广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∣3xA．−1,0 B．0,1 2．已知a=2,1，b=m,A．−2 B．3 C．6 D．3．若函数fx=emx−mA．−2,0 B．−∞,−24．已知a>b>0，椭圆C:x2a2+y2bA．x±5y=0 B．2x5．从集合{1,2A．110 B．310 C．5366．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱ABA．17 B．2532 C．13417．已知a∈R，函数fx=cosx−2πA．−178 B．−94 C．8．已知函数fx满足：∀x∈R，fx−1+6A．2022 B．2023 C．2024 D．2025二、多选题9．已知i为虚数单位，以下选项正确的是（

）A．若m,n∈RB．若复数z1,z2C．iD．若复数z满足z=1，则10．已知常见“对勾函数y=ax+bxa>0,b>0”的图象也是双曲线，其渐近线分别为y=ax与A．e1=1cosθ C．e2=511．欧拉函数φnn∈N*是数论中的一个基本概念，φn的函数值等于所有不超过正整数n，且与A．φ4⋅φ6C．φ100=40 D．数列φ2三、填空题12．将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为.13．某统计数据共有13个样本xii=1,14．下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图象的有①fx=3x；③fx=lnx+四、解答题15．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与(1)求cos∠(2)若BC+B16．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=(1)若AC=2(2)若平面AA1B与平面A1B17．已知函数fx(1)若a=0时，求曲线fx(2)若1<a<e时，fx在区间018．已知椭圆C:x2a2+y2b2=(1)求直线l被圆O:(2)当θ=π2（i）求C的方程；（ii）证明：对任意的θ∈0,19．已知数列an的首项a1=1，当n≥2时，an−an−1=(1)求c2，c9，(2)记Tn为数列cn的前n项和，求使得Tn(3)从数列cn的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为P，证明：P附：不等式x1+x22>x1x2（x1，x2>答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题》参考答案题号12345678910答案AACCDDACACDACD题号11答案ACD1．A【分析】分别求解集合A与集合B，再根据交集的定义求出A∩【详解】对于集合A={x|3x<则x<0，所以集合对于集合B={x|x2<所以A∩B=故选：A.2．A【分析】利用平面向量减法的坐标表示求出a−【详解】因为a=2,1，因为a//a−b，所以故选：A3．C【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.【详解】由函数fx=e设t=mx又y=当m=0时，t=当m<0时，t=mx即fx=emx所以2,+∞⊆m,当m>0时，t=mx即fx=emx综上所述m<故选：C.4．C【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可.【详解】依题意，e1=a2−所以9(a2−b所以双曲线E的渐近线方程为y=±2故选：C.5．D【分析】利用排列组合求解个数，即可利用古典概型概率公式求解.【详解】任取4个不同的数，且从大到小排列可得所有的情况有C9第2个数为7的情况有C2故概率为30126故选：D6．D【分析】作出辅助线，得到台体PAM−D1DC体积为V【详解】延长CM，交DA的延长线于点G，连接D1G，交AA平面MCD1将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为V故台体PAM−D1设正方体的棱长为4，则正方体体积为43又AM=14AS△PA台体PAM−故台体PAM−故V2所以V1故选：D7．A【分析】先求出x−2π3的范围，将判断y=cosx−2【详解】x∈−π函数fx=cos则y=cosx与y则12≤a不妨设x1<x则sincos==a当a=34时，y则cosx1−故选：A8．C【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出fx【详解】依题意，因为fx−1令x=−3，则f−3又因为fx+1−3令x=0，则f0令x=3，则f3−3又f2025又f2025所以2024≤f2025故选：C．9．ACD【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用i的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.【详解】对于A，因m,n∈R，则等价于m−2=对于B，由z1z2当z2=0时，等式成立，但z对于C，因对于n∈N*则i4于是i+对于D，由z=而z−3+易得z−3+故选：ACD.10．ACD【分析】根据双曲线的离心率公式即可判断A；求出tanθ即可判断C；求出双曲线C【详解】如图1，当双曲线为焦点在x轴上的标准方程时，过双曲线的右顶点作x轴的垂线交渐近线于点Pa则cosθ=a由题意知，双曲线C2中，渐近线y=ax即y如图2，它与y轴夹角的正切值tan2解得tanθ=12或由A选项可知，e2顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，∵tanθ=12，∴对称轴为y∴m图1

