高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第11讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（解析版）

第11讲5.6.2函数yAsin(x)的图象

课程标准学习目标

①掌握图象的变换规律，解决三角函数的变

换问题。

②灵活掌握平移、伸缩变换规律，掌握与函

数yAsinx中变换量之间的关会画函数的图象，会结合图象解决与函数有关的性质问

系.。题，会求函数的解析式，掌握函数图象的变换规律.

③会利用图象的特点求函数的解析式。

④会求图象变换前后函数的解析式。

⑤会解决与三角函数有关的综合问题。

知识点一：五点法作图

必备方法：yAsin(x)五点法步骤

③x32

22

①x032

22

②yAsin(x)0A0A0

对于复合函数yAsin(x)，

3

第一步：将x看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令x等于0，，，，2，

22

对应的y则取0，A，0，A，0。，（如上表中，先列出序号①②两行）

第二步：逆向解出x（如上表中，序号③行。）

3

2

第三步：得到五个关键点为：(,0)，,(,0),,(,0)

(2,A)(2,A)

知识点二：三角函数图象变换

参数A,,对函数yAsin(x)图象的影响

1.对函数ysin(x),xR的图象的影响

2、(0)对函数ysin(x)图象的影响

3、A(A0)对yAsin(x)的图象的影响

4、由ysinx的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法

知识点三：根据图象求解析式

形如f(x)Asin(x)B的解析式求法：

1、A,B求法：

①观察法：A代表偏离平衡位置的最大距离；B平衡位置.

ABM

②代数法：记f(x)Asin(x)B的最大值为M,最小值为m；则：，联立求解.

ABm

2

2、求法：通过观察图象，计算周期T，利用公式T，求出.

||

3、求法：

①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点(x0,B)，将第一关键点(x0,B)代入x00求解.

（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离y轴最近）

②最值代入法：通过观察图象的最高点(x1,M)（或者最低点(x2,m)）代入解析式f(x)Asin(x)B

求解.

③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点(x0,y0)代入解析式

f(x)Asin(x)B求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.

题型01利用“五点法”作函数yAsin(x)的图象

π

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数fx2sin2x在0,π

6

上的大致图像.

【答案】答案见解析

【详解】列表：

π5π2π11π

x0π

612312

πππ3π13π

2xπ2π

66226

y120201

描点，连线，画出fx在0,π上的大致图像如图：

π

【典例2】（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考开学考试）已知函数fxsin2x

6

(1)请用“五点法”画出函数fx在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；

π5π

x

36

π

2x02π

6

fx0

ππ

(2)求fx在区间,上的最大值和最小值及相应的x值.

122

【答案】(1)答案见解析；

ππ

(2)x时，fx取最小值0；x时，fx取最大值1.

123

ππ3π

【详解】（1）分别令2x0,,π,,2π，可得：

622

ππ7π5π13π

x

12312612

ππ3π

2x0π2π

622

fx01010

画出函数fx在一个周期的图像如图所示：

πππ5π

（2）因为x,，所以2x0,，

12266

ππ

所以当2x0，即x时，fx取最小值0；

612

πππ

当2x，即x时，fx取最大值1.

623

π

【典例3】（2022春·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）已知函数fxsin2x，xR．

