三年级奥数下册讲义

目录

第一讲周期问题....................................................0

周期问题练习题22

第二讲错中求解及复原问题23

错中求解练习题25

第三讲重叠问题31

重叠问题练习题31

第四讲归一问题35

归一问题练习题37

第五讲和差问题39

和差问题练习题39

第六讲和倍问题41

和倍问题练习题44

第七讲差倍问题46

差倍问题练习题50

第八讲简单的平均数问题53

平均数问题练习题57

第九讲长方形和正方形周长、面积计算60

第十讲盈亏问题...................................................63

盈亏问题练习题67

第十一讲鸡兔同笼问题69

鸡兔同笼练习题75

第十二讲行程问题76

第十三讲定义新运算78

第十四讲杂题82

总复习85

第一讲周期问题

知识点说明

周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问

题的关键是确定循环周期.

分类：1.图形中的周期问题；

2.数列中的周期问题；

3.年月日中的周期问题.

周期性问题的根本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准

变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破

口。主要方法有观察法、逆推法、经历法等。主要问题有年月日、星

期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期.确定周期后，用总量除以周

期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；

例如：1,2,1,2,1,2,…则第18个数是多少?

这个数列的周期是2,18+2=9,所以第18个数是2.

⑵如果比整数个周期多〃个，则为下个周期里的第〃个；

例如:1,2,3,1,2,3,1,2,3,…则第16个数是多少?

这个数列的周期是3,16+3=5…1,所以第16个数是1.

⑶如果不是从第一个开场循环，可以从总量里减掉不是循环的

个数后，再继续算.

例如：1,2,3,2,3,2,3,…则第16个数是多少？

这个数列从第二个数开场循环，周期是2,(16-1)+2=7…1,所以

第16个数是2.

板块一、图形中的周期问题

【例1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律

排列：

你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100

个又是什么球呢？

【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球,

1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1

个白球〃的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3(2个黑

球，1个白球〕.再看看90、100里包含有几个这样的周期，

假设正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，假设是有

整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个.因为

90+3=30,正好有30个周期，第90个是白球.1OO+3=33"T,

有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球.

【巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂

在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：

则你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？

美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在

这串珠子中共有多少个吗？

【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白〃4个珠子

组成一组，并且不断重复出现的.我们先算出102个珠子可以

这样排列成多少组，还余多少.我们可以根据排列周期判断出

最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子.因为

102+4=25…2,所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，

即为黑色.在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在

这串珠子中共有25+1=26（个）

【例2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列.

⑴第73颗是什么颜色的？

⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？

⑶第8颗红珠子及第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠

子）共有几颗珠子？

【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5

颗.73+5=14（组）……3（颗）,第73颗是第15组的第3颗，所

以是蓝色的.

⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5义9=45（颗）珠

子.第10颗黄珠子是第10组的第2颗，所以它是从头数的第

47颗.歹［J式：5x9+2=45+2=47（颗）

⑶第8颗红珠子及第11颗红珠子之间一共有14颗珠子.第8

颗红珠子及第11颗红珠子之间有完整的两组（第9、10组），

共10颗珠子,第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗.列

式：5x2+4=10+4=14（颗）.

【巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢送你〃的条

幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢送你北京欢送你北京

欢送你……〃依次排列，第28个字是什么字？

【解析】这道题是按“北京欢送你〃的规律重复排列，即5个字为一个

周期.因为28+5=5・・・3,所以28个字里含有5个周期还多3

个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第

28个字是“欢”字.

【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯

之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说，从第一盏白灯起,

每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯.则第73盏灯是什么颜

色的灯？

【解析】从第一盏白灯开场，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看

出白灯的编号依次是：

1,5,9,13,……,这些编号被4除所得的余数都是

1.73=4x18+1,即73被4除的余数是1,因此第73盏灯是

白灯.

【例3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝

灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄

灯、……这样排下去.问：

⑴第150盏灯是什么颜色？

⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯?

【解析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，

这样一个周期变化的，实际上一个周期就是5+4+1=10(盏〕

灯.150+(5+4+1)=15,150盏灯刚好15个周期,所以第150盏

应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯.

