新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

人教B选择性必修第一册全册练习题

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第一章空间向量与立体几何.....................................................-2-

1.1空间向量及其运算.......................................................-2-

1.1.1空间向量及其运算.................................................-2-

1.1.2空间向量基本定理.................................................-9-

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系.................................-17-

1.2空间向量在立体几何中的应用...........................................-25-

1.2.1空间中的点、直线与空间向量.....................................-25-

1.2.2空间中的平面与空间向量.........................................-32-

1.2.3直线与平面的夹角................................................-44-

1.2.4二面角..........................................................-53-

1.2.5空间中的距离....................................................-70-

第一章综合测验.............................................................-81-

第二章平面解析几何.............................................................-95-

2.1坐标法................................................................-95-

2.2直线及其方程.........................................................-102-

2.2.1直线的倾斜角与斜率.............................................-102-

2.2.2直线的方程....................................................-108-

2.2.3两条直线的位置关系.............................................-119-

2.2.4点到直线的距离.................................................-126-

2.3圆及其方程...........................................................-133-

2.3.1圆的标准方程..................................................-133-

2.3.2圆的一般方程...................................................-140-

2.3.3直线与圆的位置关系.............................................-146-

2.3.4圆与圆的位置关系...............................................-154-

2.4曲线与方程............................................................-162-

2.5椭圆及其方程.........................................................-168-

2.5.1椭圆的标准方程.................................................-168-

2.5.2椭圆的几何性质.................................................-176-

2.6双曲线及其方程.......................................................-186-

2.6.1双曲线的标准方程..............................................-186-

2.6.2双曲线的几何性质..............................................-194-

2.7抛物线及其方程.......................................................-202-

2.7.1抛物线的标准方程..............................................-202-

2.7.2抛物线的几何性质..............................................-209-

第二章综合训练............................................................-217-

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其运算

1.下列命题中为真命题的是（）

A.向量荏与瓦^勺长度相等

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

宣A

2.下列向量的运算结果为零向量的是（）

A.FC+ABB.PM+~MN+~MP

C.MP+GM+PQ+QGD.近+CA+AB+CD

答案|C

3.已知ei©为单位向量，且ei_Le2,若a=2ei+3e2,b=Aei-4e2,a_Lb：则实数k的值为

（）

A.-6B.6

C.3D.-3

解析|由题意可得a-b=O,ei-e2=0,|ei|=|eaI=1,

所以（2ei+3e2＞（"i-4e2）=0,所以2&-12=0,

所以左二6.故选B.

4.已知空间四边形ABC。的每条边和对角线的长都等于a点七下分别是BCAD的

中点，则族•存的值为（）

AdB.-a2

2

C.-a2D.—cr

44

答案

AE•AF=^(AB+AC)^AD

三(AB-AD+AC-AD)

1(11)1o

二一\ax〃x-+axax」="«-.

4224

5.(多选)己知四边形ABCD为矩形,R4_L平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列

各组向量中，数量积一定为零的是()

A.定与前B.万X与丽

C.而与荏D.可与方

答案BCD

解析无♦BD=(PA+AB+BC)(BA+AD)

=PA•函+而•而+近屈+方•通+荏•而+近，

AD=-(AB)2+(BC)2^O.

因为PA_L平面ABCD,所以PA_LC£),

^PA-CD=0,

又因为4O_LAB,AD_LPA,所以AD_L平面P4B,所以AD1PB,所以万彳•而=0,同

理丽,荏=0,因此B,C,D中的数量积均为0.故选B,C,D.

6.设ei⑼是平面内不共线的向量,已知荏=2ei+ke2cs=e)+3e2,CD=2e1e,若A,B,D

三点共线，则k=.

疆-8

7.化简：i(a+2b-3c)+5(|a-|b+|c)-3(a-2b+c)=.

答案，+务白

----"oLo

8.如图，平行六面体A8CD-A'8'。'。'中,AB=A0=1,/U'=2,/A4Q=N8A4=N

D4A'=60°,则AC的长为.

DL

附c

答案"T

回相|不|2=|屈+BC+CC\2=AB2+BC2+CC2+2AB-BC+2BC-CC+2AB-CC

=l2+l2+22+2xlxlxcos60°+2X1X2XCOS600+2X1X2XCOS60°二11,则

|4C|=V11.

