2025版高考数学二轮复习高考小题专练5

PAGEPAGE1高考小题专练(05)(满分：80分时间：45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，则集合A的真子集个数为()A．31 B．32C．3 D．4解析：选C∵集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，∴集合A的真子集个数为22－1＝3.故选C．2．若复数z＝(2－ai)(1＋i)的实部为1，则其虚部为()A．3 B．3iC．1 D．i解析：选A∵z＝(2－ai)(1＋i)＝2＋a＋(2－a)i的实部为1，∴2＋a＝1，即a＝－1.∴其虚部为3.故选A．3．设实数a＝log23，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(1,2)，c＝logeq\f(1,3)2，则有()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a解析：选A∵a＝log23＞log22＝1,0＜b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(1,2)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝1，c＝logeq\f(1,3)2＜logeq\f(1,3)1＝0，∴a＞b＞c.故选A．4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)C．±eq\f(2\r(2),3) D．±eq\f(7,9)解析：选B∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，∴sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－1))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)－1))＝eq\f(7,9)，故选B．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C由程序框图可得，n＝1时，a＝5＋eq\f(5,2)＝eq\f(15,2)＞2×2＝4＝b，接着循环；n＝2时，a＝eq\f(15,2)＋eq\f(15,4)＝eq\f(45,4)＞2×4＝8＝b，接着循环；n＝3时，a＝eq\f(45,4)＋eq\f(45,8)＝eq\f(135,8)＞2×8＝16＝b，接着循环；当n＝4时，a＝eq\f(135,8)＋eq\f(135,16)＝eq\f(405,16)＜2×16＝32＝b，结束输出n＝4．6．如图，AB为圆O的一条弦，且|AB|＝4，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．4 B．－4C．8 D．－8解析：选D设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(OA,\s\up6(→))|·cos(π－∠OAB)＝－2×2·|eq\o(AO,\s\up6(→))|·cos∠OAB＝－4|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝－8.故选D．7．以下命题正确的个数是()①函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p；f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的必要不充分条件②实数G为实数a，b的等比中项，则G＝±eq\r(ab)③两个非零向量a与b，若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角④平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫抛物线A．3 B．2C．1 D．0解析：选B①若f′(x0)＝0，则x＝x0不肯定是f(x)的极值点，若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，故p是q的必要不充分条件，故①正确；②实数G为实数a，b的等比中项，则G＝±eq\r(ab)，故②正确；③两个非零向量a与b，若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或平角，故③错误；④平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹，当点不在直线上时叫抛物线，当点在直线上时，为直线，故④错误；故选B．8．下图为函数y＝f(x)的图象，则该函数可能为()A．y＝eq\f(sinx,x) B．y＝eq\f(cosx,x)C．y＝eq\f(sinx,|x|) D．y＝eq\f(|sinx|,x)解析：选B由图可知，x＝π时，y＜0，而A，C，D，y＝0,故选B．9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(cosC,c)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(\r(3),3)·eq\f(a,bccosA)，则cosA＝()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),6) D．－eq\f(\r(3),6)解析：选A依据题意，△ABC中，eq\f(cosC,c)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(\r(3),3)·eq\f(a,bccosA)，则有eq\f(1,c)×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋eq\f(1,b)×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),3)·eq\f(a,bccosA)，即eq\f(2a2,2abc)＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(a,bccosA)，变形可得：cosA＝eq\f(\r(3),3)；故选A．10．已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．eq\f(8,3)π B．eq\f(4\r(3),3)πC．eq\f(4,3)π D．eq\f(16,3)π解析：选D由题意，点S在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，由于AD＝1，SD＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，则(eq\r(3)－R)2＋12＝R2，解得R＝eq\f(2,\r(3))，则S球＝4πR2＝eq\f(16π,3)．