⑵如果是200盏灯,就是200+(5+4+1)=20的周期.每个周期都

有4盏蓝灯，20x4=80(盏〕前200盏彩灯中有80盏蓝灯.

【巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按

此方式反复，如果从头开场数，直到第50颗，则其中白珠有

多少颗？

【解析】50+(2+2+5)=5…5.5x2+2=12(个).

【巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分,

1个5分的顺序排列起来.

⑴最后1枚是几分硬币

⑵这200枚硬币一共价值多少钱？

【解析】⑴每个周期有3+2+1=6枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以

6,根据余数来判断

200+6=33.........2,所以最后一枚是1分硬币

⑵每个周期中6枚硬币共价值1x3+2x2+1x5=12(分〕，用这个

数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了

12x33+2=398(分〕，所以，这200枚硬币一共价值398分.

【巩固】桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元

的次序排列，一共19枚硬币.问：最后一个是多少钱的？第

十四个是多少钱的？

【解析】19+6=3-1,14+6=2…2,所以，第19枚硬币是一角的，第14枚

硬币是五角的.

【巩固】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮

流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花

最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？

【解析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内

有5+9+13=27（朵）花.因为249+27=9.....6,所以，这249朵

花中含有9个周期还余下6朵花.按花的排列规律，这6朵花

中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花.在这一个周期里，绿

花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，

红花最少.少几朵呢？有两种解法：

（方法1）249+（5+9+13）=9....6

红花有：5x9+5=50（朵】绿花有：13x9=117（朵）

红花比绿花少：117-50=67（朵）

【方法2）249+（5+9+13）=9.....6,一个周期少的：13-5=8（朵），

9x8=72（朵】，余下的6朵中还有5朵红花，所以

72-5=671朵］.

【例4】如下图，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一

组是“我，A〃，第二组是“们，B〃……

我们爱科学我们爱科学我•••

•••

⑵如果“爱，c〃代表1991年,则“科,D"代表1992年……

问2021年对应怎样的组？

【解析】（1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什

么字（字母〕，上面一行是以“我们爱科学〃五个字为一个周

期，下面一行则是以“ABCDEFG"七个字母为一个周期

62+5=12.......2,62+7=8.......6,所以第62组是“们，F”

⑵2021是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们

爱〃五个字为一个周期，下面一行则按“。麻GABC〃七个字

母为一个周期：2008-1991=17（组〕，17+5=32

17+7=2……3,所以2021年对应的组为“学，F".

【巩固】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第

一组为（新奥），第二组为（北林），则第50组是什么？

新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……

奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……

【解析】要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二

行的第50个字分别应该是什么.第一行“新北京新奥运〃是

6个字一个周期，50+6=8・-2,第50个字就是北.再看第二行

“奥林匹克运动会〃是7个字一个周期，50^7=7-1,第50

个字就是奥•把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北

奥〃

【例5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是

1米，A、B、C三点周围的阴影局部是圆形的水洼。一只小鸟

飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，

它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到

关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号

位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直

对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是

多少米？

【解析】0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次

回到0号位置！2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位

之间的距离是0米。

板块二、数列中的周期问题

【例6】小和尚在地上写了一列数：7,0,2,5,3,7,0,2,5,3-

你知道他写的第81个数是多少吗？

你能求出这81个数相加的和是多少吗？

【解析】⑴从排列上可以看出这组数按7,0,2,5,3依次重复排列，

则每个周期就有5个数.81个数则是16个周期还多1个，第

1个数是7,所以第81个数是7,81+5=167

⑵每个周期各个数之和是：7+0+2+5+3=17.再用每个周期各

数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答

案.17x16+7=279,所以，这81个数相加的和是279.

【巩固】根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17...

【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增

力口，0〜4共五个数，则可列式为：5X9+1=46,即51为第46

个数。

【例7】⑴4x4x......x4(25个4),积的个位数是几？

⑵24个2相乘，积末位数字是几？

【解析】⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4,6,4,6,4,

6,……,奇数个4相乘得数的末位数字是4,偶数个4相乘

得数的末位数是6,所以25+2=12-T,25个4相乘，积的末位

数字是4.

⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2,4,8,6,2,4,8,

6,.......,4个一组24+4=6,所以24个2相乘，积末位数字是

6.