9.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC.BD的中点，求证:荏+CB+AD+CD=4EF.

怔明左边二(而+AD)+(CB+CD)

.•一・♦一一.“・・'・・・♦・—・•...—

=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右边，得证.

10.

如图，在正方体A8CD-A闰GG中,E,尸分别是GOiQQ的中点，正方体的棱长为1.

⑴求〈馥，而〉的余弦值；

(2)求证:西1EF.

(1)^?=而+而=而+：踞,而=西+率=近+癖=矶-逆.

因为而•AD=0jW•AA^=0jW•祈二0,

所以在•布二(彳否一［而).(而+工瓯)

1221

_1

2"

又丽二|国考所以COSV国方＞=|.

(2)|证明两=丽+西=AD-AB+~AAl，~EF=~EDl+D^F=-^(AB+丽)，

所以西•后？=0,所以西J_丽.

11.已知空间向量a=a,l,f),b=G2〃),则|a・b|的最小值为()

A.V2B.V3C.2D.4

奉C

|解析|Ta=«,l/),b=«-2』』)，

Za-b=(2,l-r,M),«')|a-b|=J22+(1-t)2+(M)2=J2(t-1)2+4,

.:当t=l时,|a・b|取最小值为2.故选C.

12.设平面上有四个互异的点AB,C,。,己知(而+DC-2DA)(AB-而)=0,则“BC

是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形

解桐因为丽+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+前，所以(荏+AC\(AB-

元)二|前F-I而F=0,所以|同|二|瑟即AABC是等腰三角形.

13.如图，已知PA_L平面ABCyZABC=[20°,PA=A8=8C=6,则PC等于()

A.6V2B.6C.12D.144

^]c

|解桐因为正=瓦？+通+近,所以近2=瓦52+而2+BC2^1PA•AH+2R4-

BC-^2AB-FC=36+36+36+2X36XCOS60°=144,所以PC=\2.

14.给出下列几个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②^|a|=|b|,则a=b或a=-b;

飒于任意向量a,b,必有|a+b国a|+|b|.

其中所有真命题的序号为.

答案③

朝对于①长度相等且方向粕反的两个向量是相反向量，故＜5湍误;对于②若

|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系，故不正确;只有③正确.

15.等边三角形A8C中,P在线段AB上，且而二入屈，若而AB=PA-丽,则实数2的

值为.

宣1告

底胡设|话|二加＞0),

由题知,04＜1.如图,

CP=^AC+AP

二-前十2福

故而•AB=(XAB-AC\AB

=X\AB\2-\AB\\AC|COSA号,2

可•丽二("而)・(l-2港

=2(A-1)|AS|2=2(2-1>2,

贝U«22-V=Aa-l)^2,

16.如图，平面a_L平面AAC_LA8,80_LA8,且48=4/06,80=8,用血，正,就表示

CD=，而|=.

答案荏-AC+BD2>/29

解析|:•而=CA+AB+BD=AB-AC+BD,

.,.CD2=(AB-AC+BD)1

=AB2+AC2+BD2-2AB•AC+2AB-'BD-2AC•丽=16+36+64=116,,：

|CD|=2V29.

17.己知43。。/30是平行六面体44的中点为瓦点厂为。。上一点，且

2

DT=-D'C.

3

⑴化简义府+方+|福

(2)设点M是底面ABCD的中心，点N是侧面8CC5对角线上的5分点(靠近C).

设而』通+须+“7,试求呐的值.

网(1)由AV的中点为£得:彳不=就，

又配=初，。户二|。'。'，

因此三荏=2前二万不.从而工府+正+三荏=互不+和+丽=丽.

3323

(2)MN=MB+BN=+:80=；(04+AB)+：(BC+CC)=^-AD+

通)+[(而+而后荏+(而+]而，因此a=1^=i?=|.

18.如图，在三棱柱ABCNBQ中,MN分别是4B,BC上的点，且

BM=2AiM,GN=281N.设荏=a,4C=b,Z57=c.

(1)试用a,b,c表示向量而；

(2)若N84C=90°,N8AA产NCA4i=60°,A8=AC=A4i=l,求MN的长.

g(iW=++

二1西+而+］跖=1(c-a)+a4(b-a)

=-1a+,-1b,+,-1c.

