第02讲 平行线（解析版）

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列相交线与平行线第02讲平行线【考点梳理】考点:1：平行线1.平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。2.平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。考点2：平行线的判定1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。考点3：平行线的性质1.两条直线平行，同位角相等。2.两条直线平行，内错角相等。3.两条直线平行，同旁内角互补。【题型归纳】题型一：平行线的判定1．（2021·湖南平江·七年级期末）下列说法中，正确的是（）A．过一点有无数条直线与已知直线平行B．同位角相等C．相等的角是对顶角D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】D【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；D、根据平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确．故选：D．【点睛】平行公理以及对顶角的定义，正确理解定理是关键．2．（2019·四川·德阳五中七年级阶段练习）下列命题中，是真命题的是()A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a//b，b//c，则a//c D．同旁内角相等，两直线平行【答案】C【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据平行线的判定对B、C、D进行判断．【详解】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以A选项错误；B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项错误；C、a∥b，b∥c，则a∥c，所以C选项正确；D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了平行公理及推论和平行线的判定及性质．3．（2020·贵州·思南县张家寨初级中学七年级期末）下列四个说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．平移不改变图形的形状和大小，但改变直线的方向C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直【答案】D【分析】根据对顶角的概念、平移的性质、平行线的性质以及垂直的概念进行判断．【详解】A.相等的角不一定是对顶角，而对顶角必定相等，故A错误；

B.平移不改变图形的形状和大小，也不改变直线的方向，故B错误；

C.两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故C错误；

D.两直线相交形成的四个角相等，则这四个角都是90°，即这两条直线互相垂直，故D正确．

故选D．【点睛】本题考查了平移的性质、对顶角、平行线以及垂直的定义，解题时注意：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．4．（2021·全国·七年级专题练习）在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A．若a∥b，b∥c则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a⊥c【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的定义，平行公理以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c正确，故本选项正确；B.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c，故本选项错误；C.在同一平面内,若a∥b，b⊥c，则a⊥c，故本选项错误；D.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c，故本选项错误．故选：A．5．（2019·山西·九年级专题练习）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a、b平行的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.【详解】解：A.∠1=∠4可以判定a，b平行，故本选项错误；

B.∠2=∠3，可以判定a，b平行，故本选项错误；

C.∠1+∠4=180°，不能判断直线a、b平行，故本选项正确；

D.∠1+∠3=180°，可以判定a，b平行，故本选项错误.

故选C.【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行.