【巩固】紧接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前

面两个数字的乘积的个位数.例如，8x9=72,在9后面写2,

9x2=18,在2后面写8……得到一串数字：…，问:这串数字

从1开场，往右数，第1999个数字是几？这1999个数字的

和是多少？

【解析】⑴……“286884〃这6个数字重复出现，周期是6.

⑵第1999个数字是:因为(1999-4)+6=332…3,所以，第1999

个数字是6.

⑶这1999个数字的和是:

【例8】12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图.

⑴从1号同学开场，顺时针传100次，手绢应在谁手中？

⑵从1号同学开场，逆时针传100次，手绢又在谁手中？

⑶从1号同学开场，先顺时针传156次，然后从那个同学开场逆时针

传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？

【解析】⑴因为一圈有12个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，

现在，从1号开场，顺时针传100次，我们先用除法求传了几

圈、还余几次.100+12=8（圈）……4（次）从1号同学顺时针传4

次正好传到5号同学手中.

⑵及第一小题的道理一样，先做除法.100+12=8（圈）……4（次）

这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中（如图）.

⑶先顺时针传156次，然后逆时针传143次，相当于顺时针传

156-143=13（次）；再顺时针传107次，及13次合并，相当于顺

时针传13+107=120（次），120+12=10（圈），手绢又回到1号同学

手中.

【巩固】8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开场，按顺时针方

向向下一个人传球.在传球的同时，按顺序报数.当报到72

时，球在几号队员手上？

【解析】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组:

72+8=9组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，

因此球应该在8号队员手上.

【巩固】如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆

圈.现在，一只红跳蚤从标有数字.的圆圈按顺时针方向跳

了1991步，落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数字.的

圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个

圆圈里.问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

【解析】解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，

就能较快找到解题的关键.此题中，不难看出这是一个及周期

性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如

此循环，周期为12.

⑴因为1991+12=16511,所以，红跳蚤跳了1991步后落到

了标有数字11的圆圈.

⑵因为1949+12=1625,所以，黑跳蚤跳了1949步后落到

了标有数字7的圆圈.

⑶所求的乘积是11x7=77.

【巩固】如右图，把1〜8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小1.

aO2

球，第一天从1号开场按顺时针方向前进329个位置，第？

6R4

二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针5

前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此

继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？

【解析】根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天

一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时

针方向前进485-329=156（个）位置.156・8=19........4,就

是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时

针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针

前进8个位置.8^4=2（个）周期，2X2=4（天），所以至少

要用4天，小球才又回到原来“1〃号位置.

【巩固】如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16

的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时

针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，

又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？

【解析】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792・

16=49-8,所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回

485+485=970个位置，由于970：16=60--10,因此这个人到

了第15（=9+16-10）号椅子.

【例9】甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端

点开场涂黑色5厘米，间隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，

这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开场留出6厘米

不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做

到底，最后木棍上没有被涂黑色局部的总长度是多少？

【解析】此题最好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1,

3,5,在31-60厘米内的是：4,2,因此60厘米一个周期：

（1+3+5+4+2）X300/60=75厘米.

【例io】右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是nOn

891,则B代表多少？+乜

【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是cC

°®0

891〃，可知任意一个小圆圈中的数和及它相隔2个小圆圈

的小圆圈中的数是一样的.

于是:B=8914-（9X9）=11.

【巩固】课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数.甲

报“1”,乙报“2〃，丙报“3〃，丁报“4〃，这样每人报

的数总比前一个人多1.问“34〃是谁报的？"71”是谁报的？

【解析】根据题意，甲从“1〃开场报数，一共报了34次.因为是4个

人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个

周期重复的.34里面有8个周期还余2次，所以“34〃应是

重复8遍以后第二个人报的，即乙报的.71+4=17…3,所以

“71〃应是第三个人报的，即丙报的.

【例1。实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格.每过7分钟，

指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早晨8点整的

时候，指针恰好从0跳到9,问：昨天晚上8点整的时候指针

指着几？

【解析】昨晚8点至今早8点，共经历60x12=720（分钟），720+7=1026,

说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后,

第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳

到“0〃位，指针共跳了102次.

