《高等数学（上）》课件-2.3极限的运算和两个重要极限

第2章极限与连续2.3

极限的运算和两个重要极限2.3.1极限的四则运算

则

且

=A±B;

定理2.3.1且

=A·B;

且

=Al.根据定理2.2.8的推论,证

(1)由于

f(x)±g(x)=(A±B)+[α(x)±β(x)],据定理2.2.9可知α(x)±β(x)是当

x→x0时的无穷小量,

且等于A±B.(2)

由于f(x)·g(x)=A·B+A·β(x)+B·α(x)+α(x)·β(x),据定理2.2.9可知Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)是当x→x0时的无穷小量,

且等于AB.

当x→x0时,(3)

由于

而B[B+β(x)]的极限为B2,

由于B2

>0,

例2-3-1

解

由极限运算法则可得

=P(x0).例2-3-2

(其中P(x)和Q(x)为多项式函数)解为有理分式函数,

且Q(x0)≠0,

因为

所以

=R(x0).例2-3-3

设a0≠0,b0≠0,m、n为正整数,

证当m=n时,

分子分母同除以

xn,得到

证明故有

从而由极限相除法则得

得到：分式的分子部分极限为0,

分母部分极限为b0,因此所求分式的极限为0.

由于

因此

=∞.例2-3-4

因而不能直接利用极限相减法则.

因为,

解

于是依据极限相除法则,有

例2-3-5

因而不能直接利用极限相减法则.

得

解

于是可得

证

有不等式sinx<x<tanx.因为sinx>0,用sinx去除上述不等式,得到

2.3.2两个重要极限

有

例2-3-6

例2-3-7

解

解

例2-3-8

解

因此由极限的迫敛性证得

就变为y→+∞的情形.此时又有

综上所述,得②式成立,即

并注意到

x→∞等价于

α→0,得

例2-3-9

解例2-3-10

解例2-3-11

解

或

注意

在应用时可以用某个x的函数φ(x)代替x,或φ(x)→∞即可只要φ(x)→0(见例2-3-7和例2-3-10).已知当x→0时,

即当

x→0时,它们的极限都是零.现在来考察它们的比值当x→0时的极限:

2.3.3无穷小量的比较

设α(x)、β(x)是同一自变量变化过程中的无穷小量,定义2.3.1

则称α(x)是比β(x)高阶的无穷小量,

称α(x)是与β(x)同阶的无穷小量;

称α(x)是与β(x)等价的无穷小量,记作α(x)~β(x);

(k>0),则称α(x)是关于β(x)的k阶无穷小量;

则称α(x)是比β(x)低价的无穷小量.由定义知,α(x)是比β(x)高阶的无穷小量等价于β(x)是比α(x)低阶的无穷小量.对具体的无穷小量进行比较时,需要指出自变量的变化过程.注意

例如,sinx与

x是当

x→0时的等价无穷小量,即sinx~x

(x→0).

当

x→0时tanx与

x也是等价的无穷小量,即tanx~x

(x→0).又如,由于

因此,

或者说,

即

又如,高阶的无穷小量,因此,

例2-3-12

证明:当

x→0时,x~arcsinx.

且

x→0时,

证

例2-3-13

证

前面这些等价无穷小量非常有用,请务必记住.除此以外,还有ln(1+x)~x(x→0),另外,上述等价无穷小量中的

x也可以换成

x的函数

φ(x),

只要在自变量x的变化过程中

φ(x)→0即可,于是有

…设α、α1、β、β1都是同一自变量变化过程中的无穷小量,定理2.3.2且

α~α1,

β~β1,则

证因为

右边三乘积因子的极限都存在,所以

求下列极限:例2-3-14

解(1)因为sin2x~2x,所以

tan3x~x3(x→0),

(2)

所以

求极限时,若用

那就出现了错误的结论因为当x→0时,sinx~x,

两个无穷大量也可以进行比较.与无穷小量相类似,例如,若

则称α(x)为当

x→x0时

与

β(x)同阶的无穷大量.设α(x)、β(x)是当

x→x0时的无穷大量,本节讨论函数极限的四则运算法则和两个重要极限,在学习这些内容时,

只有在极限

(当进行商的极限运算时还要求分母的极限不等于0)的条件下,

才能进行极限的四则运算.否则会导致错误,或者无法计算下去.一定要注意:如对于例2-3-4中的极限,如果直接按差的运算法则去做,将出现∞-∞的情形.

例如

但是它们的比

当x→0时的极限不存在因此,(也不是无穷大),这两个无穷小量无法进行阶的比较.(4)在求