高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第03讲 对数（解析版）

第03讲4.3对数（4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算）

课程标准学习目标

①理解对数的概念、掌握对数的性质。

②掌握指数式与对数式的互化，能进行简单

的对数运算。通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，

③理解对数的运算性质和换底公式，能熟练熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则

运用对数的运算性质进行化简求值。进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合

④能利用对数的运算性质进行解方程及与问题.

指、幂函数的综合应用问题的解决。

知识点01：对数概念

xN

1、对数的概念：一般地,如果aN(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作xloga,

其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

特别的：规定a0,且a1的原因：

27

①当a0时，N取某些值时，x的值不存在，如：xlog(3)是不存在的.

27x

②当a0时，当N0时，x的值不存在，如：xlog0027是不成立的；当N0时，则x的取

值时任意的，不是唯一的.

③当a1时，当N1，则x的值不存在；当N1时，则x的取值时任意的，不是唯一的.

2

【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）已知对数式log有意义，则a的取值范围为（）

a14a

A．1,4B．1,00,4

C．4,00,1D．4,1

【答案】B

a10

2

【详解】由log有意义可知a11，解得1a4且a0，

a14a

2

0

4a

所以a的取值范围为1,00,4.

故选：B

2、常用对数与自然对数

N

①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10记为lgN

②自然对数：e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以e为底的对数称为自然对数,并

N

把loge记作lnN

说明：“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫

对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.

知识点02：指数式与对数式的相互转化

xN

当a0且a1，aNxloga

知识点03：对数的性质

①负数和零没有对数.

1

1a

②对于任意的a0且a1,都有loga0，loga1，a；

loga1

N

③对数恒等式:alogaN（a0且a1）

1

【即学即练】（高一课时练习）log2的值是．

22023·25

1

【答案】/0.2

5

1

log21

【详解】由对数的概念可得25，

5

1

故答案为：

5

知识点04：对数的运算性质

当a0且a1，M0,N0

(MN)MN

①logalogaloga

M

②NMN

logalogaloga

③MnM（）

loganloganR

M1M

④logmlog（m0）

ama

MnnM

⑤logmlog（nR,m0）

ama

【即学即练3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）计算：log62log63.

【答案】1

【详解】根据对数的运算法则，可得log62log63log6(23)log661.

故答案为：1.

知识点05：对数的换底公式

logb

换底公式：bc（且，，，且）

logaaa0a1b0c0c1

logc

1

b

特别的：logaa

logb

log16

【即学即练4】（2023·全国·高一假期作业）27的值是（）

log34

23

A．1B．C．D．2

32

【答案】B

2

2

log34

log16log342

【详解】由题意可得：2733.

log34log34log343

故选：B.

题型01对数概念判断与求值

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数是对数函数的是（）

A．ylog2xB．ylnx1C．ylogxeD．ylogxx

【答案】A

【详解】解：对数函数ylogax（a0且a1），其中a为常数，x为自变量．

对于选项A，符合对数函数定义；

对于选项B，真数部分是x1，不是自变量x，故它不是对数函数；

对于选项C，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数；

对于选项D，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数．

故选：A．

【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）在bloga25a中，实数a的取值范围是

A．,25,B．2,5C．2,33,5D．3,4

【答案】C

5a0

【详解】由对数的定义知a20，

a21

解得2a3或3a5.

故选C．

2

【变式1】（2023·全国·高一假期作业）若log(x2)x7x130，则x的值为．

【答案】4

2

【详解】因为log(x2)x7x130，

x27x131

所以x20，

x21

x27x120

即x2，解得x4．

x3

故答案为：4.

6

【变式2】（2023·高一课时练习）计算：log381；lg0.1.

【答案】86

8

【详解】

log381log338,

lg0.16lg1066,

故答案为：8,6

题型02指数式与对数式相互转换

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

1

03111

A．e1与ln10B．8与log8

223

1

．log92与．log71与1

C3923D777

【答案】C

【详解】根据指数式与对数式互化可知：

对于选项A：e01等价于ln10，故A正确；

1

3111

对于选项B：8等价于log8，故B正确；

223

2

对于选项C：log392等价于39，故C错误；

1

对于选项D：log771等价于77，故D正确；

故选：C.