由于每次跳9格，所以共跳了9x102=918（格）.每20格一圈，

918+20=4518,因此从“0〃位开场，往回倒45圈,还要倒回

18格，正是昨晚8点时指针所指处：20-18=2,因此昨晚8点

整时指针正指着2.

【巩固】有A、3、C三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是

3:4:5.每个蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒钟又开场鸣叫.最初三

个蜂鸣器同时开场鸣叫，14分钟后第二次同时开场鸣叫，此

时8蜂鸣器已是第43次鸣叫了.问：最初同时开场鸣叫后的多

少秒A及C第一次同时完毕鸣叫？

【解析】14分钟即14x60=840秒，根据题意可知在840秒内3蜂鸣器已

经鸣叫了42次，也停了42次，则3蜂鸣器每一次鸣叫加停顿

的时间为840+42=20秒，所以3蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：

20-8=12秒，则A蜂鸣器每次鸣叫持续9秒，C蜂鸣器每次鸣叫

持续15秒，

则A、C两个蜂鸣器每次鸣叫加停顿的时间分别为9+8=17秒和

15+8=23秒，

由于[17,23]=391,所以经过391秒之后A及C要第二次同时开场

鸣叫，由于在此时A及C都停顿鸣叫了8秒，所以A及C第一次

同时完毕鸣叫是在最初开场鸣叫之后的第391-8=383秒.

【例12】有一个111位数,各位数字都是1,这个数除以6,余数是几？

商的末位数字是几？

【解析】我们可以用列表的方法寻求周期.

的末位数字的周期为3(1,8,5)

因为111+3=37,所以这个数除以6后余数的末位数字是3;

因为(111-1)+3=36…2,所以这个数除以6后商的末位数字是

8.

【巩固】有一个1111位数，各位数字都是1,这个数除以6,余数

是几？商的末位数字是几?

【解析】余数出现的周期为3(1,5,3)；第1个“1〃上相对应的商

为“0〃，从第二个“1〃开场，商的末位数字的周期为3(1,

8,5),因为1111—3=370…1,所以这个数除以6后余数的末位

数字是1；因为(1111-1)+3=370,所以这个数除以6后商的末尾

数字是5.

【例13］求283—29?9的个位数字.

【解析】由128+4=32知，283的个位数及8,的个位数一样，等于6。

由29+2=14……1知，2929的个位数及夕的个位数一样，等于

9.因为6<9,在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为

16-9=7.

【巩固】算式067367+762762)义12严的得数的尾数是几？

【解析】这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：

7：7,9,3,1……，367/4=91-3,个位数是3；

2：2,4,8,6....,762/4=190-2,个位数是4；

3：3,9,7,1……,123/4=30-3,个位数是7；

因此个位数：(3+4)X7=49.

板块三、日期中的周期问题

【例14】阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星

期几？

【解析】每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至

1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用

总天数除以7,余1是星期一，余2是星期二，依次类推

365x17+366x5=8035（天），8035+7=1147〔星期）...6（天）,

所以，阳历2000年1月1日是星期六.

【巩固】1999年的元旦是星期五，则据此你知道2005年的元旦是

星期几吗？

【解析】00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365

X6+2=2192［夭）,21924-7=313-1,

2005年的元旦是星期六

【巩固】小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小

童的生日是星期几呢？

【解析】从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期

不断地重复.6月1日是星期六，则再过7天，即6月8日，

还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所

以要知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1

日后的第几天，27-1=26（天〕；因为每个星期都是7天，也

就是周期为7,所以26+7=3（星期〕…5（天）.这样，从6

月1日开场经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天

再过5天就是星期四.

【巩固】今天是星期三，则从明天起第365天是星期几？

【解析】题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的

第365天”.

365+7=52（星期）（天〕，所以，从明天起，到第365天是

星期三.

【巩固】2002年的6月1日是星期六，则这一年的10月1日是星

期几呢？

【解析】我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天，然后按照

7天为一个周期，运用周期变化规律解答.由于6月1日及10

月1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么

月？一共有多少天？因为6月有30天，7月有31天，8月有

31天,9月有30天，所以6月1日到10月1日要经过的天数:

30+31+31+30+1=123（天〕，123+7=17…4,这个周期从周六开

场，则第4天正好是星期二.