333

(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2a-c=l+l+l+0+2x1x1x1+2x1x1xg=5,所

以|a+b+c|=V5,

所以硒gla+b+c*,即MN4.

19.

如图所示，己知线段A3在平面a内，线段AC_La,线段3D_L48,且A3=7,AC=3D=24,

线段BD与a所成的角为30°,求CD的长.

网由AC_La,可知AC.LAB,

过点。作£＞Qi_La,

Di为垂足，连接55,

则NO6£)i为6。与a所成的角，即ND6DL30°，所以/6DOI-60°，因为AC_L

a,OQiJ_a，所以AC〃OOi,所以而＞=60°，所以vN，前＞=120°.又而=

CA+AB+BD,

所以|而F=(褊+AB+'BD)2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA•AB-^-2CA•~BD+2AB•

BD.

因为8。J_A8,AC_LA8,

所以而•AB=OjC-AB=O.

故而F二函2+|福2+|丽2+2方.BD

=242+72+242+2X24X24XCOS120°=625,

所以|而|二25,即CO的长是25.

20.如图所示,在矩形45CD中工平面43CZ）（点P位于平面A5CD的

上方），则边BC上是否存在点Q,使所1QD?

解假设存在点。（点Q在边BC上），使同1而，

连接AQ,因为尸AJ_平面ABCD,所以PA_LQD.

又所=PA+AQ,

所以所QD=PAQD+AQ-QD=0.

又遍•调=0,所以亚•诵:0,所以前1QD.

即点Q在以边4。为直径的圆上，圆的半径为今

又A8=l,所以当］=1,即a=2时，该圆与边8C相切，存在1个点Q满足题意;

当即a>2时，该圆与边相交，存在2个点Q满足题意；

当］<1,即a<2时，该圆与边相离，不存在点Q满足题意.

综上所述，当心2时,存在点Q,使丽J.而；

当0<〃<2时，不存在点Q,便可1QD.

1.1.2空间向量基本定理

1.如图所示,在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中"为AC与的交点.若

百瓦二a，石E=b,石了=c,则下列向量中与瓦前相等的向量是（）

A.-1a+|b+cB.|a+|b+c

C.1a-1b+cD.-1a-1b+c

前A

解析瓦羽=B^B+'BM=A^A-^^（BA+BC）

・、

=c+I-,（-a+b）=--ia+-itb+c.

2.对于空间一点。和不共线的三点A,B,C,且有6而=65+2而+3沅，则（）

A.O,A方，。四点共面

B.PK,8,C四点共面

C.0,P,8,C四点共面

D.O,P/,B,C五点共面

^]B

解析|由69=成+2赤+3元，得亦一a=2（而一赤）+3（OC-OP）,^

AP=2PB+3PC,

,:标，丽,无共面.又三个向量的基线有同一公共点P,,：PAB,C四点共面.

3.（多选）已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O^OM=xOA+遂,

则x的值不可能为（）

A.lB.OC.3D.-

3

答案|ABC

1^1VOM=xOA+：赤+：沃，且M,A,B,C四点共面，,：%+；+；=l,Zx=i

4.已知向量a,b,且荏=a+2b,而=-5a+6b,而=7a-2b,则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,民C

C.B,C,DD.ACO

函A

|解析|因为而=AB+BC+而=3a+6b=3(a+2b)=3而，故同||AB,又标与方有公

共点4,所以4,B,。三点共线.

5.下列说法错误的是()

A.设a,b是两个空间向量，则a,b一定共面

B.设a,b是两个空间向量，则ab=ba

C.设a,b,c是三个空间向量，则a,b,c一定不共面

D.设a,b,c是三个空间向量，则a(b+c)=ab+ac

答案|c

解析|A.设a,b是两个空间向量，则a,b一定共面，正确，因为向量可以平移；

B.设a,b是两个空间向量阳a-b=ba正确，因为向量的数量积满足交换律；

C.设a,b,c是三个空间向量，则a,b,c可能共面，可能不共面，故C错误；

D.设a,b,c是三个空间向量，则a・(b+c尸a・b+a・c,正确，因为向量的数量积满足分

配律.故选C.