2mn

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知loga3m，loga4n，计算a=

9

【答案】

4

【详解】∵loga3m，loga4n，

∴am3，an4，

2

2mm2

aa39

∴a2mn.

anan44

9

故答案为：.

4

2m

【变式1】（2023·高一课时练习）已知loga3m，则a的值为．

【答案】9

【详解】因为loga3m，

所以am3，a2m329.

故答案为：9.

1

【变式2】（2023·高一课时练习）已知loga，则a3.

23

【答案】2

13

11

【详解】，，因此，33

log2aa23a22.

3

故答案为：2.

题型03对数的运算

【典例1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列运算正确的是（）

2log10log0.252

A．11

55

9

B．log27log8log5

42598

C．lg2lg502

25

．

Dlog23log22

234

【答案】BCD

【详解】对于A，2log110log10.25log11000.25log1252，A错误；

5555

3319lg3lg2lg59

对于B，log27log8log5log3log2log5，故B正确；

42592225238lg2lg5lg38

对于C，lg2lg50lg1002，故C正确；

2

21115

对于D，log23log22log1，故D正确．

232323244

故选：BCD.

2

log62

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）化简：log62log62log632log636．

【答案】log62

2

log62

【详解】log62log62log632log636

log62log62log632log632

log622log632

2log62log63log622

2log622

log62．

故答案为：log62

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）计算

1

811

(1)0.252()3lg162lg5()0.

2722

1

1

log2162

(2)4lg1.

2lg20lg2log32log23(21)

9

33

【答案】(1)

2

(2)2

1

0

3

【详解】（）2811

10.25lg162lg5

2722

1

3

3

＝222

22lg2lg51

3

1

42

＝221

3

3

＝161

2

33

＝

2

1

1

log2162

（2）4lg1

2lg20lg2log32log23(21)

9

1

2

192010

lglog32(21)

4162log32

13

lg1011

44

1111=2

【变式1】（2023春·天津南开·高二统考期末）计算：loga2loga0.5log225log34log59.

【答案】8

222

【详解】因为loga2loga0.5log225log34log59loga20.5log25log32log53

ln5ln2ln3

log18log5log2log388，

a235ln2ln3ln5

所以loga2loga0.5log225log34log598.

故答案为：8.

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）计算：

2

(1)lg2lg2lg50lg25;

3

log23513

(2)4log18lglg25lglne

2162

【答案】(1)2

11

(2)

2

2

【详解】（1）原式＝lg2lg22lg5lg22lg5lg22lg52lg22lg52lg22lg52.

163

（2）原式22log23log8lglg25lg8lne2

25

16

25

33311

93lg56lg1061.

82222

题型04对数运算性质的应用

【典例1】（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知a0，b0，则“ab1”是“lgalgb0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为a0，b0，由lgalgblgab0，可得ab1，

所以，“ab1”“ab1”；但“ab1”“ab1”.

所以，已知a0，b0，则“ab1”是“lgalgb0”的充分不必要条件，

故选：A.

11

【典例2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若2m3nk且2，则k（）

mn

A．5B．6C．5D．6

【答案】B

11

【详解】因为2m3nk且2，所以，m0且n0，所以，k0且k1，

mn

11

且有mlog2k，nlogk，所以，log2，log3，

3mknk

11

所以，log2log3log62，则k26，

mnkkk

又因为k0且k1，解得k6.

故选：B.

111

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设3x4y6z，求证：.

x2yz

【答案】证明见解析

【详解】证明：设3x4y6zmm0，

则xlog3m，ylog4m，zlog6m.

111

所以log3，logm4，log6.

xmyzm

11

所以log3log2log6，

x2ymmm

111

所以.

x2yz

11

n

【变式1】（2023·高一课时练习）设11，那么n的值所在区间为（）

log1log1

2353

A．(2,1)B．(3,2)C．(1,2)D．(2,3)

【答案】D

1111

nlog32log35log310

【详解】由题意可得：11log23log53，

log1log1

2353

23

且3910,32710,所以nlog3102,3.