【巩固】2021年3月3号是星期一，算一算2021年8月8号奥运

会开幕是星期几？

【解析】首先我们应该算出2021年3月3号到8月8号一共有多少天,

（31-2）+30+31+30+31+8=159（天〕.按照7天为一个周期，

159+7=22…5,这个周期的第一天是星期一，则第五天就应该

是星期五，所以2021年8月8号奥运会开幕是星期五.

【巩固】2021年的“六•一〃儿童节是星期日，2021年的“十•一〃

是星期几？

【解析】30+31+31+30+1=123（天）123+7=17…4,这个周期从周日开场，

则第4天正好是星期三.

【巩固】1998年元旦是星期五，1999年元旦是星期几？2000年元

旦是星期几？2001年元旦是星期几?

【解析】1998年是平年，1998年元旦到1999年元旦共365

天.365+7=52.1,即1998年元旦到1999年元旦要经过52

个星期又1天，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星

期五,再经过1天便是星期六，因此1999年元旦是星期六.1999

年元旦到2000年元旦也是365天，也要经过52周又1天，故

2000年元旦是星期日.因为2000年是闰年，2月份有29天，

故2000年元旦到2001年元旦共366天，366+7=522,2000

年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天便是星期

二,即2001年元旦是星期二.

【巩固】图中是2002年5月份日历表.⑴该月8号是星期几？⑵该

年6月1日是星期几？该年10月1日是星期几？⑶2004年5

月1日是星期几

【解析】一个星期有7天，因此7天为一个周期.从表中我们可以看出

1号〜7号是一个周期，1号是第一个循环的第一天，7号是

第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天

数时为了方便,我们可以采取“算头不算尾〃或“算尾不算头〃

的方法.在算该年6月1日、10月1日、2004年5月1日是

星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不

要忘记2004年是闰年，共有366天.

⑴该月的8号是星期三.

(2)从5月1日至月31日共31天，31+7=43,所以6月1

日是星期六.从5月1日到9月30日共153天.153+7=216,

所以10月I日是星期二.

⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731

天.731+7=1043,所以2004年5月1日是星期六.

【例15】小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做

好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶.方方第一次取奶是星

期一，贝U,他第100次取奶是星期几？

【解析】21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每

取7次奶为一个周期.IOO+7=14-2,所以方方第100次取奶

是星期四.

【巩固】甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.

甲第30次义诊是星期三，则当丙首次在周日义诊时，丁医生

已经下乡义诊几次了？

【解析】甲第30次义诊是在总次数的第4X29+1=117（次〕，117+

7=16……5,从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时

间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、

五、二.丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是

丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5

次.

【例16】在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数（双数），则这个

月的5日是星期几？

【解析】一个星期有7天，注意7是奇数（单数），所以任意两个相继星

期天的日数奇偶性不同.于是在每个月从1日到28日这28天

中，有28+7=4个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数,

从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日.由此可以推

知，这个月的第1个星期天是30-4x7=2日，则，5日为星期三.

所以这个月的5日是星期三.

【巩固】某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天

数比星期日的天数多，则这个月的5号是星期几？

【解析】这道题外表看无从下手.实际上此题暗藏着一个重要条件：在

一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5,根据这个

知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是

4天，用列表法可以得到答案.

所以这个月的5号是星期五.

【巩固】一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星

期日的月份最多有几个月

【解析】1月1日是星期日，全年就有53个星期日。每月至少有4个

星期日，53-4X12=5,多出5个星期日，在5个月中.即最多

有5个月有5个星期日.

削值4溟局缭列

练习1.★OOO^OOO^OOO……这样的一排图形中第87

个是什么图形，在87个图形中一共有多少个五角星？

【解析】87+(2+3)=17…2.第87个图形是圆形.17x2+1=35(个).

练习2.流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3

个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、

2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜

色？

【解析】小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白"，也

就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白〃循环一次，给小

木球涂色的一个周期是5+4+3+2+1=15,因此只要用2003除以

15,

2003+15=133…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出

现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄

色.

