2025版高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第一节算法初步学案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第一节算法初步2024考纲考题考情1．三种基本逻辑结构2.算法的特征概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性。3．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能4.条件语句(1)算法中的条件结构与条件语句相对应。(2)条件语句的格式及框图。①IF—THEN格式：②IF—THEN—ELSE格式：5．循环语句(1)算法中的循环结构与循环语句相对应。(2)循环语句的格式及框图。①UNTIL语句：②WHILE语句：1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值。2．直到型循环是“先循环，后推断，条件满意时终止循环”；当型循环则是“先推断，后循环，条件满意时执行循环”；两者的推断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反。一、走进教材1．(必修3P25例5改编)如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的推断框内应填________。解析输入x应推断x是否大于等于零，由图知推断框应填x<0？。答案x<0?2．(必修3P30例8改编)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析依据程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)。答案D二、走近高考3．(2024·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,6)C．eq\f(7,6) D．eq\f(7,12)解析运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，k＝2；s＝eq\f(1,2)＋(－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，k＝3；满意条件，跳出循环，输出的s＝eq\f(5,6)。故选B。答案B4．(2024·全国卷Ⅰ)如图所示程序框图是为了求出满意3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和eq\x()两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000和n＝n＋1B．A>1000和n＝n＋2C．A≤1000和n＝n＋1D．A≤1000和n＝n＋2解析因为输出的n为偶数，所以eq\x()中应填n＝n＋2。因为输出的是3n－2n>1000时n的值，所以中应填A≤1000。故选D。答案D三、走出误区微提示：①留意循环结构中限制循环的条件；②留意区分程序框图是条件结构还是循环结构。5．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________。解析由程序框图可以看出，当n＝8>6时，程序结束，故输出S＝[eq\r(0)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(4)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(8)]＝7。答案76．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”如图是关于该算法的程序框图，假如输入a＝153，b＝119，那么输出的a的值是________。解析第一次循环得，a＝153－119＝34；其次次循环得，b＝119－34＝85；第三次循环得，b＝85－34＝51；第四次循环得，b＝51－34＝17；第五次循环得，a＝34－17＝17，此时a＝b，输出a＝17。答案17考点一算法的基本结构【例1】(1)(2024·沈阳质监)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为()A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－3或－9(2)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是()A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1010项和解析(1)当x≤0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－8＝0，x＝－3；当x>0时，2－log3x＝0，x＝9。故x＝－3或x＝9。故选B。(2)由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2017－1)，可看作数列{2n－1}的前2017项中全部奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1009项的和。故选C。答案(1)B(2)C处理循环结构的程序框图问题时，肯定要正确确定循环的次数，依据程序框图的规定逐次运算，直到退出循环。【变式训练】(1)已知如图所示的程序框图的输入值x∈[－1,4]，则输出y值的取值范围是()A．[0,2] B．[－1,2]C．[－1,15] D．[2,15](2)如图所示的程序框图的运行结果为S＝20，则推断框中可以填入的关于k的条件是()A．k>9? B．k≤8?C．k<8? D．k>8?解析(1)因为－1≤x≤4，所以当－1≤x≤1时，y∈[－1,0]；当1<x≤4时，0<log2x≤2，即y∈(0,2]。综上，y∈[－1,2]。(2)据程序框图可得，第一次循环后，S＝11，k＝9；其次次循环后，S＝11＋9＝20，k＝8，退出循环。所以推断框内可以填入“k>8？”。答案(1)B(2)D考点二算法的交汇性问题微点小专题方向1：与古代文化的交汇【例2】(2024·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为()A．20 B．25C．30 D．35解析执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋eq\f(80,3)＝86eq\f(2,3)≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋eq\f(79,3)＝89eq\f(1,3)≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋eq\f(78,3)＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋eq\f(77,3)＝94eq\f(2,3)≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋eq\f(76,3)＝97eq\f(1,3)≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋eq\f(75,3)＝100，退出循环。