6.设ei,e2是空间两个不共线的向量，已知而=ei+皿,近=5ei+4e2,反=62口,且

A,B,D三点共线，实数k=.

量］

解析：•彳方=~AB+^+CD=7ei+(A:+6)e2,

且存与而共线，故近

即7ei+(Z+6)e2=xei+He2,

故(7-x)ei+(2+6-欣龙2=0,又ei©不共线，

,4丝：2n解得」=f故k的值为1.

{k+6-kx=0,{k=1,

7.在以下三个命题中，所有真命题的序号为

①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,bx共面；

②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a,b共线；

③若a,b是两个不共线的向量，而c=2a+〃ba,"£R且〃#0),则{a,b,c}构成空间的一

个基底.

磔9

解析c与a,b共面，不能构成基底.

8.已知平行六面体。48。-。459；且65=2,而=1),布二(:.

(1)用a,b,c表示向量於；

(2)设G,”分别是侧面B夕CC刃。ZBC的中心，用a,b,c表示丽.

敏1)正=AC+CC=OC-OA+9=b+c・a.

(2)57?=G0+OH=^OG+OH

=-1(OB+oc)+1(OB'+oa)

=-1(a+b+c+b)+1(a+b+c+c)=1(c-b).

9.已知三个向量a,b,c不共面，并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,i•二・7a+l8b+22c,向量p,q,r

是否共面？

解假设存在实数人必使p=/lq+4i•，则

a+b-c=(22-7//)a+(-3z+18〃)b+(-5A+22〃)c.

:、,b,c不共面,

5

-

(2A-7M=1,h3

1

-3A+18〃=1,解得《-

-5A+22〃=-1,3

即存在实数;1=累告使p4q+〃r,

.：p,q,r共面.

10.如图所示,四边形ABCD和A3E「都是平行四边形，且不共面,M,N分别是AC.BF

的中点.判断荏与而是否共线？

C

网：・M,N分别是AC,BF的中点，而四边形ABCDMEF都是平行四边形,

,:丽=加+而+而气3+都+：丽・

又而=~MC+CE+EB~BN=--CA+CE-AF--~FB

22y

.'.-CA+万+-~FB=--CA+CE-AF--~FB

2222y

/.CE=CA+2AF+FB=2（MA+AF+而）=2而，

/.CE||而，即屈与丽共线.

11.如图，梯形ABCD中〃Ca4B=2CD,点。为空间内任意一

点,DX=a,而=b,3?=c,向量而三ta+yb+zc,则乂y,z分别是（）

A.1,-1,2B.-ppl

答案|C

ft?=OC+CD=OC^-BA=OC+-（OA-OB）=-OA--OB+0C=

---------22'22

扣《b+c,因此尸1=-1=1.故选C.

12.在平行六面体ABCD-EFGH^P^AG=xAB-2yBC+3zDHMx+y+z等于（）

答案D

解析|由于刀=同+玩+德=而+近+而，对照已知式子可得

x=l,-2y=l,3z=l,故x=l,y=-=,z三，从而x+y+z=-.

236

13.（多选）在正方体ABCD-A^BiQDi中,P,M为空间任意两点，如果有丽=

西+7瓦5+6丽-4不百，那么对点M判断错误的是()

A.在平面BA。内B.在平面BAiD内

C.在平面BA\D\内D.在平面ABiCi内

答案|ABD

=~PB[+7~BA+6A47-4^A

.・9・,・9・・♦.......•.............•

=PBi+34+6841-4415

=PB1+B1A1-^-6BA1-4A1Dl

二西*+6(西＞-而)-4(西-两*)

二11两-6丽-4可，且11-6-4=1,

于是MBA,。四点共面.

14.已知空间单位向量ei,e2,e3,ei_Le2,e2_Le3,ere3=g,若空间向量m=xei+ye2+ze3满

足:m・e।=4,in-e2=3,m-e3=5,则x+y+z=,|m|=

V34

解析因为e(±e2,ez_Le3,ei-e3=，，空间向量m=rei+ye2+ze3满

((xe1+ye2+ze3)e1=4,

：

足:01・修=4,111£2=3,111・03=5,所以](%81+ye24-ze3)e2=3,

y(xe1+ye2+ze3)e3=5,

即jy=3,解得y=3,

+z=5,（z=5,

所以x4-y+z=8,|m|=V34.

