解】已知角的终边经过点P(4m,3m)(m0)

3m3m4m4m

sincos

所以22，22

4m3m5m4m3m5m

34342

则当m0时，sin,cos，此时2sincos2；

55555

34342

当m0时，sin,cos，此时2sincos2；

55555

22

所以2sincos的值可能为或.

55

故选：CD.

【典例3】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知角的终边过点Px,2，且

5

cos，求sin及tan的值．

3

225

【答案】sin，tan

35

x5

【详解】由角的终边过点Px,2，可知cos，又cos，得x5．

x243

22225

所以sin，tan.

54355

【变式1】（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点(3,4)，则cos

（）

4433

A．B．C．D．-

5555

【答案】D

【详解】设P(3,4)，则点P到原点的距离为(3)2425，

33

则cos.

55

故选：D.

【变式2】（多选）（2023春·江西萍乡·高一统考期中）已知角的终边上有一点Pa,2a，若a<0，则（）

525

A．sinB．sin

55

1

C．tanD．tan2

2

【答案】BD

【详解】由题知，因为a<0，所以点Pa,2a在第三象限，

2a252a

sin

所以2，tan2，

a22a5a

故选：BD.

【变式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中学校考开学考试）若的终边所在射线经过点P1,2，则

sin，tan.

252

【答案】/52

55

【详解】由于的终边所在射线经过点P1,2，

2252

所以sin,tan2.

122251

25

故答案为：；2

5

题型03由三角函数值求终边上的点或参数

3

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）角的终边经过点P4,b且sin，则b的值为（）

5

A．3B．3C．3D．5

【答案】B

b3

【详解】根据三角函数定义可得sin，且b0，

16b25

即25b2916b2，解得b3．

故选：B．

2m

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边上有一点Pm,3，且cos，则实数m取

4

值为．

【答案】0或5

【详解】因为角的终边上有一点Pm,3，

m2m

所以cos，解得m0或5.

m234

故答案为：0或5.

2m

【典例3】（2023秋·高一课时练习）已知角的终边上一点Pm,5，且cos，求m值.

4

【答案】m0或m3.

m2

mm2m2

【详解】解：依题意有：24即：

m25m258

解得：m20或m23

即m0或m3

4

【变式1】（2023·上海·高一专题练习）已知角的终边经过点P8m,3，且cos，则实数m的值

5

是（）

19

A．B．

232

1199

C．或D．或

223232

【答案】A

8m

【详解】由三角函数的定义得cos，

64m29

8m4

，m0

64m295

1

解得m

2

故选：A

【变式2】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）已知角的终边经过点(2a1,a2)，且

3

cos，则实数a.

5

【答案】2

2a13

【详解】由题意，根据余弦函数的定义，可得.

(2a1)2(a2)25

2

整理得11a220a40，解得a2或a，

11

1

又因为cos0，所以2a10，即a，

2

所以a2.

3

【变式3】（2023春·广西钦州·高一校考期中）已知点P4,3m角的终边上，且sin，求m，cos，

5

tan．

43

【答案】m1，cos，tan．

54

y3m3

【详解】根据三角函数定义sin0，解得m1，

r169m25

x4y3

所以cos，tan．

r5x4

题型04三角函数值符号的运用

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）求12sin5cos5（）

A．sin5cos5B．sin5cos5

C．cos5sin5D．sin5cos5

【答案】C

【详解】由12sin5cos5sin252sin5cos5cos25(sin5cos5)2sin5cos5，

3π7π

又5，则cos50sin5，

24

所以12sin5cos5cos5sin5.

故选：C

sintan

【典例2】（2023春·贵州毕节·高一校考期中）若0，0，则是（）

tancos

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】D

sintansin

【详解】由cos0，0，得cos0，sin0，所以是第四象限角.

tancoscos2

故选:D.

2sinxcosx

【典例3】（2023·全国·高一专题练习）所有可能取值的集合为．

1cos2x1sin2x

【答案】3,1,1,3

2sinxcosx2sinxcosx

【详解】解：因为，

1cos2x1sin2xsinxcosx

由已知可得角x的终边不在坐标轴上，

当角x的终边在第一象限，则原式213，

当角x的终边在第二象限，则原式211，

当角x的终边在第三象限，则原式213，

当角x的终边在第四象限，则原式211，

2sinxcosx

故所有可能取值的集合为3,1,1,3，

1cos2x1sin2x

故答案为：3,1,1,3

【变式1】（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知Psin1,cos2，则点P所在象限

为（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，

所以sin10,cos20，

所以点P所在象限为第四象限.

故选：D.

【变式2】（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知点Pcos,tan是第三象限的点，

则的终边位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【详解】∵点Pcos,tan是第三象限的点，∴cos0，tan0，

由cos0可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；

由tan0可得，的终边位于第一象限或第三象限，

综上所述，的终边位于第三象限．

故选:C

【变式3】（2023秋·高一课时练习）点P(tan2022,cos2022)位于第象限．

【答案】四

【详解】20225360222，

∴2022是第三象限角，

则tan20220，cos20220.

则点P(tan2022,cos2022)位于第四象限．

故答案为：四

题型05画三角函数线

1

【典例1】（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）不等式cosx在区间,上的解集为．

2

【答案】,

33

1

【详解】如图所示，由于coscos，

332

1

所以在,上cosx的解集为,．

233

故答案为：,

33

【典例2】（2023春·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：

11

(1)sinx且cos；

22

(2)tanx1．

ππ

【答案】(1)x|2kπ<x<2kπ,kZ

63

ππ

(2)x|nπx<nπ,nZ

42

【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：

11

由图（1）知当sinx且cosx时，

22

ππ

角x满足的集合x|2kπ<x<2kπ,kZ.