错因分析容易题，失分原因：①未掌握补角、对顶角的性质；②未掌握平行线的判定方法.题型二：平行线的性质6．（2021·福建石狮·七年级期末）已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（）A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°【答案】D【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．【详解】解：如图1，∵a∥b，∴∠1＝∠α，∵c∥d，∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；如图（2），∵a∥b，∴∠α+∠2＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠β，∴∠β+∠α＝180°，∵∠α＝60°，∴∠β＝120°．综上，∠β＝60°或120°．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键．7．（2022·全国·七年级）一副含30°，45°角的直角三角板按如图所示放置，已知DE//BC，则∠ABE的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】由题意可得∠BED=30°，∠ABC=45°，根据平行线的性质可得∠CBE=∠BED=30°，再结合∠ABE=∠ABC-∠CBE即可求解．【详解】由题意得：∠BED=30°，∠ABC=45°，DE//BC，∠CBE=∠BED=30°，∠ABE=∠ABC-∠CBE=45°-30°=15°故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学桃园校区七年级期中）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对顶角相等得∠DFE=55°，然后利用平行线的性质，得到∠BEF=125°，即可求出的度数．【详解】解：由题意，根据对顶角相等，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的求出．9．（2021·贵州播州·八年级期末）一副三角板按如图所示放置，BC//DF，则∠ACF的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BCF的度数，再根据角的和差关系即可得到∠ACF的度数．【详解】解：∵BC//DF，∴∠BCF＝∠DFC＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝45°-30°＝15°．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2021·湖北青山·七年级期中）如图，直线，点，分别是，上的动点，点在上，，和的角平分线交于点，若，则的值为（）．A．70 B．74 C．76 D．80【答案】C【分析】先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．【详解】解：过C作CH∥MN，∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，∵∠ACB＝∠6＋∠7，∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，∵∠D＝52°，∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴m°＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m°＋52°，∴m°＋52°=128°，∴m°＝76°．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是对知识的掌握和灵活运用．题型三：平行线的综合11．（2021·河南安阳·七年级期中）如图，直线，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】记∠1顶点为A，∠2顶点为B，∠3顶点为C，过点B作BD∥l1，由平行线的性质可得∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再结合已知条件即可求出结果．【详解】如图，过点B作BD∥l1，∵，∴BD∥l1∥l2，∴∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，又∵∠2+∠3=216°，∴216°+(180°－∠1)=360°，∴∠1=36°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键．12．（2021·广东增城·七年级期末）如图，，，，则的度数为（）A．65° B．80° C．115° D．100°【答案】D【分析】判定DE//BC，然后再根据两直线平行、同旁内角互补解答即可．【详解】解：∵，∴∠1=∠B∴DE//BC∴∠2+∠C=180°∵∴∠2=180°-∠C=100°．故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意证得DE//BC是解答本题的关键．13．（2021·四川江油·七年级期中）直线，，，，则（）A．15° B．25° C．35 D．20°【答案】A【分析】分别过A、B作直线的平行线AD、BC，根据平行线的性质即可完成．【详解】分别过A、B作直线∥AD、∥BC，如图所示，则AD∥BC∵∥∴∥BC∴∠CBF=∠2∵∥AD∴∠EAD=∠1=15゜∴∠DAB=∠EAB-∠EAD=125゜-15゜=110゜∵AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180゜∴∠ABC=180゜-∠DAB=180゜-110゜=70゜∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=85゜-70゜=15゜∴∠2=15゜故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识，关键是作两条平行线．14．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．【详解】解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图：