练习3.如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边

第一个数是几？

【解析】每7个数，分成两行一个周期，99+2=49……1,第98行中最

大的那个数为：(49X7-1)X2=684,所以第99行从左到右

的数依次为：686、688、690,第99行右边第一个数是690

练习4.1999名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某

名同学报的数是一位数，则后一个同学就要报出这个数及9

的和；如果某名同学报的数是两位数，则后一个同学就要报出

这个数的个位数及6的和。现让第一个同学报1,则最后一名

同学报的数是()。

【解析】列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、…

可以看出除去第一个数之外后面每四个数一循环，所以

[1999-1)4-4=499-2,则最后一名同学报的数是6。

目业腥周

测试1、黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下列图。这串珠子

中，最后一颗珠子应该是色的，这种颜色的珠子在这串中共有

_____颗.

【解析】观察图形可知从第二个珠子开场每隔3个出现一个黑色的，即

4个一循环。所以：（101—1）;4=25,判定最后一个为黑色,

共有25颗。

测试2、按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什

么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？

【解析】从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为100+6=16…4,

所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是

黑色的.每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48

个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一

共有16x3+3=51个.

测试3、某个早晨,容器中有200个细菌，白天有光照,容器中的细菌

将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白

天,容器中的细菌全部死亡！

【解析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.一昼夜

细菌减少65-40=25个，200+25=8天，该解法有误.第6天

的时候剩余细菌:200-25X6=50,则第7天就可.

测试4、同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了

个好方法，大家排成一排1〜2报数，报2的同学再1〜2报数，这样

依次进展下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，

最先玩的同学是这一列中的第几个？

【解析】第一次1〜2报数，报2的是第2,4,6,8,10,12这几个同

学，这些同学再1〜2报数，报2的是第4,8,12这三名同学,

最后这三名同学再1〜2报数，就只剩下第8个同学是报2,

所以最先玩的这个同学是这列中的第8个.