63

（2）由图（2）知：当tanx1时，

ππ3π3π

角x满足的集合x|2kπx<2kπ,kZx|2kπx<2kπk,Z，

4242

ππ

即x|nπx<nπ,nZ；

42

ππ

所以tanx1的解集为x|nπx<nπ,nZ.

42

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）使sinxcosx成立的x的一个变化区间是（）

3πππ

A．[π，]B．[，]

4422

33

C．[π，π]D．[0，π]

44

【答案】A

【详解】当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sinxcosx．

故选：A

【变式2】（2023·高一课时练习）已知0,，则sin+cos的取值范围是．

2

【答案】(1,2]

【详解】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有cosOM，sinMP，OP1，

在RtOPM中，OMMPOP，

∴sincos1,

222

又OMMPOP1，

222

∴OMMP2OMMP2即OMMP2，

当且仅当OMMP取等号，

∴1sincos2，

故答案为：(1,2].

【变式3】（2023·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：

1

（1）sin；

2

2

（2）cos；

2

（3）tan3.

535

【答案】（1）|2k或2k,kZ；（2）|2k或2k,kZ；

6644

（3）k,kZ．

3

【详解】解（1）作出如图所示的图形，则根据图形可得

5

|2k或2k,kZ；

66

35

（2）作出如图所示的图形，则根据图形可得|2k或2k,kZ；

44

（3）作出如图所示的图形，则根据图形可得k,kZ．

3

题型06三角函数线的应用

【典例1】（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考期末）已知A是ABC的一个内角，且tanA30，则sinA

的取值范围是（）

31313

A．,1B．,1C．1,D．,

22222

【答案】A

【详解】解：tanA30，

tanA3

令tanA3，又0A，所以A，作角的正切线MT，如图所示.由图可得，当A时，

3332

tanA3，

33

此时，sinA1，即sinA的取值范围是,1.

22

故选：A.

π

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）设0,，试证明：sintan；

2

π

（2）若0，试比较sin与sin的大小.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）sinsin

【详解】（1）如下单位圆中，若AOBAB，ADx轴，CB与单位圆切于B点，

所以sinDA0，tanBC0，而SAOB扇形SOABSOBC，

111

所以DAOBOBBCOB，即sintan.

222

（2）作单位圆如下图，AOFAF,COFCF，且sinDA0，sinBC0，CA，

过A作AECB于E，连接AC，则BEDA，故ECsinsin，

由ECACCA，则sinsin，即sinsin.

【变式1】（2023·高一课时练习）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，

PMx轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（）

A．OM，AT，MP

B．OM，MP，AT

C．MP，AT，OM

D．MP，OM，AT

【答案】D

PMOMAT

【详解】由题图，sin，cos，tan，而OPOA1，

OPOPOA

所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT.

故选：D

13

【变式2】（2023秋·高一课时练习）利用三角函数线,确定满足不等式cos的取值范围.

22

22

【答案】2k2k,kZ或2k2k,kZ.

3663

131

【详解】解:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线x,x,直线x与单位圆交于点P1,P2与

222

3

x轴交于点M,直线x与单位圆交于点P3,P4,与x轴交于点M2,连接OP1,OP2,OP3,OP4.在,范围

2

221322

内,coscos,coscos,则点P1,P2,P3,P4分别在角,,,的终边上.又

3326623366

1322

cos,结合图形可知,当,时,或,故的取值范围为

223663

22

2k2k,kZ或2k2k,kZ.

3663

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023春·广东佛山·高一校考期中）若角的终边经过点2,3，则sin（）

3223

A．13B．13C．13D．13

13131313

【答案】D

【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果.

3313

sin

【详解】因为角的终边经过点2,3，则2.

23313

故选：D

2．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）角的终边上一点P的坐标为(3,t)，且

2

sin(t0)，则tan（）

t

A．2B．6C．2D．6

【答案】A

y

【分析】借助三角函数定义求出t，然后利用定义tan可求答案.

x

t2226

【详解】sin,t23t，解得：t6，所以tan2.

3t2t3

故选：A.

3．（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，

它的终边过点(1,-2)，则sin的值为（）

323525

A．B．C．D．

3355

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

225

sin

【详解】由题意，2.

1225

故选：D.

4．（2023春·新疆·高一八一中学校考期中）若coscos，tantan，则的终边在（）

2

A．第一、三象限

B．第二、四象限

C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上

D．第二、四象限或在x轴上

【答案】D

【分析】根据题意得到是第四象限或x轴正半轴，结合角的表示方法，进求得所在的象限，得到答案.

2

【详解】因为coscos，可得cos0，则是第一、四象限或x轴正半轴，

又因为tantan，可得tan0，则是二、四象限或x轴，

所以是第四象限或x轴正半轴，

所以k360270k360360,kZ，

可得k180135k180180,kZ，

2

令k2n,nZ，可得n360135n360180,nZ，

2

则在二象限或x轴负半轴；

2

令k2n1,nZ，可得n360315n360360,nZ，

2

则在四象限或x轴正半轴，

2

综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上.

2

故选：D.

5．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）sin1sin2sin3sin4的符号为（）

A．正B．0C．负D．无法确定

【答案】C

【分析】先判断所给角位于的象限，进而判断正负即可．

【详解】由1弧度为第一象限角，2弧度为第二象限角，3弧度为第二象限角，4弧度为第三象限角，

则sin10，sin20，sin30，sin40，

所以sin1sin2sin3sin40．

故选：C．

6．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，