4

(1)列表，并在所给坐标系中用五点法作出一个周期内的函数图像．

x

fx

(2)写出fx的单调区间，对称轴，对称中心．

【答案】(1)答案见解析

3πππ5π

(2)单调递增区间为：kπ,kπ，kZ，单调递减区间为：kπ,kπ，kZ，对称轴为

8888

1π1π

xkπ，kZ，对称中心为kπ,0，kZ

2828

【详解】（1）列表：

ππ3π5π7π

x

88888

ππ3π

2x0π2π

422

fx01010

描点、连线如图所示：

πππ3ππ

（2）令2kπ2x2kπ，kZ，解得kπxkπ，kZ，

24288

3ππ

从而可求得fx的单调递增区间为：kπ,kπ，kZ，

88

ππ3ππ5π

令2kπ2x2kπ，kZ，解得kπxkπ，kZ，

24288

π5π

从而可求得fx的单调递减区间为：kπ,kπ，kZ，

88

ππ1π

由2xkπ，kZ，解得xkπ，kZ，

4228

1π

可得fx的对称轴方程为xkπ，kZ，

28

π1π

令2xkπ，kZ，解得：xkπ，kZ，

428

π1π

则函数ysin2x的图象的对称中心的坐标是kπ,0，kZ．

428

π

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx2sin2x，xR．在用“五点法”作函数fx的

4

图象时，列表如下：

π

2x

4

x

fx

完成上述表格，并在坐标系中画出函数yfx在区间0,π上的图象；

【答案】填表见解析；作图见解析

【详解】由题意列出以下表格：

πππ3π7π

2x0π

44224

π3π5π7π

x0π

8888

fx202022

函数图象如图所示：

π

【变式2】（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数f(x)2sin2x.

4

(1)利用“五点法”，完成如下表格，并画出函数f(x)在一个周期上的图象；

π

2x_________________________

4

x_________________________

f(x)_________________________

2

(2)若且f()，求cos2的值.

23

【答案】(1)答案见解析

42

(2)

6

【详解】（1）

ππ3π

2x0π2π

422

π3π5π7π9π

x

88888

f(x)02020

f(x)在一个周期上的图象如图所示，

π2π1

（2）因为f()2sin(2)，解得sin(2)，

4343

π7π

因为，所以2，

2444

π

又因为sin(2)0，

4

π

所以2π，

44

ππ22

所以cos(2)1sin2(2)，

443

ππππππ2221242

所以cos2cos[(2)]cos(2)cossin(2)sin，

44444432326

42

故cos2的值为.

6

【变式3】（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知函数f(x)sin(2xπ)．

6

(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；

x

π

2x

6

f(x)

π

(2)求f(x)的单调递增区间．

6

【答案】(1)答案见解析

π5π

(2)[kπ,kπ]，kZ．

36

ππ3π

【详解】（1）分别令2x0，，π，，2π，可得：

622

ππ7π5π13π

x

12312612

ππ3π

2x0π2π

622

f(x)01010

画出在一个周期的图像如图所示：

πππππ

（2）f(x)sin[2(x)]sin(2x)sin(2x)，

66666

ππ3π

若求单调递增区间，需满足2kπ2x2kπ，kZ，

262

π5π

kπxkπ，kZ，

36

ππ5π

则f(x)的单调递增区间为[kπ,kπ]，kZ．

636

题型02三角函数的图象变换

π

【典例1】（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知曲线C1：y2sinx，C2：y2sin(2x)，则错误

3

的是（）

1π

A．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，

126

得到曲线C2

15π

B．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，

126

得到曲线C2

π1

C．把C向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，

132

得到曲线C2

π1

D．把C向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，

162

得到曲线C2

【答案】D

1π

【详解】对于A.C上各点横坐标缩短到原来的倍，得到y2sin2x，再向左平移个单位长度，得到

126

ππ

y2sin2x+=2sin2x+，正确；

63

15π

对于B.C上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y2sin2x，再向右平移个单位长度，得到

126

55π5ππ

y2sin2x=2sin2x=2sin2x+2π2sin2x，正确；

6333

ππ1

对于C.C1向左平移个单位长度，得到y2sinx+，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到

332

π

y2sin2x+，正确；

3

ππ1

对于D.C1向左平移个单位长度，得到y2sinx+，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到

662

π

y2sin2x+，错误.

6

故选：D

【典例2】（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）已知函数fx2sinx的图象向

π

左平移个单位长度后得到函数ysin2x3cos2x的图象，则φ的可能值为（）

6

πππ

A．0B．C．D．

6312

【答案】A

π

【详解】ysin2x3cos2x2sin2x，

3

π

函数fx2sinx的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象解析式为：

6

ππ

fx2sinx，

66

2

所以有ππ2kπkZ，

2kπkZ

63

显然只有选项A符合，

故选：A

【典例3】（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）为了得到函数gxcos2x的图象，可

π

以将函数fxcos2x的图象（）

3

ππ

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

33

ππ

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

66

【答案】D

πππ

【详解】对于A，fxcos2xcos2xπcos2xgx，A错误；

333

ππππ

对于B，fxcos2xcos2xgx，B错误；

3333

πππ2π

对于C，fxcos2xcos2xgx，C错误；

6633

πππ

对于D，fxcos2xcos2xgx，D正确.

