山东省济南市西城实验中学2024−2025学年高一下学期4月阶段性学情检测数学试题（含解析）

山东省济南市西城实验中学2024−2025学年高一下学期4月阶段性学情检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，，若，则（）A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或22．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．在中，，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（

）A． B． C．3 D．75．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（）

A． B． C． D．6．某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B． C． D．17．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于（）

A． B．C．－1 D．－18．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B．棱锥的侧面一定都是三角形C．棱台各侧棱所在直线必交于一点D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台10．已知复数，满足，（为虚数单位），则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为411．在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（

）A．B．C．的外接圆半径为D．三、填空题（本大题共3小题）12．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是.13．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为．14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量和，则,,求：（1）的值；（2）的值；（3）与的夹角θ的余弦值．16．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.17．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．18．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.（1）已知，，求；（2）在中，，，角A的平分线与交于点D，且，若，求.19．古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，

（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.

参考答案1．【答案】C【详解】若，则，解得或.故选C.2．【答案】D【详解】因为是关于方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，故选D3．【答案】B【详解】∵，∴由余弦定理，则得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故选B.4．【答案】B【详解】因向量在向量上的投影向量是，则，故，于是.故选B.5．【答案】C【详解】由题可知，点在上，，又，，解得.故选C．6．【答案】A【详解】如图:截面为，设为中点，设，则，则截面面积，则当时，截面面积取得最大值为2.故选A.7．【答案】C【详解】在ABC中，由正弦定理得，∴．在ADC中，，∴.故选C8．【答案】C【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，是中点，连接，如图所示：，，则，四边形为矩形，，，故，.故选C9．【答案】BC【详解】解：对A，如图所示：将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故A错误；对B，根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对C，根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确；对D，如图所示：该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D错误.故选：BC.10．【答案】ABC【详解】由可知，表示的复数所对应的点都落在两点连线的中垂线上，即如图直线m上，m与y轴交点为，

由可知，对应的点都在以点为圆心，半径为2的圆上，如图，则的最小值为，的最大值为，而，故，故A正确；由于，故，故B正确；对应的点在直线上，如图，和直线m关于x轴对称，过点A作n的垂线，交圆于D,交n于E点，则的最小值即为的长，为，故C正确；设中对应的圆与x轴切于B点，过B作m的垂线，垂足为C,则的最小值即为BC的长，即为，故D错误，故选ABC.11．【答案】BCD【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点，所以在中，，故A错误；由余弦定理可得，因为的面积，所以，故B正确；设的外接圆半径为，则，故，故C正确；对于D：方法一：因为在的平分线上，所以可设，则，同理可设，则，得，又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，即，故D正确；方法二：利用内心的性质结论，有，即，所以，即，故D正确.故选BCD12．【答案】【详解】∵是中点，∴．

13．【答案】【详解】设向量与的夹角为，，则，，所以当时，取得最小值为，即，所以.如图所示，设，三角形是等边三角形，设是的中点，则，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.14．【答案】8【详解】令，，且，由，则，即，故①，由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②，联立①②，可得，且，即，，由，即，故为直角三角形，又，，故的面积为.15．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）∵,,.∴；（2）∵,∴

；（3）∵,∴16．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）解：因为，则，所以为纯虚数，所以，解得.所以，因此.（2）解：因为，则，因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.因此实数的取值范围是.17．【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.【详解】（1）平面四边形的平面图如下图所示：由直观图可知菱形的高为：，所以面积为；（2）旋转而成的几何体如下图所示：该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，所以体积；所以表面积.18．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，，所以.（2）因为角A的平分线与交于点D，则，即，则，可得，即，可得，又因为，可知点P为的重心，则，可得，，则，，，可得，又因为，所以.19．【答案】（1）（2）时，四边形面积取得最大值，且最大值为．（3）【详解】（1）由，，，，可得，由题意可得，即，即