11．圆C的圆心在抛物线y＝4x2上，且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线y＝－6距离最小值为()A．eq\f(95,16) B．eq\f(25,4)C．5 D．eq\f(7,2)解析：选A设圆C为(a,4a2)，半径为r，由抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq\f(1,16)，可得r＝4a2＋eq\f(1,16)，由圆上的点到直线y＝－6的距离的最小值为4a2＋6－4a2－eq\f(1,16)＝eq\f(95,16)，故选A．12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝xeq\f(1,2)，若函数g(x)＝f(x)－x－b恰有一个零点，则实数b的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(1,4)))，k∈Z B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋\f(1,2)，2k＋\f(5,2)))，k∈ZC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(1,4)，4k＋\f(1,4)))，k∈Z D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,4)，4k＋\f(15,4)))，k∈Z解析：选D∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，∵f(x－1)为偶函数，∴f(x－1)关于x＝0对称，则f(x)关于x＝－1对称，同时也关于x＝1对称，若x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，此时f(－x)＝eq\r(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－eq\r(－x)，x∈[－1,0]，若x∈[－2，－1]，x＋2∈[0,1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－eq\r(x＋2)，x∈[－2，－1]，若x∈[1,2]，x－2∈[－1,0]，则f(x)＝－f(x－2)＝eq\r(－x－2)＝eq\r(2－x)，x∈[1,2]，作出函数f(x)的图象如图：由数g(x)＝f(x)－x－b＝0得f(x)＝x＋b，由图象知当x∈[－1，0]时，由－eq\r(－x)＝x＋b，平方得x2＋(2b＋1)x＋b2＝0，由判别式Δ＝(2b＋1)2－4b2＝0得4b＋1＝0，得b＝－eq\f(1,4)，此时f(x)＝x＋b有两个交点，当x∈[4,5]，x－4∈[0,1]，则f(x)＝f(x－4)＝eq\r(x－4)，由eq\r(x－4)＝x＋b，平方得x2＋(2b－1)x＋4＋b2＝0，由判别式Δ＝(2b－1)2－16－4b2＝0得4b＝－15，得b＝－eq\f(15,4)，此时f(x)＝x＋b有两个交点，则要使此时f(x)＝x＋b有一个交点，则在[0,4]内，b满意－eq\f(15,4)＜b＜－eq\f(1,4)，即实数b的取值集合是4n－eq\f(15,4)＜b＜4n－eq\f(1,4)，即4(n－1)＋eq\f(1,4)＜b＜4(n－1)＋eq\f(15,4)，令k＝n－1，则4k＋eq\f(1,4)＜b＜4k＋eq\f(15,4)，故选D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．某校开展“爱我家乡”演讲竞赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发觉有一个数字在茎叶图中却无法看清，若记分员计算无误，则数字x＝________.8899923x214解析：由题意知去掉一个最低分88，若最高分为94时，去掉最高分94，余下的7个分数平均值是91，即eq\f(1,7)×(89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋91)＝91，解得x＝1；若最高分为(90＋x)分，去掉最高分90＋x，则余下的7个分数平均值是：eq\f(1,7)×(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94)≠91，不满意题意．故答案为1．答案：114．有一个焦点为(0,6)且与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是__________．解析：由eq\f(x2,2)－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±eq\f(\r(2),2)x.设双曲线方程为：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ＜0)，∴eq\f(x2,2λ)－eq\f(y2,λ)＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝1．答案：eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝115．已知实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，,y≥1))则z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋y－2的最大值为________．解析：要求目标函数的最大值，即求t＝x＋y－2的最小值．首先画出可行域，由图知在直线x－3y＋5＝0和直线y＝1的交点(－2,1)处取得最小值，即tmin＝－2＋1－2＝－3，所以z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋y－2的最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝8．答案：816．已知函数f(x)＝sin2eq\f(ωx,2)＋eq\f(1,2)sinωx－eq\f(1,2)(ω＞0)，若f(x)在区间(π，2π)内没有极值点，则ω的取值范围是________．解析：f(x)＝sin2eq\f(ωx,2)＋eq\f(1,2)sinωx－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1－cosωx)＋eq\f(1,2)sinωx－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π