15.已知。是空间任一点R,B,CQ四点满足任三点均不共线，但四点共面，且

6丽+3）/5+4z丽贝1J2x+3y+4z=.

翻-1

=2xB0^3yC0+4zD0

=-2xOB-3y^OC-4zOD.

由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=l,

即2x+3y+4z=・L

16.如图，设0为口ABCD所在平面外任意一点方为0C的中点，若荏=

^OD+xOB+yOA^x.y的值.

网因为荏=荏+近+屈=而一画+历一而一之沆

=^0A+^OC=-OA+^(OD+DC)

=^0A+^(OD+AB)=^OA+jOD+^(0B-OA)=^OA+^OD+^OB,

所以x二L

17.已知非零向量ei,e2不共线，如果通=ei+e2,前=2ei+8e2,而=3ei-3e2,求证:A,8,CQ

四点共面.

怔明|证法一:令A(ei+e2)+//(2ei+8e2)+v(3ei-3e2)=0,

则q+2"+3u)ei+(2+8〃-3Voe2=0.

.”1己不乱线‘C+2"+3”=0,

—矢％2+8〃・3，=0.

2=-5

易知〃=1,是其中一组解，

V=1

则-5而+而+而=0.・：A8,C,O四点共面.

证法二:观察易得AC+AD=(2ei+8e2)+(3ei-3e2)=5ei+5e2=5(ei+e2)=5AB.

•:荏V前+场

由共面向量知，彳瓦彳己而共面.

又它们有公共点A,・：A,8,CQ四点共面.

18.如图，在平行六面体ABC。/由。。|中，。是Bid的中点，求证:8iC〃平面OOG.

证明Bi。=B,0+OCi+Re=Bi。+OG+DiD

=B^O+西+而+OD.

TO是B1D1的中点，

,:雨+加=0,・：昭=西+赤

・：瓦乙西，而共面，且BiGt平面OCiD.

・：3C〃平面OOC.

19.如图所示,四边形ABCD是空间四边形£”分别是边ABAD的中点,F,G分别是

边CB,CD上的点，且方=jCF,CG=|而.求证:四边形EFGH是梯形.

证明：W”分别是边ABAD的中点,

1.....0・—・・・♦1—・■

/.AE=^ABfAH=*，

............♦一■■…1.....，*1....，1...

・：EH=AH-AE=-AD--AB=-BD.

222

>,>O*O'O.......fO・・・・・・・i.»Q•

又FG=CG-CF=-CD--CB=-(CD-CB)=-BD./.EH=-FG,

333、734

・—・•,■,>......・♦q"">

/.EH||FG,\EH\=^\FG\.

丁点F不在EH上，.：四边形EFGH是梯形.

20.己知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量

OE=kOA,OF=kOBfOG=kOCtOH=kOD.

求证:(1)点£,F,G,”共面；

(2)直线〃平面EFG”.

VOA+AB='OB./.kOA+kAB=kOB.

OE=kOA,OF=kOB,AOE+kAB=OF.

又画+前=市,・：丽二而巨

同理，丽二攵而,丽二沅.

丁四边形ABCD是平行四边形，

•:前=荏+而，

,：—=—+曳抑前=EF+EH.

kkk

又它们有同一公共点E,

・：点、E,F,G,H共面.

(2)由(1)知丽二凝后，

/.AB||前，即A8〃EE又ABC平面EFGH,

・：AB与平面ER7〃平行，即A8〃平面EFGH.

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

1.已知向量a=(l,-2,l),a+b=(-l,2,-l),则向量b等于()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

2.向量a=(l,2力,b=(2,y,-l),若⑶=遍,且a_Lb,则x+y的值为()

A.-2B.2

C.-lD.l

答案C

函由题意得｛£蒸：厂强

啜:。……

3.若△ANC中,NC=90°4(1,2,・3Q网・2,1,0),以4,0,-2机则k的值为()

A.V10B.-V10

C.2V5D.±V10

建D

域璇於(-6,1,2枕讣(-3,2,困，

则无•株=(-6)X(-3)+2+2"(-Z)=-23+20=0,.：A=±71U.