故选：D.

22

11xx7

【变式2】（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）（1）已知22，计算11；

xx3

xx1x2x2

2

（2）(lg5)lg2lg5lg20log225log34log59．

【答案】4，10

112

11

【详解】（）由可得，将其平方得2221，将1平方可得

1x2x23x0xx3xx7xx7

x2x27477

22

，所以114，

xx4773

xx1x2x2

（2）

2222

(lg5)lg2lg5lg20log225log34log59lg5lg2lg5lg20log25log32log53

lg5lg20222log25log32log53lg1008log25log53log322810

ab

【变式3】（2023春·上海黄浦·高一统考期末）已知32，35，若用a、b表示log65，则log65．

bb

【答案】/

1aa1

ab

【详解】因为32，35，所以alog32，blog35，

log35log35log35b

所以log65.

log36log323log32log331a

b

故答案为：

1a

题型05换底公式的应用

b

【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）已知log189a，185，求log3645.（用a,b表示）

ab

【答案】

2a

b

【详解】∵185，所以blog185，又log189a

∴ablog189log185log1895log1845，

18

log36log2181log21log2log92a；

log1845ab

∴log3645．

log18362a

ab

故答案为：．

2a

【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）计算：

(1)log29log34；

log52log79

(2)1.

loglog34

537

【答案】(1)4

3

(2)

2

lg9lg42lg22lg2

【详解】（1）由换底公式可得，log9log44；

23lg2lg3lg2lg3

log52log79

log2log39

（2）原式1314

loglog743

53

1

lg2

lg2lg92lg33

2.

11lg322

lglg43lg2

33

b

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若log142a，145，用a，b表示log3528

【答案】1a

1ba

b

【详解】因为145，所以blog145，

log1428log1414log1421a

log3528.

log1435log1414log145log1421ba

1a

故答案为：.

1ba

a11

【变式2】（2023春·广东云浮·高一校考阶段练习）若36，blog26，则．

ab

【答案】1

a

【详解】因为36，所以alog36

1111

所以log63log62log661.

ablog36log26

故答案为：1

题型06对数方程求解

【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）方程lgx21lg2x2的根为（）

A．3B．3

C．1或3D．1或3

【答案】B

x212x2

【详解】由lgx21lg2x2，得x210，

2x20

x22x30

即x210，解得x3，

2x20

所以方程lgx21lg2x2的根为3.

故选：B

【典例2】（2023·全国·模拟预测）已知正数x，y满足lg2yxlg2ylgx，则y的最小值为（）

1

A．B．1C．2D．4

2

【答案】C

2y

【详解】由正数x，y满足lg2yxlg2ylgx，得lg2yxlg，

x

2yx2

所以2yx，y，结合x0，y0，得x10，

x2x1

2

2x11

所以x1111，

yx122x122

2x12x12x12x1

1

当且仅当x1时，即x2时取等号，

x1

故选：C

2

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）logm3logm32，则m.

3

【答案】m或m3

3

2

【详解】设logm3t，原方程可化为tt20，

所以t2或t1，

所以logm32或logm31，

3

所以m或m3.

3

3

故答案为：m或m3.

3

x

2ln

【变式】（2023·高一课时练习）若lnxlny3，则y．

2e

【答案】e6

x

【详解】因为lnxlny3，所以ln3，

y

x

2ln6

所以y.

ee

故答案为：e6

题型07有附加条件的对数求值问题

【典例1】（多选）（2023春·福建·高一校联考期末）已知2a3b6，则正确的有（）

11

A．abB．ab4C．ab4D．1

ab

【答案】ABC

ab

【详解】236，alog262，blog362，log26log36，ab，故A正确，

1111

log62log63log661，故D不正确，

ablog26log36

11ba

ab(ab)()22124，当且仅当ab时取等号，ab，ab4，故B正确，

abab

1111

12（因为a¹b，故等号不成立），ab4，故C正确.

abab

故选：ABC.