周期问题练习题

1、节日里校门口马路边上插着一排彩旗，彩旗按四面红色、三面

黄色、两面绿色一面白色的规律排列（如下列图）。问：第35面旗

子是什么颜色？第90面旗子是什么颜色？

2、有一串白珠子和黑珠子按下列图的形式排列。问：第27颗珠子

是什么颜色？第78颗珠子是什么颜色？

3、把99面小红旗按下列图排列出来，问：其中有几面深色旗？

最后一面试深色还是白色？

4、灯光夜市在街道上挂的小彩色珠子是按5个红、4个白、3个

绿、2个紫、1个白色排列的。问：第1686个是什么颜色的灯珠？第

2021个呢？

5、甲、乙、丙、丁四人玩踢健子游戏，规则是每人踢健子的个数总

比前面1个人多1个，即甲1个，乙2个，丙3个，丁4个，甲5个,

乙6个……问：踢第37个超子的是谁？踢83世子的是谁？

6、2021名战士按下面的方法排列成5歹U：

问：1000名战士在哪一列，最后一名战士站第几列？

7、学校大楼面前摆了一排花盆，每两盆月季花之间摆3盆杜鹃花,

一共摆了126盆。如果第一盆是月季花，则共摆了多少盆杜鹃花？

8、有一个数列3,7,1,7,7,9,3,7,……从第三个数起每个数都是

前两个数乘积的个位数字。问：［1）这个数列的第2021个数是几？

（2）这个数列前326个数的和是多少？

9、有一列数97835497835497...问:⑴第88个数是几?⑵

第327个数是几？（3）这327个数的和是多少？

第二讲错中求解及复原问题

一、本讲知识点和能力目标

1、知识点：倒推

2、知识目标：让学生学会从错误入手，找到正确结果的方法一一倒

推法。

3、能力目标：提高运用倒推法解决问题的能力。

二、教学方法

尝试法和启发式

三、本讲内容安排

第一课时错中求解的意义、加减乘除的变化规律以及加减法的

根本类型。

第二课时错中求解的乘除法根本类型的学习。

第三课时比拟复杂的错中求解问题的学习。

第四课时独立练习

四、课外延伸、知识拓展

抽屉问题难题的涉略。

五、需要理解和记忆的知识

1、什么是错中求解？

在进展加、减、乘、除计算时，一定要认真审题，仔细计

算。如果粗心大意，常常会把算式中的数字抄错或把运算符号

看错，这样都会使结果错，在这一讲中，以同学们平时计算中

的错题为例，介绍如何从错误入手，找到正确结果的方法。

2、加法的变化规律

（1）在加法里，一个加数增加一个数，另一个加数不变，和就随着

增加（或减少）这个数。

（2）在加法里，一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的数，

和不变。

3、减法的变化规律

（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，则它们的差也

增加（或减少）同一个数。

（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，则它们的差反

而减少（或增加）同一个数。

（3）如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，则它们的差不

变。

4、积的变化规律

（1）一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或

缩小）一样的倍数。

(2)一个乘数扩大假设干倍，另一个乘数扩大假设干倍，积就扩大

它们积的倍数

5、商的变化规律

(1)商不变的性质在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小一样的

倍数(零除外)，商不变。

(2)在除法中，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也扩大或缩

小一样的倍数。

(3)在除法中，被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或

扩大一样的倍数。

错中求解练习题

一、填空

1、小明是个小马虎，一道4乘一个数让他看成加一个数，结果得

24,正确的结果是(〕。

2、小玲在计算一道加法算式时，把一个加数63错看成了36,结

果得到的和为132,正确的和是(1。

二、解决问题

1、小粗心在计算一道减法算式时，把减数35错写成53,得到的差

为297,正确的差是多少？

2、小马虎在计算一道题目时，把某数乘5加30,误看成某数除以5

减30,得数是80,这个数是多少？正确的得数是多少？

3、两个数的和是94,有人计算时将其中的一个加数个位上的0漏掉

了，结果算出的和是31。求这个数。

4、小华在计算两个数相加时，把第一个数百位上的7错写成1,把

第二位加数十位上的6错写成9,这样算得的和是443。正确的的和

应是多少？

5、甲、乙两学生同算两数之和，甲得685,计算正确，乙得460,计

算错误，乙所以算错的原因是将其中的一个加数末尾的0漏掉了。两

个加数各是多少？

6、陈程做题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3写成8,把十

位上的0错写成6,这样算得的差是199,正确的差是多少？

【要点】合理运用倒推法

1、两个数的和是131,明明计算时将其中一个加数个位上的0漏

掉了，结果算出的和是77。求这两个数各是多少？

2、明明在做减法题时，把被减数十位上的6错看成9了，结果得到

的差是132,正确的差是多少呢？

3、两个数的和是13L明明计算时将其中一个加数个位上的0漏掉

了，结果算出的和是77。求这两个数各是多少？

4、甲、乙两人计算同一道加法，甲得585,计算对，乙得360,计算

错。乙发现自己错在把其中一个加数个位上的“0〃漏写了。你能算

出原来两个加数吗?

