湘豫名校联考2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（含答案）

2024—2025学年高三春季学期第三次模拟考试注意事项：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,若z∈R,则a的值是2.已知全集U={0,1,2,3},B={n∈N*|A?≤6},则CuB=A.{0}B.{1}C.{0,1}3.已知两个变量x和y之间具有线性相关关系.老师要求甲、乙两名同学在课下各自独立地通过试验求出其经验回归方程.甲同学做了15次试验，乙同学做了12.次试验，求得经验回归直线分别为l₁和l₂.老师在审核两名同学的试验数据时发现：两人对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t.则下列说法正确的是A.l和l₂必定重合B.L₁与l₂必定平行C.L₁和l₂一定有公共点(s,t)D.l₁与l2相交，但交点不一定是(s,t)数学试题第1页(共6页)4.已知点(m,n)是函数y=x-¹在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为A.45.如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是6.过点P(0,2)作一直线l与抛物线C:x²=2py(p>0)交于M,N两点，若抛物线C在M,N两点处的切线交于点Q,且点Q满足IM+QN|=|M-7.已知△ABC的内角A,B,C满足tanA+tanB—tan(A+B)=2tanAtanB,8.已知函数,则下列关于函数f(x)的极A.既没有极大值点也没有极小值点B.既有极大值点也有极小值点C.有且只有一个极小值点D.有且只有一个极大值点二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的9.已知在平面直角坐标系中，曲线)的离心率为直线4x+y-2=0在某一坐标轴上的截距，则k的值可能是A.57数学试题第2页(共6页)10.已知函数,g(x)=exlnx,则下列选项正确的是A.f(x)为偶函数C.曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线斜率为一2D.Vx∈(0,+∞),不等式f(x)+g(x)>1.8恒成立11.如图，两个边长均为1的正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面互相垂直.点M,N分别是对角线AC,BF上的动点，且CM,BN的长度相等，记CM=BN=a(0<a≤√2),点P是线段MN上的一点.下列结论正确的是B.MN的最小值是C.三棱锥C-PBE与三棱锥B-MCE的体积相等D.若点A,B,C,D,E,F在同一个球的球面上，则该球的体积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数f(x)=√3sin(x+θ)+cos(x+θ)是奇函数，则函数y=|f(x)|在13.已知a₁,a₂,a₃是公差为d的等差数列，b₁,b₂,b₃,b、是公比为q的等比数列，如果b₁≤a₁≤b₂≤a₂≤b₃≤a₃≤b₄,且d=b₁=1,那么q的最小值14.已知函数f(x)=e,g(x)=lnx,函数的图象与曲线y=f(x)交于点A,B,与曲线y=g(x)交于点C,D,点A在第一象限，且A,B,C,D四点顺次呈逆时针排列，则直线AC的斜率与直线BD的斜率的乘积为数学试题第3页(共6页)步骤.15.(本小题满分13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求B;(2)若c=√2,角A的平分线交BC于点D,且AD=√3,求b.16.(本小题满分15分)(2)平面APQ与平面ABCD的交线记为直线l,点N为直线l上一动点，求直线MN与平面APQ所成角的范围.17.(本小题满分15分)学们不得再随意走动或进出).通过连续10周的统计，得到如下数据(各讲座间是否满座互不影响):古诗词鉴赏红楼梦中主三国演义中的计谋古代文明的起源历史与现实58755把统计得到的频率看作概率，解答下列问题.座中，在某周三满座的讲座个数设为ξ,求ξ的分布列和数学期望.(2)连续统计的10周中，以第1～5周和第6～10周各为一个统计单元，如果在一个统计单元中，某一讲座有4次或4次以上满座，就在该统计单元的最后一周的周末邀请相关专家来校开设该主题的专家讲座一次.在下一个连续10周中的两个统计单元中，(i)求“古代文明的起源”这个讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率；座的概率.18.(本小题满分17分)已知椭圆C₁的左、右顶点分别为A₁,A₂,双曲线(a>0,b>0)以椭圆C₁的长轴为实轴，C₂的渐近线方程为3x±5y=0.(1)求双曲线C₂的标准方程；(2)在第二象限内取椭圆C₁上的一点M,连接A₂M并延长，与双曲线C₂交于另一点P,连接PA₁并延长，交椭圆C₁于另一点N,若A₂M=MP,求四边形A₁NA₂M的面积；(3)在(2)的条件下，从直线A₁P上取两个不同的点K,L,使得△A₂KL的面积为45,问：∠KA₂L的正切值是否存在最大值?若存在，请求出最19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x—mlnx—1(m∈R),及一个如下所示的n行n列的数阵第1列第2列第3列…第j列…第n列1其中ai,;(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)表示第i行第j列的数.