陕西省安康市2023−2024学年高一下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

陕西省安康市2023−2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，，则（

）A． B． C． D．4．已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．15．已知，，则（

）A． B． C． D．6．已知向量，.若，则（

）A． B． C． D．7．函数的图象，是由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下图是函数的部分图象，则（

）A． B． C． D．10．关于斜二测画法，下列说法正确的是（

）A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为C．一个梯形的直观图仍然是梯形D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直11．已知函数，若存在实数，满足，则正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．若复数，为的共扼复数，则的虚部为.13．在中，，，，则的面积.14．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积.16．已知，.(1)求在上的投影向量的坐标.(2)若，，求证：、、三点共线.(3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.17．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.18．已知，，分别为内角，，的对边.(1)若，，，为边上的点.①当平分边时，求的长度.②当平分时，求的长度.(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.19．已知函数（），函数为奇函数(1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明；(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围.

参考答案1．【答案】D【详解】由，可得，，所以，，，，故ABC错误，D正确，故选：D2．【答案】A【解析】首先解不等式，再根据集合的包含关系判断充分必要条件.【详解】解得：或“”“或”，但反过来不成立，“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．【答案】C【详解】依题意，，，，因此.故选：C4．【答案】B【分析】首先计算出，，再根据向量模的坐标公式即可得到答案.【详解】因为，，两式相加得，即，，所以.故选B.5．【答案】A【详解】，又，则，所以，，故选：A．6．【答案】D【详解】由向量，，得，由，得，所以.故选：D7．【答案】C【详解】由题意可得，作出y=fx与的图象如下：由图可知：y=fx与的图象有3个交点，故选：C8．【答案】B【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得，取中点，连接，则，，，，解得，则，所以该圆锥的体积.故选：B

9．【答案】BC【详解】由函数图象知，函数的最小正周期，则，解得，A错误；当时，，当时，，解得，则，C正确；当时，，解得，则，B正确；而，D错误.故选：BC10．【答案】ABC【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确；对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确；对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行，因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直，如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误.故选：ABC

11．【答案】BCD【分析】根据分段函数的定义作出函数的图象，根据与函数的图象有4个不同的交点可判断A；利用函数图象的对称性可判断B；利用对数运算可判断C；利用基本不等式可判断D.【详解】由得，，当时，，的图象在范围内关于对称，由得，，对应函数图象如图所示，对于A，由图知，若，则，故A错误；对于B，关于对称，，故B正确；对于C，由得，，，得，即，故C正确；对于D，由，则，，故D正确.故选BCD.12．【答案】【详解】由可得，所以，故，故虚部为，故答案为：13．【答案】【详解】在中，由余弦定理得，则，所以的面积.故答案为：14．【答案】【详解】设该四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积，该四棱锥一个侧面三角形的面积，又因，且，所以，即，因此.故选答案为：.15．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得；（2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即得.【详解】（1）依题意，，所以函数的最小正周期，由，得，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，，而，则，由，得，解得，由余弦定理得，则外接圆的半径，所以外接圆的面积为.【思路导引】化简函数，利用正弦函数的周期公式与单调性即可计算出最小正周期及单调递增区间；结合与，可得，利用余弦定理可得，利用正弦定理可得外接圆的半径为1，代入圆面积公式即可得解.16．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）依题意，在上的投影向量为.（2）依题意，不共线，由，，得，即向量共线，且与有公共点，所以、、三点共线.（3）依题意，，，由与的夹角为钝角，得，且与不共线，则且，解得，且，所以实数的取值范围是.17．【答案】(1)(2)，万元.【详解】（1）当时，，当时，，综上，（2）由（1）知，当时，，∵，∴当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，此时，又，∴2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.18．【答案】(1)①；②；(2).【详解】（1）①在中，由余弦定理得，则，，

在中，，解得；②由得：，即，所以.（2）在锐角中，，且，则，由正弦定理得，显然，即有，因此，所