3.9 弧长及扇形的面积 练习题 2024-2025学年 北师大版九年级数学下册

3.9弧长及扇形的面积一、单项选择题。1．已知一扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为()A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路的长度为()A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm3．已知扇形的圆心角为60°，半径是10，则该扇形的弧长为()A．eq\f(2,3)πB．eq\f(3,4)πC．eq\f(4,5)πD．eq\f(6,7)π4．已知一个扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是()A．eq\f(3,2)πB．3πC．5πD．15π5．已知一个扇形的半径为3，弧长为4，则这个扇形的面积为()A．12B．12πC．6D．6π6．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是()A．πB．2πC．3πD．6π二、填空题。7．在圆心角为120°的扇形中，半径OM＝3cm，则扇形的面积为________cm2．8．若一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为_______cm.9．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则eq\x\to(AB)的长是____________．10．一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为_____cm2．11．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是___．12．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.则图2的周长为________cm.(结果保留π)13．已知一扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为_______．三、解答题。14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，求阴影部分的面积．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为eq\x\to(AB)上的一动点，若OA＝2，求图中阴影部分面积的最小值．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求eq\x\to(CD)的长．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D.(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝4，求图中阴影部分的面积．18．如图所示的日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器，它的表面是以点O为圆心的圆形，OA为某时刻晷针的影长，点B为日晷与底座的接触点(即底座的上表面所在的直线l与⊙O相切于点B)，AO的延长线分别交直线l和⊙O于点C，D，过点O作OG∥DB，分别交AB，⊙O及直线l于点E，F，G.(1)求证：∠A＝∠OGB；(2)若点F为OG的中点，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．答案：一、1-6DCADCC二、7.3π8.99.eq\r(2)π10.6011.912.eq\f(8π,3)13.90°三、14.解：eq\f(2π,3)15.连接AB，要使S阴影最小，就需使S△ABC最大，也即需使点C到直线AB的距离最大，即需点C位于eq\x\to(AB)的中点C′处(如图).连接AC′，BC′，OC′，设OC′交AB于点D，则OC′⊥AB于点D，则OD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，∴DC′＝OC′－OD＝2－eq\r(2)，∴S阴影的最小值为S扇形AOB－S△AOB－S△ABC′＝eq\f(90π×22,360)－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(2－eq\r(2))＝π－2eq\r(2).16.解：(1)证明：连接AO并延长交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝eq\f(180°－∠AOB,2)，∠OAC＝∠OCA＝eq\f(180°－∠AOC,2).又∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC.又∵AE∥BC，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴∠COD＝180°－∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，，∴OC＝BC＝2，∴eq\x\to(CD)的长为eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)17.解：(1)直线AC与⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴直线AC与⊙O相切(2)连接OD，AD，∵∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形．∵AO＝OB，AB＝4，∴S△BOD＝eq\f(1,2)OB·OD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴S阴影＝S△ABC－S△BOD－S扇形OAD＝eq\f(1,2)×4×4－2－eq\f(90π×22,360)＝8－2－π＝6－π18.解：(1)证明：连接OB，∵直线l与⊙O相切于点B，∴OB⊥l，∴∠BOG＋∠OGB＝90°.又∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°.又∵OG∥DB，OD＝OB，∴∠BOG＝∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠OGB(2)∵F为OG的中点，∴OG＝2OF＝4，∴cos∠BOG＝eq\f(OB,OG)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴∠BOG＝60°.又∵OG∥BD，∴∠OEB＝180°－∠ABD＝90°，∴BE＝OB•sin∠BOG＝2sin60°＝eq\r(3)，OE＝OB•cos∠BOG＝2c