在该数阵中，第1列的数从上到下组成公差d=1的等差数列；第1行的数，对a1.1加上1后，得到的数列a1,1+1,a1,2,a1,3,…,a₁,j,…,a₁,列.已知aj,1=m,aij=ai,j-1+ai-1.;(其中i=2,3,…,n;j=2,3,…,n),且(1)求实数m的值；(2)记第2行的数从左到右组成的数列为{cn},第1列各数的和为Sπ.(i)求数列{cn}的通项公式；2024—2025学年高三春季学期第三次模拟考试数学参考答案题号123456789BCCABADD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B【试题立意】本题主要考查复数的有关概念及学生的计算能力.2.C【试题立意】本题主要考查排列数、一元二次不等式的解法及集合的基本运算，主要考查学生的计算能力.4.A【试题立意】本题以幂函数和基本不等式为载体，主要考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】由已知，得,且m>0,n>0,所以,当且仅当,即n=5.B【试题立意】本题主要考查条件概率的基本知识和学生分析问题、解决问题的能力.【解析】设事件A=“选出的三点能构成三角形”,B=“选出的三点构成的三角形不是等边三角形”,则有n(A)=C³-3=32,n(AB)=C-3-6-2=24.所以，在选出的三点能构成三角形的条件下，构成的三角形不是等边6.A【试题立意】本题主要考查抛物线、向量的基础知识和导数的几何意义，着重考查学生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【解析】设直线l:y=kx+2,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),将直线l的方程代入抛物线C的方程，得x²—2pkx-4p=,所以p=4.故选A.问题、解决问题的能力.【解析】因为A+B+C=π,所以tanA+tanB—tan(A+B)=tan(A+B)(1—tanAtanB)—tan(A+B)=—tanC(1—tanAtanB)+tanC=—tan..8.D【试题立意】本题以三角恒等变换及导数为载体，通过探求函数的极值点，着重考查学生的计算能力、分析所以sinx>0.所以f(x)x十0单调递增单调递减项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABD【试题立意】本题以椭圆、双曲线的基础知识为载体，重点考查学生的计算能力、分析问题的能力及分率,则该曲线为椭圆，k<9.当a²=16时，b²=9—k,c²=a²—b²=k+7>0,所以10.ACD【命题意图】本题以函数与导函数为载体，考查导函数的几何意义，基本不等式.【解析】由题得f(x)=f(一x),所以f(x)为偶函数，A正确.令,当x∈(0,1)上上单调递增，所以1.又,所以f(x)+g(x)≥2√2-1>1.8,D正确.故选ACD.11.BCD【试题立意】本题是《选择性必修第一册》44页18题的引申，目的是引导学生重视对课本基础知识的掌握；本题通过对异面直线上两点距离及最小值、锥体体积及外接球等知识的考查，重点考查学生的计算能力、分析问题的能力、逻辑推理能力和空间想象能力.【解析】如图，在平面ABCD内，作MQ⊥AB于点Q,连接NQ.因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所所以MQ⊥NQ,所以△MNQ为直角三角形.又CM=BN=a(0<a≤√2),所以,所以当V三设修M-BCE,由MN//平面B把图形补成正方体，可知过A,B,C,D,E,F六点的球即为该正方体的外接球，其半径为,所以该球的体积正确.故选BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.√3【试题立意】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质等基础知识，重点考查学生的计算能力以及利用数形结合的思想来分析问题、解决问题的能力..由f(x)是奇函数，知),所以f(x)=±2sinx.易知y=|f(x)|=2|sinx|是偶函数且y=If(x)|在上单调递减，在上单调递增.,所以y=|f(x)|在上的最大值是√3.数学参考答案第3页(共11页)数学参考答案第4页(共11页)13.³3【试题立意】本题通过对等差数列、等比数列知识的综合考查，重点考查学生综合利用基础知识分析问题、解决问题的能力.国为本9的最小值，所以只露考虑a₁=1时取等号.又(√2)⁶—(³3)⁶=8-9<0,即(√2)⁶<(√3)⁶,即√2<³3,所以q≥14.1【试题立意】本题利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称这一性质，来考查学生对基础知识掌握的熟练程度，综合利用基础知识分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力.【解析】函数f(x)=e与g(x)=Inx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，函.1的图象是由函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以其图象也B(x₂,y₂),C(xs,ys),D(x则有x₁=y₄,x:=y₁,x₂=y₃,x₃=y₂,四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【试题立意】本题考查三角函数、正弦定理、余弦定理等有关知识，并以此为载体考查学生的计算能力和分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)对等式两边平方，.………1分解得.