4.若MBC的三个顶点坐标分别为A(l,・2,l),8(423),C(6,-1,4),则△ABC的形状是

()

A.锐角三角形B.百角二角形

C.钝角三角形D.等边三角形

lgA

臃郦5二(3,4,2),前二(5,1,3),近二(2,・3』).

由荷•冠＞0,得A为锐角;由G5•方＞0,得C为锐角；由丽•近＞0,得B为锐角.

所以△45C为锐角三角形.

5.(多选)如图所示，设。工,0)是平面内相交成工习角的两条数轴网,ez分别是与

轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为0反射坐标系，若而?=的+产2,

则把有序数对Hy)叫做向量丽的反射坐标,记为丽=(x,y),在。二g的反射坐标系

中,a=(l,2),b=(2,-l).则下列结论正确的是()

A.a-b=(-l,3)B.|a|=V3

C.a±bD.a〃b

^]AB

解析a-b=(ei+2e2)-(2ei-e2)=-ei+3ei,

则a・b=(-l,3),故A正确;

向一J(q+2%)2=+4cos=V5,故B正确；

a・b=(ei+2e2>(2ei-e2)=2好+3ei,e2-2多二-|,故C4音误；

D显然错误.

6.已知向量a=并且a,b同向，则x+y的值为.

解析|由题意知2〃0

y即

所以彳=/+y-2=0=3%,①

-3'(X2+y-2=2x,(2)

把④弋入②f寻P+x-2=0,即。+2)(41)=0,

解得x=-2或x=l.

当x=-2时,y=-6;

当x=l时,y=3.

则当｛；Z['时,b=(-2,-4,-6)=-2a,

向量a,b反向，不符合题意，故舍去.

当I，时,b=(l,2,3)=a,

a与b同向，符合题意，此时x+y=4.

7.已知向量a=(5,3』),b=(-2"?,若a与b的夹角为钝角，贝]实数t的取值范围

为.

矗(-若儿(-畿)

解桐由已知得ab=5x(-2)+3l+lx(-|)=34,因为a与b的夹角为钝角，所以ab<0,

即3吃<0,所以喀

若a与b的夹角为180°,则存在丸<0,使a=2b(2<0),

即(5,3,1)=2(・2"?，

［5=-24,(2——

所以［3=加，解得］

b=.0,1=木

故I的取值范围是(-8,尚)U

8.已知。为坐标原点，羽二(1,2,3),丽=(2,1,2),而二(1,1,2),点Q在直线0P上运动，则

当西•丽取得最小值时，求Q的坐标.

解设的=2而，则9=OA-OQ=OA-XOP=(1-2,2-2,3-22),Qfi=OB-OQ=

而J而二(2U,l」,2-2/l),所以Q5•

当时，面•而取得最小值,此时点Q的坐标为(籍谭).

9.已知正三棱柱A8CA出G的底面边长A8=2A点。。分别是棱ACAG

的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求该三棱柱的侧棱长；

⑵若M为BG的中点，试用向量再而，就表示向量而7;

⑶求cos＜AB；前》.

网(1)设该三棱柱的侧棱长为"由题意得

40,-1,0),3(75,0,0),c(o,i,o),bi(V5,O/),G(O,I㈤，则福=(V5,i㈤，鬲=(-75,1,力)，因

为ABI±BCI9

所以福•跖=-3+1+〃2=0,所以h=V2.

⑵宿=通+丽=而+3西=而+"何+近尸荏+久丽*+前-

,11,一一・，1,

AB)=-AB+-AC+-AA.

2221r

(3)由(1)可知福=(V5,1,近)，元=(-73,1,0),

所以福•近=-3+1=-2,|福匚乃就1=2,所以cos＜福，尻＞二急=-g.

10.(多选)已知点P是&ABC所在的平面外一点，若

AB=(-2,1,4),^4?=(1,-2,1),4?=(4,2,0),则()

A.AP.LABB.APLBP

C.BC=V53D.AP//BC

答案|AC

•荏=・2-2+4=0,.：万1荏，即AP_LAB,故A正确；

BP=BA+^P=(2rl,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),5?•^4P=3+6-3=6^0,ZAP与BP不

垂直，故B不正确；

BC=AC-AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),.：||=〔62+M+(_4月=原，故C

正确；

1=6k,

假设加Y三,则・2=k,无解，因此假设不成立，即AP与BC不平行，故D不正

.1=-4k,

确.

