天津市宝坻区2024-2025学年高一下学期第一次统练数学检测试题（附答案）

天津市宝坻区2024-2025学年高一下学期第一次统练数学检测试题一．单项选择题（共10题，每题4分）1.下列说法中正确的是（）A.向量的模都是正实数B.单位向量只有一个C.向量的大小与方向无关D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小【正确答案】C【分析】根据向量的概念即可判断.【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误；对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误；对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确；对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误.故选：C.2.在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【正确答案】A【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.故选：A3.已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝()A.(－2，－1) B.(－2，1)C.(－1，0) D.(－1，2)【正确答案】D【详解】解：因为平面向量，则向量4.已知i是虚数单位，复数为（）A.3+4i B.3－4i C. D.【正确答案】D【分析】根据复数的除法运算法则化简即可求解.详解】，故选：D5.为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据向量的坐标运算求，即可得夹角余弦值.【详解】因为，则，所以.故选：C.6.在中，已知是边上的一点，若，，则A B. C. D.【正确答案】B【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B.考点：向量的运算与性质7.下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底.【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，若，则，故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得.对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确；对于B选项，，∴与不平行，故B项正确；对于C选项，，∴与不平行，故C项正确；对于D选项，，∴，故D项错误.故选：D.8.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C.1 D.【正确答案】A【分析】由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】在上的投影向量为.故选：A9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【正确答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.10.在边长为正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是()A. B. C. D.【正确答案】C【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，所以，因为0≤x≤1，所以，即的取值范围是.故选C.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．二．填空题（共5题，每题4分）11.是虚数单位，复数______．【正确答案】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】.故答案为.12.已知向量，，若向量与垂直，则________.【正确答案】2【分析】利用向量垂直的坐标表示直接求解即可．【详解】因为向量，，向量与垂直，则，解得．故．13.已知向量的夹角为，，，则________．【正确答案】【分析】根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可.【详解】因为向量的夹角为，，，则，可得，所以.故答案为.14.在中，若，，，则的最小角为________．【正确答案】【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可.【详解】因为，，，则，可知，即最小内角为角，且，又因为，所以.故答案为.15.如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为和，已知，点C位于BD上，则山高AB等于________．【正确答案】【分析】根据题意可知，，结合长度关系列式求解即可．【详解】由题意可知，，，由直角三角形可知：，，因为，即，所以.故．三、解答题（共5题，每题12分）16.已知是虚数单位，复数，.（1）当时，求；（2）若z是纯虚数，求值；（3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先写出复数再根据模长公式求解；（2）根据复数是纯虚数求参即可；（3）根据复数对应的点位于第三象限列不等式求解即可.【小问1详解】当时，.所以，.【小问2详解】若复数是纯虚数，则，解得，所以.【小问3详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限，则即，解得.所以，实数的取值范围是.17.已知向量，，，，若．（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求的值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量数量积的运算律计算可得；（2）由夹角公式计算可得；（3）根据及向量数量积的运算律计算可得；【小问1详解】因为，，则，即，所以.【小问2详解】由（1）可知，则，因为，所以.【小问3详解】因为所以.18.已知向量，向量（1）若向量与向量平行，求实数的值；（2）若向量向量垂直，求实数的值；（3）求向量与向量夹角的余弦值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量平行的结论求参数.（2）根据向量的数量积为0求参数.（3）根据数量积的定义求向量夹角的余弦.小问1详解】由题意得，因为向量与向量平行，所以，解得．【小问2详解】由题意得，因为向量向量垂直，所以，解得．【小问3详解】由题意得，，所以，，，所以向量与向量夹角的余弦值为．19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求角A；（2）若，，求边c及的面积；【正确答案】（1）（2）3；【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）利用余弦定理可得，结合面积公式运算求解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，且，则，可得，则，又因为，所以．【小问2详解】由余弦定理得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积．20.在中，角所对的边分别是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【正确答案】（1）（2）（3）【分