x8

【典例2】（2023·天津·高二学业考试）已知23，log4y，则x2y的值为（）

3

3

A．B．3C．4D．8

2

【答案】B

x

【详解】由23，可得x=log23，

88

则x2y=log32loglog3loglog83

2432232

故选：B

11

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知3a4bm,2，则m的值为（）

a2b

A．36B．6C．6D．46

【答案】C

【详解】3a4bm0，

alog3m,blog4m，

111

log3log4log62，

a2bm2mm

m26，即m6或m6（舍去）

故选：C

111

【变式2】（2023春·浙江宁波·高二校联考期末）已知实数a，b满足2a5bm且，则m＝.

ab2

【答案】100

ab11

【详解】由25m可得alog2m,blog5mlogm2,logm5，

ab

1111

又，即log2log5log10，

ab2mmm2

1

所以，即

m210m100

故答案为：100

题型08对数的实际运用

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农

S

公式：CWlog21．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信

N

S

道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公

N

式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为W，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到

3W，信噪比提升到200000，则信息传递速度C大约增加了（）（参考数据：lg20.3）

A．187%B．230%C．530%D．430%

【答案】D

S3W

【详解】提升前的信息传送速度CWlogWlog10003Wlog1010W，

2N22lg2

55

提升后的信息传送速度C3Wlog22000003W13W153W，

lg20.3

CC53W10W

所以信息传递速度C大约增加了4.30430%．

C10W

故选：D.

【典例2】（2023·四川宜宾·统考三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则

简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，

9814327243

f，f，f，f，f，f，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上

8643216128

述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则

lg5lg2lg2．

【答案】0

99256999

【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，，

88243888

9256

由题意，，，

8243

2

5295256

lglglg2lg()2lg10.

8243

故答案为：0.

【变式1】（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）地震的强烈程度通常用里震级MlgAlgA0表示，这里A

是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，A0是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里

氏6级地震最大振幅的（）倍．

4

A．1000B．100C．2D．

3

【答案】B

AA

MM

【详解】解：依题意，MlgAlgA0lg，则10，即AA010

A0A0

A108

02

则610,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.

A010

故选：B.

【变式2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报

道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024

个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种

叠加态，L，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若Na10k(1a10,kN)，则称

N为k1位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数，则m（）（参考数据：

lg20.301）

A．308B．309C．1023D．1024

【答案】B

【详解】根据题意，得n个超导量子比特共有2n种叠加态，

所以当有1024个超导量子比特时共有N21024种叠加态.

两边取以10为底的对数得lgNlg210241024lg210240.301308.224，

所以N10388.224100.22410308.

由于1100.22410，故N是一个309位的数，即m309.

故选：B.

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1

．（湖南衡阳高二校联考学业考试）已知loglogx0，那么（）

12023··24x2

11

A．2B．2C．D．

22

【答案】C

【详解】依题意，log2log4x0，

所以log4x1，所以x4，

11

11

所以x242.

42

故选：C

2．（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

1

03111

A．e1与ln10B．8与log8

223

1

．log92与．log71与1

C3923D777

【答案】C

【详解】根据指数式与对数式互化可知：

对于选项A：e01等价于ln10，故A正确；

1

3111

对于选项B：8等价于log8，故B正确；

223

2

对于选项C：log392等价于39，故C错误；

1

对于选项D：log771等价于77，故D正确；

故选：C.

．（天津河西统考三模）已知a，，则a3b（）

32023··25log83b4

255

A．B．C．25D．5

99

【答案】A

555

alog2log2log2525

a3blog253log83log25log23323322

【详解】由25alog25，4444(2)(2)().

39

故选：A.

4．（2023春·陕西榆林·高一统考期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地

震有所了解.例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.81.5M.

据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：103.16）（）

A．9.46倍B．31.60倍C．36.40倍D．47.40倍

【答案】B

【详解】记地震震级提高至里氏震级M1，释放后的能量为E1，

由题意可知，lgE1lgE4.81.5M14.81.5M1.5，

EE

即lg11.5，所以1101.5101031.60.

EE

故选：B.