11.已知点4(1,0,0)1(0,・1,1),若布+7而与赤(0为坐标原点)的夹角为120。，则2的

值为()

A.渔B.-渔C.土渔D.土瓜

666

1^1：VB=(0,-1,1),04+WB=(1,-24),

cosl20o二画+丽丽=-2工7，可得kO,解得4=].故选B.

|OX+AOB||OB|

12.已知点41,-1,2),8(5,-6,2),C(l,3,-1),则荏在前上的投影为.

量4

丽:怎=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),

4C=(l,3,-D-(l,-l,2)=(0,4,-3),

•*.cos<AB,AC______0-20+0______

^42+(-5)2xj42+(-3)2

20

荏在元上的投影为|而|cos＜荏，前〉

=^42+(-5)2X(-^=)=-4.

13.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量

是.

客氨1,20)

14.已知A,8,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),而=1同一彳？),则点P

的坐标是.

前5*,0)

解析：宜二(6,3,-4),设P(a,仇c),

则324+1,。2）=（3,92）,

・：〃二5/=：,c=0,•:P（5,1,0）.

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱以，底面

ABCD,AB=®BC=1,弘=2,E为PD的中点.建立空间直角坐标系，

⑴求cos＜而丽,；

(2)在侧面PAB内找一点N,使NELL平面用C,求N点的坐标.

ABx

解(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则

40,0,0）,次8,0,0）,。（百』,0）,。（01,0）,P（0,0,2）,E（0,»）,从而

^C=(V3,l,0),PB=(V3,0,-2).

则8s(冠而

二嘉=当••：＜刀，丽〉的余弦值为哼.

(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),则屉=(-百,1口,

NEAP=0,

由NE_L平面附。可得,....•

NEAC=0,

f(-x,；,l-z)(0,0,2)=0,

即11厂

((-W，i-z)(V5,i,o)=o,

Z-1=0,(X=—

化简得

即N点的坐标为(立,0』).

6

16.已知点4023),8(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以向量屈，前所在有向线段为边的平行四边形的面积;

(2)若|a|二V5,且向量a分别与向量而,彳？垂直,求向量a.

网⑴荏=(-2,-1,3)裙(1,32),

设。为赤，前的夹角，

贝Icos-q竺“竺=,-2+3t^___1；sin^=—..\So=\AB\\AC\s\nO=7y/3.

\AB\(AC\V4+1+9-71+9+4221111

•:以3瓦前为边的平行四边形面积为7dl

(2)设a=(x,y,z),

-2x-y+3z=0,

x-3y4-2z=0,

(x2+y2+z2=3.

x=1,任=-1,

解得y=1,或y=-1,

z=1z—~1.

•:或a=(-l,-l,-l).

17.P是平面ABC外的点，四边形ABCD是平行四边

形淘=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),而=(-1,2,-1).

⑴求证:必_L平面ABC。；

⑵对于向量a=aiJl,Zl),b=(X2j2,Z2),C=(X3,”,Z3),定义一种运

算:(axb>c=x1”Z3+My3Zi+13旷izz-xigzz-Myiz^yizi，试计算(而x而)•标的绝对值;

说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(四x而)•存的绝

对值的几何意义.

(1•荏=(2,-1,-4)«(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,

•:万，而，即人尸_143.同理,族,同=(-1,2,-1>(4,2,0)=-4+4+0=0,・：万，而，

即R1J_AD又ABu平面ABCDAOu平面A8CZM8nA0=4・：出_1_平面ABCD.

(2解|(荏X而)•而|=48,

又cos<i4F.i4D>=^=,

\AB\=VH,|而|二2向,|而|二巡，

福•丽|.sinv而•而而|二16,可得|(而x而)•丽二3%MBCD

猜测:|(荏X而)•布|在几何上可表示以ABAD^P为棱的平行六面体的体积

(或以AB,AO,AP为棱的四棱柱的体积).

18.正四棱柱48CD-AI51Gd中，底面ABCD是边长为4的正方形4G与BQ交于

点N,BC\与BxC交于点M且AM_L8N,建立空间直角坐标系.