图2故选：ACD.【点睛】关键点点睛：理解“对勾函数y=11．ACD【分析】A，由题意可得φ4，φ6，φ10，即可判断选项正误；B，由A选项可判断选项正误；C，注意到100【详解】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则φ4=2与10互质的数为1，3，7，9，则φ10=4B选项，由A选项可知，φ4=φ6C选项，注意到100=被5整除的有20个，同时被2和5整除的有10个，则从1到100，这100个整数中，不能被被2或5整除的数，即与100互质的数的个数为100−50−D选项，由C选项分析可知，与2n互质的数，就是从1到2n，这其中2的倍数有2n−1个，则φ2n即为首项为12，公比为23的等比数列，其前n项和故选：ACD12．3【分析】阅读题意，再结合合情推理即可得解．【详解】若甲摸出的球上面的数字为1或5，则可以推断两人摸出球上面数字的大小，所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；若乙摸出的球上面的数字为2，甲摸出的球上面的数字可能为3或4，此时乙可判断大小；若乙摸出的球上面的数字为4，甲摸出的球上面的数字可能为2或3，此时乙可判断大小，所以乙摸出的球上面的数字为3.故答案为：3.13．25【分析】先根据百分位数的概念确定x1【详解】因为数列xn为公差为1的等差数列，且13×0.6=7.8由x8根据等差数列的性质，它们的平均数为x1故答案为：25.14．①③④【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转π4后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x结合函数图象可知，对于①，fx=3对于②，fx=x2的图象与直线y=对于③，fx=lnx+1，f′x=1x+1对于④，fx=1故答案为：①③④.15．(1)71(2)10【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可.（2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出sin∠BDC，再依据BC【详解】（1）如图，在△ACD设AD=3t，则则由余弦定理得cos∠因为CD是∠ACB的平分线，所以由二倍角公式得cos∠（2）由（1）知cos∠AC所以sin∠由余弦定理得cos∠结合诱导公式得sin∠在△BCD因为BC+BD=由余弦定理得cosA因为A∈(0,π16．(1)3(2)A【分析】（1）利用线面平行的性质定理得出线线平行，然后利用平行得出S△（2）思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面AA1B【详解】（1）因为AB=2所以S在直三棱柱ABC−又A1C1⊂平面A1BC1，因为AC⊂平面ABC，l=平面A又B∈l，P∈（2）解法一：如图，以A1B1设OC1=所以A1设平面A1BC则n1⋅A1B=0因为n2=1所以cosn解得a=1，所以解法二：由题意可知，平面AA1B与平面A如图，取A1B1的中点O，因为A因为在直三棱柱ABC−A1B因为A1B1∩AA1=A所以OC1⊥过点O作A1B的垂线，垂足为H，连接所以∠C1H因为AB=AA1=2又O为A1B1的中点，O设OC所以cos∠解得a=1，所以17．(1)e(2)a【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解fxmin=【详解】（1）当a=0时，fx所以k=故切线方程为y−e+（2）∵f由1<a<e，存在x0当x∈0,x0当x∈x0,1故fxg(故ga在1,e故a18．(1)6(2)（i）x2【分析】（1）由点到直线的距离得圆O到直线l的距离d=（2）（i）当θ=π2时，直线l的方程为x=b，将该直线方程代入椭圆方程，求出AB，根据已知条件求出（ii）求出原点到直线AB的距离，将直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理分析额可知点A、B的横坐标均为正数，利用勾股定理、椭圆方程可求出【详解】（1）由题意得圆O的圆心为O0,0，到直线l则直线l被圆O所截弦长为2a故直线l被圆O所截得的弦长为6.（2）解：当θ=π2时，直线l（i）联立x=bx2a又因为a2=b2+所以，椭圆C的方程为x2（ii）设点Ax1,y1、B所以，A=35x因为原点到直线AB的距离为d过原点O作OM⊥A

所以，A=x联立xsinθ+Δ=当且仅当θ=π2时，等号成立，此时点A、B因为θ∈0,由韦达定理可得x1+x2=200sin所以，AB因此，△ABF【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19．(1)c(2)7(3)证明见解析【分析】（1）由已知，可得数列an和数列bn的通项公式，即可求得（2）由（1）知c2=2，则Tn>3cn+1，因为