福建省莆田市仙游华侨中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

福建省莆田市仙游华侨中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．下列说法正确的是（）A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．若，，则D．向量与向量的长度相等2．已知向量，，，则（）A．6 B．4 C．-6 D．-43．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．4．在中，已知，且，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形5．若向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．6．在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（

）

A．1 B．2 C．4 D．8．设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量都是单位向量，，则（

）A．= B．=C．= D．与共线10．下列结论错误的是（

）A．单位向量都相等B．，能作为平面向量的一组基底C．在边长为1的等边中，D．两个非零向量，若，则与共线且反向11．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．O为点A，B，C所在直线外一点，且，则B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C．已知向量，则在上的投影向量的坐标为D．若点G为△的外心，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量的夹角为，且，则.13．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为．14．如图所示，小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测到B岛屿在C处的正北方向，A岛屿在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为海里.

四、解答题（本大题共5小题）15．已知非零向量，满足，且，.(1)求的值；(2)设与的夹角为，求及的值.16．已知在中，A+B=3C,2sinA-C(1)求；(2)设，求边上的高．17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．18．在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；19．在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.

参考答案1．【答案】D【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.故选D.2．【答案】C【详解】因为，，，所以，，则．故选C.3．【答案】D【详解】由，得，解得，由，得，解得，所以，则.故选D.4．【答案】D【详解】由可得，又，所以，由和正弦定理可得，即，所以，所以，所以的形状为等边三角形，故选D.5．【答案】C【详解】因为向量，，所以，，所以，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选C6．【答案】A【详解】如图所示建立平面直角坐标系，设，显然，所以，由二次函数的单调性知.故选A.7．【答案】A【详解】因为是的中点，且，所以.因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选A.8．【答案】D【详解】，，，即，则，故，得，，，.故选D.9．【答案】AC【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则，所以，A对；对于B选项，在等式两边平方可得，即，则，则，所以，故，B错；对于C选项，因为，则，所以，所以，故，C对；对于D选项，，若与共线，则存在，使得，即，可得，即，这与矛盾，假设不成立，D错.故选AC.10．【答案】AC【详解】对于A，单位向量的方向不一定相同，因此“单位向量都相等”的说法错误，即A错误；对于B，显然不存在实数满足，即不共线，所以能作为平面向量的一组基底，即B正确；对于C，在边长为1的等边中，易知，即C错误；对于D，易知若，可知与共线且反向，即D正确.故选AC.11．【答案】ACD【详解】对于A，由，，三点共线，为点，，所在直线外一点，有，其中，即，所以，故A正确；对于B，，因为与的夹角为锐角，则，解得，当与共线时，，解得，所以实数的取值范围是，故B不正确；对于C，，，所以在上的投影向量的坐标为，故C正确；对于D，因为点为的外心，所以，故D正确.故选ACD.12．【答案】1【详解】，故.13．【答案】【详解】解析：因为，根据正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因为，所以，（当且仅当时取等号），即所以，即面积的最大值为.14．【答案】10【详解】由题可知，，，在中，，，在中，，在中，，故.15．【答案】(1)(2)，.【详解】（1）因为，所以，故，又，所以，（2）因为，所以；所以，所以，因为，又，，，所以.16．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【详解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.18．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【详解】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中