相交线教案教案

相交线授课类型T-了解相交线、邻补角的概念C-理解对顶角的概念和性质T-掌握各种角星级★★★★★★★★★教学目标从位置关系及数量关系认识邻补角、对顶角，掌握对顶角的性质；理解两条直线垂直的位置关系，掌握垂线的相关性质；学会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；理解点到直线的距离并会度量；会识别同位角、内错角、同旁内角；会用数学语言描述图形的位置关系5.学会用本节知识解释生活中的一些现象，并能解决简单的实际问题授课日期及时段教学内容Ⅰ.课堂导入＜建议用时5分钟！＞Ⅰ.课堂导入下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线。“米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等。相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。Ⅱ.同步讲解Ⅱ.同步讲解一、要点提纲：知识点一、相交线、邻补角的概念下面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？1BB21BB23BB4OBBBACBBDBBBB两条直线相交，如图。BB相交：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交。BB上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即:BB∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？可分为两类：∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是1800；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等。第一类角有什么共同的特征？一条边公共，另一条边互为反向延长线。思考：下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔〕1212121212ABCD邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。如图∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1都是邻补角。注意：（1）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角；（2）两条直线相交所构成的四个角中，有四对邻补角。讨论：邻补角与补角有什么关系？邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。第二类角有什么共同的特征?知识点二、对顶角的概念及其性质有公共的顶点，两边互为反向延长线。具有这种位置关系的角，互为对顶角。注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。对顶角的性质在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？为了回答这个问题，我们先来研究下面的问题。如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠1和∠3有什么关系？为什么？1BB1BB23BB4OBBBACBBDBB∠1和∠3相等。∵∠1＋∠2＝1800，∠2＋∠3＝1800、∴∠1＝∠3（同角的补角相等）同理∠2和∠4相等。这就是说：对顶角相等。你能利用这个性质回答上面的问题吗？因为剪刀的构造可以看成两条相交的直线，所以两个把手之间的角与剪刀刃之间的角互为对顶角，由于对顶角相等，因此，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角始终相等。注意：（1）判断两角是否是对顶角，要抓住它们的特征：①有公共顶点，②两个角的两边互为反向延长线；对顶角是成对出现的，是具有特殊位置关系的两个角；互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角。例题如图，直线a、b相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数。1BB21BB23BB4OBBBACBBDBB分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？解：∵∠1＋∠2＝1800，∴∠2＝1800—∠1＝1800—400＝1400.∠3＝∠1＝400，∠4＝∠2＝1400.练习：1、一个角的对顶角有个，邻补角最多有个，而补角则可以有个。2、下图中直线AB、CD相交于O，∠BOC的对顶角是，邻补角是12A12ACBDEO知识点三、垂线的概念及其画法导入：如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a、b所成的角是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？·a·abb如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a、b所成的角是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？有，当＝900时；垂直。垂线显然，垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成900的情况。两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O。OBBBOBBBACBBDBB在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,如：〔投影2〕十字路口的两条道路方格本的横线和竖线十字路口的两条道路方格本的横线和竖线铅垂线和水平线你能再举一些其它的例子吗？思考：下面所叙述的两条直线是否垂直？①两条直线相交所成的四个角相等;②两条直线相交,有一组邻补角相等;③两条直线相交,对顶角互补.①②③都是垂直的。垂线的性质探究:.学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?由画图可知：(1)可以画无数条；(2)可以画一条；(3)可以画一条。这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即：性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。垂线的画法：两种情形：①过直线外一点画已知直线的垂线；②过直线上一点画已知直线的垂线。使用直角三角尺画图时要做到：一靠，二过，三画。具体画法如下：一“靠”：把三角尺的一条直线边靠在已知直线上；二“过”：让三角尺的另一条直角边经过已知点；三“画”：沿已知点所在的直角边画出直线。知识点四、垂线的性质及其点到直线的距离演示：在黑板上固定木条l,l外一点P,木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A。左右摆动木条a,l与a的交点A随之变动,线段PA的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短?a与l垂直时，PA最短。这时的线段PA叫做垂线段。画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……，PO⊥l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。lPlPOA2A1…A3连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短.点到直线的距离我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离。注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。课堂练习1、判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.1题图2题图2已知直线a、b,过点a上一点A作AB⊥a,交b于点B,过B作BC⊥b交a上于点C.请说出线段AE的长是哪一点到哪一条直线的距离?CD的长是哪一点到哪一条直线的距离？3、课本中水渠该怎么挖?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000,水渠大约要挖多长?知识点五、同位角、内错角、同旁内角如图，直线a、b与直线c相交，或者说，两条直线a、b被第三条直线c所截，得到八个角。我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。565687∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系？在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.具有这种位置关系的两个角叫做同位角。同位角形如字母“F”。∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点？在截线的两旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做内错角.内错角形如字母“N”。∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点？在截线的同旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.同旁内角形如字符“匚”。思考：这三类角有什么相同的地方？（1）都不相邻即不存在共公顶点；（2）有一边在同一条直线（截线）上。三、例题例如图，直线DE，BC被直线AB所截，（1）∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？为什么？（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗？为什么？31B31BD4ACE2解：（1）∠1与∠2是内错角，因为∠1与∠2在直线DE，BC之间，在截线AB的两旁；∠1与∠3是同旁内角，因为∠1与∠3在直线DE，BC之间，在截线AB的同旁；∠1与∠4是同位角，因为∠1与∠4在直线DE，BC的同方向，在截线AB的同方向。（2）如果∠1=∠4，又因为∠2=∠4，所以∠1=∠2；因为∠3+∠4=1800，又∠1=∠4，所以∠1+∠3=1800，即∠1与∠3互补。易错点一：错误理解对顶角的概念而出错例1如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1=∠2，,∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗1324易错点二：没有正确理解垂线（段）及点到直线的距离而出错例2下列判断中错误的是（）一条线段有无数条垂线B.若两条直线相交，则它们互相垂直两条直线相交所成的四个角中，若有一个角为90︒，则这两条直线互相垂直过线段AB的中点有且只有一条直线与AB垂直例3下列说法正确的是（）从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离过直线外的一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离画出已知直线外一点到已知直线的距离连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短易错点三：对同位角、内错角和同旁内角的辨别易出错例4如图所示，图中共有内错角（）EHA.2组AGBB.3组C.4组CFDD.5组题型一从复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角例1在下列图形中，∠1和∠2不是同旁内角的是（）1122AB1221CD例2如图所示，找出能用字母或数字表示的所有同位角、内错角、同旁内角DA4E12356题型二综合运用垂线与角平分线、对顶角及邻补角知识进行角度的计算D例3如图，直线AB，DC相交于点O，OECD于点O，AOOF平分∠AOE,若∠BOD=56︒，求∠COF的度数。BCFE题型三垂线的性质在实际生活中的应用例4如图，西部某地有四个村庄A、B、C、D，为了解决缺水APC问题，当地政府准备投资修建一个蓄水池，请你确定蓄水池P的BDF位置，使它到四个村庄的距离之和最小；若计划将河中的水引入蓄Q水池P中，怎样开挖可使开挖的渠道最短？并说明理由。E例5如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河C水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过C、D