高三数学复习第二篇数学思想一函数与方程思想文

一、函数与方程思想1/17思想解读应用类型函数思想,就是用运动和改变观点,分析和研究数学中数量关系,建立函数关系或结构函数,利用函数图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题取得处理数学思想.方程思想,就是分析数学问题中变量间等量关系,建立方程或方程组,或者结构方程,经过解方程或方程组,或者利用方程去分析、转化问题,使问题取得处理数学思想.1.函数与不等式相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数图象和性质可处理相关问题,而研究函数性质也离不开不等式.2.数列通项与前n项和是自变量为正整数函数,用函数观点去处理数列问题.3.解析几何中许多问题,需要经过解二元方程组才能处理.4.立体几何中相关线段、面积、体积计算,经常需要利用列方程或建立函数表示式方法加以处理.思想解读2/17总纲目录应用一

处理不等式问题应用二处理最值或范围问题3/17应用一

处理不等式问题例

(河南郑州质量预测(一))已知函数f(x)=lnx.(1)证实:f(x)≤x-1;(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax+

-1恒成立,求实数a取值范围.解析(1)证实:令g(x)=f(x)-(x-1)=lnx-x+1(x>0),则g'(x)= -1.当x=1时,g'(x)=0,所以当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)≤g(1)=0,故f(x)≤x-1.4/17(2)记h(x)=ax+

-lnx,

(结构函数)则在(0,+∞)上,h(x)≥1,h'(x)=a+

-

=

=

(x>0),①若0<a≤

,则-1+

≥1,x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,h(x)<h(1)=2a-1≤0,这与在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾;5/17②若

<a<1,则0<-1+

<1,x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,而h(1)=2a-1<1,这与在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾;③若a≥1,则-1+

≤0,x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)min=h(1)=2a-1≥1,即h(x)≥1恒成立.④若a=0,则h'(x)=

,x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,∴h(x)≤h(1)=-1<0,这与在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾.⑤若a<0,则-1+

<0,x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,∴h(x)≤h(1)=2a-1<0,这与在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾.综上,实数a取值范围是[1,+∞).6/17【技法点评】处理(2)关键是将不等式化为ax+

-lnx≥1,进而构造函数h(x)=ax+

-lnx,x∈(0,+∞).将问题转化为研究函数h(x)在(0,+∞)上最小值大于或等于1恒成立来处理.7/17跟踪集训

f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=

.8/17解析若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥

-

.设g(x)=

-

,则g'(x)=

,所以g(x)在区间

上单调递增,在区间

上单调递减,所以g(x)max=g

=4,从而a≥4;当x<0,即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤

-

,设g(x)=

-

,易知g(x)在区间[-1,0)上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上,a=4.答案49/17应用二

处理最值或范围问题例已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)右焦点为F(1,0),如图所表示,设左顶点为A,上顶点为B,且

·

=

·

.

(1)求椭圆C方程;(2)过点F直线l交椭圆于M,N两点,试确定

·

取值范围.10/17∵

· = · ,∴(1,0)·(-1,b)=(a,b)·(1,-b),即b2-a-1=0.又∵b2=a2-1,∴a2-a-2=0,

(列出方程)解得a=2(a=-1舍去).∴a2=4,b2=3,∴椭圆C方程为

+

=1.(2)①若直线l斜率不存在,则l:x=1,此时M

,N

,

·

=-

.②若直线l斜率存在,设l:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),则由

消去y得解析(1)由题意知,A(-a,0),B(0,b),11/17(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

(列出方程)∴x1+x2=

,x1x2=

.∴

·

=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]=

.

(转化为函数)∵k2≥0,∴0<

≤1,∴3≤4-

<4,∴-3≤

·

<-

.总而言之,

·

取值范围为

.12/17【技法点评】本题利用了函数与方程思想,首先由已知条件列出关于

a,b方程,求出a,b值,在求

·

范围时转化为关于k函数,利用函数性质求解.13/17跟踪集训1.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2

,那么当该棱锥体积最大时,它高为

()A.1

B.

C.2

D.3答案

C设正四棱锥S-ABCD底面边长为a(a>0),则高h=

=

,所以体积V=

a2h=

.设y=12a4-

a6(a>0),则y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函数在(0,4)上单调

递增,在(4,+∞)上单调递减.可知当a=4时,y取得最大值,即体积V取得最

大值,此时h=

=2,故选C.14/172.(河南洛阳统考)直线y=a分别与曲线y=2(x+1),y=x+lnx交于点A,B,

则|AB|最小值为

.15/17解析在y=2(x+1)中,令y=a,即2(x+1)=a,所以x=

-1.设方程x+lnx=a根为t,则t+lnt=a,则|AB|=

=

=

.设g(t)=

-

+1(