所以输出的n＝25。解析：设大和尚有x个，小和尚有y个，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,3x＋\f(1,3)y＝100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝25，,y＝75，))依据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25。答案B读懂题意，用现代数学的方法解决。方向2：与函数的交汇【例3】某市乘坐出租车的收费方法如下：(1)不超过3千米的里程收费10元；(2)超过3千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)，当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元。相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填()A．y＝2[x＋0.5]＋4B．y＝2[x＋0.5]＋5C．y＝2[x－0.5]＋4D．y＝2[x－0.5]＋5解析由题意结合程序框图可得，①处应填入当x>3时收取的费用，结合收费方法可得y＝10＋[x－3＋0.5]×2＋1＝2[x＋0.5]＋5。故选B。答案B与函数交汇的程序框图问题，常见的有条件结构的应用、分段函数的求值问题，读图时应正确理解题意，依据相应条件选择与之对应的运算法则求值。方向3：与数列的交汇【例4】如图是一个算法的程序框图，假如输入i＝0，S＝0，那么输出的结果为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)解析模拟程序框图运行过程，如下：i＝1，S＝eq\f(1,1×2)，满意循环条件；i＝2，S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)，满意循环条件；i＝3，S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)，满意循环条件；i＝4，S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)，不满意循环条件。此时S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)。答案C解决与数列求和交汇的程序框图问题的关键有以下两个方面：一是循环结构的识图、推理，将其输出结果呈现为一个数列求和的形式；二是结合数列求和的学问对结果进行求和运算。常见题型为等差数列、等比数列求和，裂项相消法求和以及周期分组法求和。【题点对应练】1．(方向1)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝()A．5B．4C．3D．2解析n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(9,2)；n＝3，S＝eq\f(9,2)＋eq\f(1,4)＋4＝eq\f(35,4)；n＝4，S＝eq\f(35,4)＋eq\f(1,8)＋8>10，结束循环。则输出的n为4。故选B。答案B2．(方向2)执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则推断框中填入的条件可能是()A．k<18?B．k<17?C．k<16?D．k<15?解析由题设中程序框图所供应的算法程序可知：S＝1×log2(2＋1)＝log23，k＝3；S＝log23×log34＝2，k＝4；S＝2×log45＝2log45，k＝5；S＝2×log45·log56＝2log46，k＝6；S＝2×log46·log67＝2log47，k＝7；…；S＝2log416＝4，k＝16，不满意循环条件，输出S＝4。所以推断框内可能为“k<16？”。答案C3．(方向3)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是eq\f(31,32)，则输入的a为()A．6B．5C．4D．3解析当n＝1时，S＝eq\f(1,2)；当n＝2时，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＝eq\f(3,4)；…；当n＝4时，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(15,16)；当n＝5时，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,25)＝eq\f(31,32)，此时输出S。故4<a≤5，所以选B。答案Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老师备用题))1．(协作例1运用)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学测量他们的身高，获得身高数据的茎叶图如图①所示，在这20人中，记身高(单位：cm)在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4。图②是统计样本中身高在肯定范围内的人数的程序框图，若输出的S＝18，则推断框内可以填()A．i<3?B．i≤4?C．i<4?D．i≤5?解析由i的初始值为2，且输出的S＝18，可知程序框图的目的是统计身高大于或等于160cm的人数(恰为18)，于是要计算A2＋A3＋A4的值，因此推断框内可以填“i≤4？”。答案B2．(协作例2运用)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法。已知f(x)＝2018x2017＋2017x2016＋…＋2x＋1，如图所示的程序框图是求f(x0)的值，在“eq\x()”中应填的语句是()A．n＝i B．n＝i＋1C．n＝2018－i D．n＝2017－i解析由秦九韶算法得f(x)＝2018x2017＋2017x2016＋…＋2x＋1＝(…((2018x＋2017)x＋2016)x＋…＋2)x＋1，所以程序框图的执行框内应填写的语句是n＝2018－i。故选C。答案C3．(协作例3运用)在如图所示的程序框图中，fi′(x)为fi(x)的导函数，若f0(x)＝sinx，则输出的结果是()A．－sinx B．cosxC．sinx D．－cosx解析依题意可得f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)