⑴求A4的长；

(2)求<丽,丽〉；

(3)对于〃个向量aia,…a-如果存在不全为零的n个实数丸展2.…工“，使得

Aia।+2232+,•,+Ana„=0成立，则这n个向量ai,a2,…声〃叫做线性相关，不是线性相关的

向量叫线性无关,判断俞，丽，而是否线性相关,并说明理由.

网(1)以。为原点,D4,OC,O。所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

系.

设A4的长为©则B(4,4,0),N(2,2,a),

~BN=(-2,-2x/)^4(4,0,0),M(2,4,,AM=(・2,43)，由丽_L而,得前.宿二0,即

。=2&,即A4i=2企.

(2)^V=(-2,-2,2A/2)M=(-4A2A/2),

cos<丽河>=B^=渔，

<BN,AD；>=arccos手.

(3)由

AM=(-2,4,V2),BN=(-2,-2,2V2),CD=(0,-4,0)^I(-2,4,V2)+22(-2,-2,2V2)+13(0,-4,0)=(0,0

,0),

得九二22=23=0,则加，前,由线性无关.

1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

1.已知/1的方向向量为v尸（1,2,3）也的方向向量为V2=（Z4,6）,若h〃/2,则人等于（）

A.lB.2C.3D.4

丽由八〃瓦得y]〃V2,得J=7=会故解2.

11A46

2.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是（）

A.[0,n]B.（0,兀）

C.（喝D.M）

画根据异面直线所成角定义，空间中异面直线。与b所成角的取值范围是（o,*

3.在正方体ABCD-AIICQI中，若E为4G的中点，则直线CE垂直于（）

A.BDB.ACC.AiDD.AiA

空A

国面以。为坐标原点,D4,DC,OOi所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标

系Dryz.设正方体的棱长为1.则

。(01,0),8(1,1,0)/(1,0,O)Q(O,O,O),G(0』,1)A(1,01)也(温1),

•；CE=(„1)/C=(-1,1,0),80=(-1,-1,0)/iD=(-1,0,=(0,0,-1),

rCE.BD=(-l)xi+(-l)x(3)+0x1=0,

CEAC=-\^CE-4t。哼0,CE•力遇=1/0,

・：CE工BD.

4.直线l\与；2的方向向量分别为ai,a2,若ai_La2,贝hi与b的位置关系为.

客半垂直

在正方体ABCD-AiBiCiDi中,0是4C的中点,E是线段DiO上一点，且D1E=EO.求

异面直线DE与CDi所成角的余弦值.

回不妨设正方体的棱长为1,以近,反，西为单位正交基底建立空间直角坐标系

Dryz,如图所示，

则41,0,0）,。（焉,0）,。（0/，0）,。（0,0』）石（匕焉）,于是

22442

屁=（竟,久E=（o,-i』）,且I屁i=giEi=2，

4424

DECD1

贝Icos<DE,'CDl>==

6

西西I

所以异面直线。七与C。］所成角的余弦值为立.

6

已知圆柱的底面半径为3,高为4/,8两点分别在两底面圆周上，并且A8=5,求异面直

线AB与轴00,之间的距离.

网如图，直线AB与轴00之间的距离等于轴OO'与平面48C的距离，由图形可知,

直线A8与轴0。'之间的距离等于点。'到8C的距离，

:•ABQdCta且AC±BC,・：5C=V52-42=3,・：△O'CB为等边三角形，,：异面直

线AB与轴0。'之间的距离为苧.

7.已知直线1\的方向向量a=（2.-3,5）,直线，2的方向向量b=（4x,y）,若两直线l\//h,

则xj的值分别是（）

A.6和-10B.-6和10

C.-6和-10D.6和10

空A

解明由两直线/1〃以得两向量a,b平行，即1=-=3所以的值分别是6和-10.

8.

如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=S8=SC,

且/458=/85。=/。54=90°,则异面直线5加与8%所成角的余弦值为（）

.TioVio

A—B-v

C..包D.叵

ioio

姓胡不妨设S4=S8=SC=1,以S为坐标原点克，克所在直线分别为x轴,y轴,z

轴,建立空间直角坐标系Sxyz,