5、小聪在计算一道减法题时，把被减数5023错写成5032,把减数

千位上的3错写成2,十位上的5错写成8,这样得到的差是2352。

正确的差应是多少？

6、张明做两位数乘两位数的题时，把第二个因数的个位数4错当做

1,乘得的结果是525,实际应为600,这两个数各是多少？

7、小冬计算除法，把除数末尾的“0〃漏了,结果得到的商是700,

正确的商是多少？

8、小明在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173,这样商

比原来多了3。而余数正好一样，请你算算这道题的除数和余数各是

多少？

【要点】需要整体分析

1、一个数乘以4,小华把乘号误当成加号，得到的结果是20,正确

的积应该是多少？

2、方方和圆圆各用一个数去除同一个被除数，方方用12去除，除得

的商是32还余6,圆圆用15去除，圆圆计算的结果是多少？

3、王刚在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117,结果商

比原来少3,但余数恰好一样，这题的除数和余数各是多少？

4、小红在计算除法时，把除数530末尾的0漏掉了，结果商是40,

正确的商是多少？

5、有五个数的平均数是7,小丽把其中的一个数错看成为9后，求

得这五个数的平均数为8。看错的那个数原来是多少？

6、李度在做一道乘加混合运算（4+口〕X15时，错抄成了4+口><

15o这样，他算的结果及正确的结果相差多少？

7、小英在计算一道除法题时，把除数36错写成了63,结果得到的

商是13,还余9。正确的商应该是多少？

8、吴翼锋在计算有余数的除法时，把被除数268错写成了208o结

果商比原来

9、有六个数的平均数是14,小凯把其中的一个数错看成42后，求

得这六个数的平均数为17。看错的那个数原来是多少？

10、一个学生做两位数乘法时，把一个大数的个位数5误写成3,

得出的乘积是552,另一个学生却把这个5误写成8,得出的乘积是

672,正确的乘积是多少？

n、小强在计算计算题（1800一口〕:25+192时，没有注意题里的

括号，先用口里的数除以25,然后按加减运算的顺序计算，得1968。

这道题应该是多少？

12、王小红在计算一道除数是三位数的除法算式时，由于漏写除数十

位上的0,而写成18,结果得到商是234,这道题的正确的商是多少？

13、错把除数65写成56,结果得到商是13,还余52,正确的商应

是多少？

14、甲乙两学生同算两数之和，甲得685,计算正确；乙得460,计

算错误，乙所以算错的原因是将其中一加数末尾的0漏掉了，两个加

数各是多少？

15、小军做题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3写成8,把千

位上的0错写成6,这样算得的差是199,正确的差是多少？

16、明明做两为数乘两位数的题时，把乘数个位上的4错当作1,

乘得的结果是525,实际应为600,这两个两位数各是多少？

17、小明在计算除法时，把除数540末尾的'0,漏写了,结果得到

的商是60。正确的商应该是多少？

18、一个数乘以4,小华把乘号误当成加号，得带的结果是20,正确

的积应该是多少？

19、被减数，减数，差相加得2076,被减数是多少？

20、小利在计算除法时，把除数24抄成了42,结果是56,正确的商

是多少？

21、小华做一道加法时，把千位上的6看成9,把十位上的3看成8,

结果得到的和是12000,正确的和是多少？

22、小杰做题时，因为粗心，把被减数百位上的3写成4,个位上的

9错写成6,这样算得的差是2395,正确的差应是多少？

23、小明在计算除法时，把除数540末尾的“0〃漏写了，结果是60,

正确的商应是多少？

24、小明在计算有余数除法时，把被除数137看成173,结果商比原

来多2,而余数没变，请你算出这道题的除数、商和余数。

25、小虎子在计算有余数除法时，把被除数1712抄成1172,结果商

比原来少90,但余数没变，求这道除法算式中的除数和余数。

26、甲、乙两人计算同一道加法，甲得585,计算对，乙得360,计

算错。乙发现自己错在把其中一个加数个位上的“0〃漏写了。你能

算出原来两个加数吗？

27、毛毛做两位数乘两位数时，由于粗心，把一个因数个位上的8当

做6,乘得结果是3496,正确的结果是3648。这两个因数各是多少？

第三讲重叠问题

重叠问题练习题

1、同学们排队做操，从前数丁丁是第6个，从后数他排在第8个，

这一队一共有多少个同学？

2、同学们排队做操，从前数小王是第8个，从后来数小王是第9个,

这一队一共有多少个同学？

3、同学们排队，从前数小明是第9个，从后数乐乐是第7个，小明

和乐乐中间还有5个人，这一队可能是多少个同学？还可能是多少个

同学？

4、为庆祝“六一〃，同学们排成每行人数相等的鲜花队，小华的位

置是从左边是第2个，从右边是第4个，从前数是第3个，从后面数

是第5个，鲜花队有多少人？

5、三（4）班排成每行人数一样的队伍参加学校运动会，梅梅位置

从前数是第6个，从后数是第4个，从左边、从右边数都是第3个，

三（4）班共有多少人？

6、小朋友排成方阵跳集体舞，笑笑不管从前数，从后数，还是从左

数、从右数，都是第5个，这个方阵中一共有多少个小朋友？

7、有两块木板，一块长80cm,另一块长70cm,把它们钉在一起，中

间重叠的局部是10cm,这块钉在一起的木板全长多少厘米？

8、小张把两根长20cm的彩色纸条粘贴成一根长纸条，黏贴局部长

3cm,贴好后的长纸条长多少厘米？

9、王师傅把两根木条钉成一根长木条，这两根木条，一根长50cm,

另一根比第一根短10cm,钉成的木条重