根据题意：，，，，，，相交于点，，，故选：C．【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．15．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度数．【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，∵FDAB，CNAB，EMAB，∴ABCNEMFD∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．【双基达标】1．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）下列说法：①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同位角相等；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】【分析】根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．【详解】解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；其中正确的有④一共1个．故选择B．【点睛】本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．2．（2021·全国·七年级专题练习）若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（）．A．平行的性质 B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行． D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据平行公理的推论进行判断即可．【详解】解：直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是平行于同一直线的两条直线平行，故选：C．【点睛】本题考查了平行公理的推论，解题关键是明确平行于同一直线的两条直线平行．3．（2022·全国·七年级）下列说法正确的个数是（）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；（2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，所以只有（4）一项正确，故选：B．【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．4．（2022·广东禅城·八年级期末）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A=41°，则∠C的度数为（）A．139° B．141° C．131° D．129°【答案】A【解析】【分析】如图，根据AECF，得到∠CGB=41°，根据ABCD，即可得到∠C=139°．．【详解】解：如图，∵AECF，∴∠A=∠CGB=41°，∵ABCD，∴∠C=180°-∠CGB=139°．故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．5．（2022·吉林南关·七年级期末）如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【解析】【分析】由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，∴∠BAC=45°∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，∴∠1=75°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．6．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区教体局教研室七年级期末）现有下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若，，则；④若，的两边与的两边分别平行，则或；⑤若，，则．其中正确的是_______（填写序号）．【答案】③④【解析】【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．所以其中正确的是③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．7．（2021·全国·七年级课时练习）如图，在条件：①；②；③；④中，能判断的条件是___．【答案】①【解析】【分析】根据平行线的判定定理解答．【详解】，．（内错角相等，两直线平行）由②；③；④，都不能判断，故答案为：①．【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．8．（2022·辽宁铁西·八年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为_____．【答案】50°##50度【解析】【分析】由AB∥CD∥EF，得到∠BCD=∠ABC=125°，∠CEF+∠ECD=180°，则∠ECD=180°-∠CEF=75°，由此即可得到答案．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠BCD=∠ABC=125°，∠CEF+∠ECD=180°，∴∠ECD=180°-∠CEF=75°，∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=50°，故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．9．（2022·辽宁浑南·八年级期末）已知：如图，直线，直线MN交EF，PO于点A，B，直线HQ交EF，PO于点D，C，DG与OP交于点G，若，，．（1）求证：；（2）请直接写出的度数．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据可得，，再根据内错角相等两直线平行即可得证；（2）根据两直线平行的性质可得，从而可得，再由即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，利用数形结合的思想进行求解．10．（2021·黑龙江龙凤·七年级期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合下图，试探索这两个角的关系，并证明你的结论．（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，与的关系是_____．（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，与的关系是________________．（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，则这两个角分别是多少度？【答案】（1）；（2）；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4）这两个角分别是，或，．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质以及对顶角的性质求解即可；（3）结合已知条件以及（1）（2）的结论求解即可；（4）设其中一个角为，根据（3）的结论，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵∴又∵∴∴；故答案为（2）∵∴又∵∴又∵∴；故答案为（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．（4）解：设其中一个角为，列方程得或，故或，所以或，答：这两个角分别是，或，．【点睛】此题考查了平行线的性质，涉及了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握平行线的性质，得出结论，列方程求解即可．【高分突破】1．（2021·陕西凤翔·七年级期末）下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】本题从平行线的定义及平行公理入手，对选项逐一分析即可．【详解】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．③平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确．④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．正确的说法共3个故选：C．【点睛】本题考查平行线的定义及平行公理，正确理解概念是解题关键．2．（2020·浙江浙江·七年级阶段练习）如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）；（2）；（3）；（4），其中能判定的条件的序号是（）A．（1），（2） B．（1），（3） C．（1），（4） D．（3），（4）【答案】A【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行判断（1），由得到再利用同位角相等，两直线平行判断（2），由是邻补角，不能判定两直线平行，可判断（3），不是同位角，也不是内错角，不能判定两直线平行，可判断（4）．【详解】解：故（1）可判定；故（2）可判定；，不能判定故（3）不能判定；，不能判定故（4）不能判定．故选：【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．3．（2020·贵州·贵定县第二中学七年级期中）下列说法正确的是（）A．、、是直线，若，，则B．、、是直线，若，，则C．、、是直线，若，，则D．、、是直线，若，，则【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：根据所画图形可知：D正确．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．4．（2022·辽宁铁西·八年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（）A．62° B．58° C．52° D．48°【答案】A【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（）方向．A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°【答案】D【解析】【分析】根据方向角的概念，和平行线的性质求解．【详解】解：如图：∵AF∥DE，∴∠ABE＝∠FAB＝43°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣43°＝47°，∴C地在B地的北偏西47°的方向上．故选：D．【点睛】本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2021·全国·七年级专题练习）小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．【答案】平行【解析】【分析】根据平行线的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，进行解答即可．【详解】解：小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是：平行，故答案为：平行．【点睛】本题考查了平行线的推论，熟知平行于同一直线的两条直线互相平行是解本题的关键．7．（2021·山东梁山·七年级期中）下列命题：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④同角或等角的余角相等，其中假命题是___（填序号）．【答案】①【解析】【分析】根据对顶角的性质、垂线的性质、平行公理的推论和余角的性质，分析、判断各小题的正确与否，再作选择．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确；④同角或等角的余角相等，原说法正确．故答案为：①．【点睛】本题考查了对顶角的性质、垂线的性质、余角的性质、平行公里等知识；熟练掌握相关的性质是解题的关键．8．（2021·吉林宽城·七年级期末）如图，直线mn．若，，则的大小为_____度．【答案】70【解析】【分析】如图（见解析），过点作，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，过点作，，，，，，故答案为：70．【点睛】本题考查了平行线的性质与推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．9．（2022·吉林长春·七年级期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB则有∠BEF＝∠B∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED＝∠D∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【答案】（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；【解析】【分析】（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC=15°，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．【点睛】