4、矩形的判定和性质

矩形的判定和性质【问题导学】操作：已知Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线。请大家以点O为对称中心，作出此图关于点O的中心对称图形。（点B的对称点为D）思考、交流：所得四边形ABCD是不是平行四边形？你能说明理由吗？一、矩形性质探究：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（矩形通常也叫长方形）1.矩形与平行四边形比较：相同点：不同点：2.你能用以前学过的知识证明矩形的对角线相等吗？3.小结：矩形的特殊性质（1）.（2）.4.矩形和平行四边形性质比较。相同点：（1）边：不同的：（1）角：.（2）角：（2）对角线：.（3）对角线：.（4）对称性：（3）对称性：.二、矩形判定探究⑴有三个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？⑵如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，四边形ABCD是矩形吗？DDCBAO矩形的判定定理总结：1、__________________________________________________2、__________________________________________________3、__________________________________________________题型一：矩形的性质-边角1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边相互平行B.对角线相等C.对角线相互平分D.对角相等3、在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等B．四个角相等C．是轴对称图形D．对角线互相垂直4、如图,在矩形ABCD中,AD=12,AB=7,DF平分ADC,AFEF,（1）求证：AF=EF；(2)求EF长;题型二：矩形的性质-对角线1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长为______2、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为______3、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则BD的长为________．4、如图,矩形ABCD的对角线交于O点,若OA=1,BC=,那么BDC的大小为______.5、如图，在矩形ABCD中，连接AC，BD，延长BC至点E，使BC＝CE，连接DE.求证：DE＝AC.6、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为________．7、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则．题型三：矩形的性质-周长和面积问题1、在矩形ABCD中,对角线交于O点，AB=6,BC=8,那么△AOB的面积为_______;周长为________.2、一个矩形周长是16cm,对角线长是7cm,那么它的面积为______.3、如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（

）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶44、如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点c落在AB边上的点F处，若AD＝8，且△AFD的面积为60．求：(1)边AB的长；(2)△DEC的面积．5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△C1DE（2）求图中阴影部分的面积.题型四：矩形的判定定理1、下列说法中，正确的是 ( )A．有1个角是直角的四边形是矩形 B．2条对角线相等的四边形是矩形．C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有3个角是直角的四边形是矩形2、下列关于矩形的说法中正确的是 ( )A.对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分3、如图工人师傅砌门时要想检验门框ABCD是否符合设计要（即门框是否为矩形，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可判断了．(1)当AC （填“等”或“不等BD时，门符合要求；(2)这种做法的根据是 ．4、如图，在△ABC为BCABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE为矩形．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．6、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．7、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形.8、已知：四边形是平行四边形，以对角线为斜边作，连接，，．求证：四边形是矩形．题型五：最值问题1．如图，在矩形中，，，点，为对角线上的两点，且满足，连接，，则的最小值为

A． B． C． D．2．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（

）

A． B． C． D．3．如图，在中，，点P是边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作边的垂线，垂足分别为M、N，则的最小值是．

课后练习：1．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则．2．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为．3．如图，已知点是矩形的对称中心，分别是边上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是．4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，求的度数．5．如图，在矩形中，，点P为边上任意一点，过点P作，垂足分别为E、F，则．

6．如图，将一张矩形纸片沿着折叠后，点恰好与边上的点重合，已知，，则的长度为cm．

7．如图所示，在长方形中，，，将长方形沿折叠，使点D落在点，则重叠部分的面积是．

8．如图，中，，，，点为边上任一点，过分别作于，于，则线段的最小值是．

9．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若平分交于点E，且，连接，则（

）A． B． C． D．10．如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形；11．如图，在中，对角线、相交于点O，E是外一点，且，求证：是矩形．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝1．(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)求平行四