663

故选：D.

π

【典例4】（2023春·上海嘉定·高一校考期中）把函数ycos3x的图像适当变动就可以得到ysin3x

4

图像，这种变动可以是（）

ππππ

A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移

441212

【答案】D

ππππ

【详解】ysin(3x)cos3xcos3x，ycos3xcos3x，

26412

ππ

函数ycos3x的图象向左平移可以得到ysin(3x)的图象.

412

故选：D

π

【变式1】（多选）（2023秋·山西·高二校联考阶段练习）要得到函数fxsin2x的图象，可以将函

6

π

数gxcos2x的图象（）

6

ππ

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

44

3π3π

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

44

【答案】BC

πππ2πππ

【详解】由gxcos2xsin2xsin2xsin2x，

626346

π

可知将函数gx的图象向右平移个单位长度，

4

ππππ

可得sin2xsin2xfx，即可得函数fx的图象，

4466

2ππ3π

又由函数gx的最小正周期为Tπ，可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；

244

所以选项BC正确.

πππππ

若向左平移个单位长度，可得sin2xsin2xfx，故A错误；

44466

3ππ3πππ

若向右平移个单位长度，可得sin2xsin2xfx，故D错误；

44466

故选：BC.

π

【变式2】（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）为了得到函数fxsin2x的图象，

4

只需将函数gxcos2x的图象向右平移个单位长度．

3π

【答案】(答案不唯一).

8

π3π

【详解】gxcos2xsin2x图象向右平移kπ,kZ个单位长度，

28

3ππ3πππ

可得到ysin2xkπsin2x2kπsin2x的图象.

82424

3π

当k0时，函数gxcos2x的图象向右平移个单位长度．

8

3π

故答案为：(答案不唯一).

8

π

【变式3】（2023秋·湖南湘西·高二校联考阶段练习）为了得到函数ysinx的图象，只需把函数ycosx

3

的图象向（填“左、右”）平移个单位长度．

ππ11π11π

【答案】右（或左）（或2kπ，kZ中的任何一个值）（或（或2kπ，kZ中

6666

的任何一个值））

ππππ

【详解】函数ycosxsinx，而ysinxsinx，

2326

ππ

所以ycosx的图象向右平移个单位长度，或是向右平移2kπ，kZ中的任何一个值，即可得到函数

66

π

ysinx的图象.

3

3ππ3π11π

或是ycosxsinx，而ysinxsinx，

2326

11π11π

所以ycosx的图象向左平移个单位长度，或是向左平移2kπ，kZ中的任何一个值，即可得到

66

π

函数ysinx的图象.

3

ππ11π11π

故答案为：右；（或2kπ，kZ中的任何一个值）；或左；（或2kπ，kZ中的任何一

6666

个值）

题型03由yAsin(x)的图象确定其解析式(或参数值)

π

【典例1】（2023春·广东佛山·高一校考期中）已知函数fxAsinxA0,0,的部分图

2

象如图所示，为了得到函数gxAsinx的图象，只需要将yfx的图象（）

ππ

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

33

ππ

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

66

【答案】D

1πππ2π

【详解】由图像知，A2，T，Tπ，即2，

43124T

π

由图可知，2sin22，

12

ππ

2kπkZ，

62

ππ

2kπkZ，又，

32

π

，

3

ππ

fx2sin2x2sin2x，

36

π

\f(x)向右平移可得函数gxAsinx.

6

故选：D.