………………3分又-,所以…………………5分(2)方法一：如图，在△ABD中，由正弦定理得……………………9分由余弦定理得,………………12分所以b=√6.…………………13方法二：如图，在△ABD中，由正弦定理所以……………………7分所14所以……………………12分解得b=√6.…………16.【试题立意】本题主要考查空间线面关系、线面角及空间向量的有关知识，并以此为载体考查学生的计算能力、空间想象能力、分析问题的能力和逻辑推理能力.【解析】(1)在长方体ABCD-EFGH中，CD⊥平面ADHE又AD=2,点P为MD的中点，所以AP⊥MD4分中点，数学参考答案第5页(共11页)则即令xo=1,可求得平面APQ的一个法向量为n=(1,0,√3)…………又由PQ//CD,CDC平面ABCD,所以PQ//平面ABCD.又由平面APQN平面ABCD=L,知PQ//L,所以AN//PQ.……………………12分设直线MN与平面APQ所成的角为θ,则当λ=0,即点N与点A重合时取等号.又,所以故直线MN与平面APQ所成角的范围是……………15分方法二：由题图易得平面APQN平面ABCD=AB.即直线l即为直线AB……7分因为点P,Q分别是线段MD,MC的中点，所以PQ//CD,所以PQ⊥MD.所以MN与平面APQ所成的角和MN与MD所成的角互余…………………10分当MN最短，即MN⊥AB时，∠NMD最小，即MN与平面APQ所成的角最大，此时点A与点N重合……………………12分由(1)知AM=2,又MD=2,所以AD=AM=MD=2.所以,所以MN与平面APQ所成的最大角为当MN无限长时，MN与MD所成的角无限接近于所以MN与平面APQ所成的角无限接近于0.…………………14分故直线MN与平面APQ所成的角的范围是17.【试题立意】本题考查古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率计算公式及二项分布的有关知识，着重考查学生的计算能力、分析问题及解决实际问题的能力.【解析】(1)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.因为“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”这三个讲座满座的概率分别为数学参考答案第6页(共11页)所以P(ξ=1)=2×(1-告)×(1-0)+(1-2)×4×(1-36)+(1-2)×(1-4)×10=50,所以ξ的分布列为4分ξ0123Pξ的数学期望为……………6分(2)(i)由题知“古代文明的起源”这个讲座每次满座的概率为.…………7分所以该讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率为.………………9分(ii)在下一个连续10周中的两个统计单元中，“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座，则“古代文明的起源”开设2次，“历史与现实”开设1次，或者“古代文明的起源”开设1次，“历史与现实”开设2次.因为“历史与现实”每次满座的概率为所以由(2)(i)知“古代文明的起源”“历史与现实”每个讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率均为……………………………方法一：这两个讲座每个讲座开设2次专家讲座的概率为,…………………11分开设1次专家讲座的概率为因此，在下一个连续10周中的两个统计单元中，“古代文明的起源”开设2次专家讲座，“历史与现实”开设1次专家讲座的概率为……………13分同理，在下一个连续10周中的两个统计单元中，“古代文明的起源”开设1次专家讲座，“历史与现实”开设2次专家讲座的概率也为.…………………14分所以，“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座的概率为………………15分方法二：“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座的概率为18.【试题立意】本题主要考查椭圆、双曲线、平面向量等有关知识，并以此为载体考查学生对基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用基础知识来分析问题、解决问题的能力和计算能力.【解析】(1)因为A₁,A₂是椭圆C:的左、右顶点，所以A₁(-5,0),A₂(5,0).…………………1分又双曲线C₂:)以椭圆的长轴为实轴，所以a=5.…………………2分由双曲线C₂的渐近线方程为3x±5y=0,知·,所以b=3.……………所以双曲线C₂的标准方程为…………………4分 因为A₂(5,0),所以P点坐标为(2x。—5,2y。).……………5分将点M,P的坐标分别代入椭圆C₁和双曲线C₂的方程，得所以,由此可得P(-10,3√3).…………………8分又A₁(一5,0),可知直线PA的方程是),即(3)由(2)知，直线A₁P的方程是,即3√3x+5y+15√3=0,数学参考答案第8页(共11页)以KL为弦作圆，当点A₂位于以KL为弦的圆的最高点(以KL为参考线)时，∠KA₂L可取到最大值，此时A₂G⊥KL,A₂K=A₂L.………………15分因为,所以∠KA₂……………………17分方法二：设∠KA₂L为θ,又方法二：设∠KA₂L由余弦定理可得，在△KA₂L中KL²=A₂K²+A₂L²—2A₂K·A₂Lcosθ,又KL²≥2A₂K·A₂L—2A₂K·A₂Lcosθ=2A₂K·A₂L(1—cos所以,整理…………………15分所以,当且仅当A₂K=A₂L时等号成立.19.【试题立意】本题考查函数与导数、数列等有关知识，是函数与数列知识的交汇题目；并以此为载体考查学生的计算能力、分析问题的能力、逻辑推理