π

【典例2】（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数fx2sinx0,的部

2

分图象，则（）

A．2

π

B．

3

π

C．点,0是fx图象的一个对称中心

6

5π

D．fx的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数

12

【答案】ACD

15πππ

【详解】A选项，由图象可得到函数最小正周期T，故Tπ，

212122

2π

因为0，所以π，解得2，A正确；

5π5π

B选项，将,2代入解析式得2sin22，

1212

ππ

因为，解得，B错误；

23

ππππ

C选项，fx2sin2x，故f2sin0，

3633

π

故点,0是fx图象的一个对称中心，C正确；

6

5π5πππ

D选项，fx的图象向左平移个单位后得到gx2sin2x2sin2x2cos2x，

12632

因为gx2cos2x的定义域为R，且gx2cos2x2cos2xgx，

故gx2cos2x为偶函数，D正确.

故选：ACD

π

【典例3】（2023春·广东汕头·高一校考期中）已知函数fxAsinxA0,0,的部分图

2

象如图所示.

(1)求fx；

ππ

(2)将函数yfx图象向左平移个单位，得到函数ygx的图象，求gx在0,上的值域.

123

π

【答案】(1)fx2sin2x

3

(2)1,2

【详解】（1）由最大值可确定A2，

T7πππ2π

因为，所以2，

212122T

π

此时fx2sin2x，函数fx图象过点,2，

12

πππ

可得：sinφ1，从而2kπkZ，

662

ππ

结合，可得，

23

π

所以fx2sin2x.

3

ππππ

（2）由题意，gxfx2sin2x2sin2x2cos2x，

121232

π2π1

当x0,时，2x0,，则有cos2x,1，

332

π

所以gx在区间0,上的值域为1,2.

3

π

【典例4】（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数f(x)Asin(x)xR,A0,0,||

2

的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的最小正周期及解析式；

ππ

(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)在区间0,上的最

62

大值和最小值.

π

【答案】(1)Tπ，fxsin2x

6

1

(2)1,.

2

【详解】（1）由图象可知yf(x)的最大值为1，最小值-1，故A1；

T2π5ππ2π

又∴2，

431244

2π2π4π

将点,1代入yf(x)，f()sin1

333

4π3ππ

∴2kπ,=2kπ，

326

ππ

∵∴

26

π

故答案为：Tπ，fxsin2x.

6

ππππ

（2）由yf(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)sin2xsin2x

6666

π

∵x0,

2

ππ5π

∴2x,

666

πππ1

∴当2x时，即x0，sin2x；

666min2

ππππ

当2x时，即x，sin2x1

6236max

1

故答案为：1,

2

【变式1】（多选）（2023春·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）如图所示的曲线为函数

π

fxAcosx（A0，0，）的部分图象，将yfx图象上的所有点的横坐标伸长到

2

3π

原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数ygx的图象，则（）

28

5π13π3π

A．函数gx在,上单调递减B．点,0为gx图象的一个对称中心

24248

π3π

C．直线x为gx图象的一条对称轴D．函数gx在,π上单调递增

44

【答案】CD

【详解】由图象知A2,

π2π

∵5π

63,

212

5π

∴f(x)的一个最低点为,2,

12

2π2π

∵f(x)的最小正周期为T0,

33

2π

∴3.

T

5π5π5π

∵f2cos32,则cos31,

121212

5ππ

∴π2kπ(kZ),即2kπ(kZ),

44

π

∵||,

2

π

∴,

4

π

∴f(x)2cos3x.

4

3π

将函数yf(x)图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得：y2cos2x的图象,再把所得曲线

24

ππ

向右平移个单位长度得：y2cos2x2sin2x，即g(x)2sin2x.

82

ππππ

由2kπ2x2kπ(kZ)得,kπxkπ(kZ),

2244

π3ππ3π

由2kπ2x2kπ(kZ)得,kπxkπ(kZ)，

2244

πππ3π

∴g(x)在kπ,kπ(kZ)上单调递增,在kπ,kπ(kZ)上单调递减，

4444

5π13π5πππ13π

∴当x,时,可知g(x)在,上单调递增,在,上单调递减，

2424244424

∴A错误；

B项，

3π3π3π

∵g2s