数学 2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学热点5　统计与概率含答案

数学2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学热点5统计与概率热点5统计与概率年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷——独立事件的概率与数学期望21——新高考Ⅱ卷频率分布直方图与条件概率19统计与概率19独立事件的概率与数学期望18【典例1】(17分)(规范解答)(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分,若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;(2)假设0<p<q,(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?【审题思维】(1)利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)(i)分别求出甲与乙先参加第一阶段比赛,二人所在队的比赛成绩为15分的概率P甲与P乙,作差法比较P甲,P乙,从而得到该由谁参加第一阶段的比赛;(ii)分别求出甲、乙先参加第一阶段的比赛,数学成绩的期望E(X)与E(Y),作差法比较E(X),E(Y),从而得到应该由谁参加第一阶段比赛.【解析】(1)因为甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,所以甲第一阶段至少投中一次,乙第二阶段至少投中一次,…………2分所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为:P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686. ………………4分(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为:P甲=[1-(1-p)3]q3,若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为:P乙=[1-(1-q)3]p3, …………6分所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,……9分所以P甲>P乙,所以为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,该由甲参加第一阶段比赛. ………10分(ii)若甲先参加第一阶段的比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]C31q(1-q)P(X=10)=[1-(1-p)3]C32q(1-q)P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,所以E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)q, 13分记乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)p,所以E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)=15(p-q)pq(p+q-3)>0, ………………16分所以为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由甲参加第一阶段比赛. ……………………17分【题后反思】本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的数学期望等知识,解答时要防止两种失误:(1)概型归类要准确,尤其是相互独立事件与独立重复试验,二项分布与超几何分布要分清;(2)概率求解要正确,求解分布列问题的核心是概率计算,要明确事件性质与参数取值,细心运算,以防错误.【典例2】(2024·湖北模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况,统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数,现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据,结果如下表:一周次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的,称为“经常锻炼”,其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;性别锻炼合计不经常经常男生女生合计(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”,“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率,在全校抽取20名同学,其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求E(X)和D(X);(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的生活习惯,在样本的10名“运动爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.附:χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.01xα2.7063.8416.635【审题思维】(1)根据列联表数据计算χ2即可求解;(2)由题意X近似服从二项分布X~B(20,112(3)由题意Y服从超几何分布,Y的可能取值为0,1,2,3,计算出各自对应的概率即可求解.【解析】(1)列联表如下:性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为H0:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关,根据列联表的数据计算χ2=60(7×16-23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30根据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1;(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p=560=112,X~B(20,故E(X)=20×112=53,D(X)=20×112×11(3)10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布,Y的可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=C70CP(Y=1)=C71C32P(Y=2)=C72C31P(Y=3)=C73C30故所求分布列为:Y0123P17217E(Y)=3×710=2.1【题后反思】本题考查独立性检验、二项分布、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望计算.统计与概率的融合题是高考的热点,常常以统计图表为载体,考查概率问题.1.★★★☆☆(2024·北京高考)已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元.赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单,以频率估计概率:(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率;(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望;(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.【解析】(1)设事件A为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”,由题设中的统计数据可得P(A)=60+30+10800+100+60+30+10=1(2)(i)设ξ为赔付金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3,由题可得P(ξ=0)=8001000=45,P(ξ=0.8)=P(ξ=1.6)=601000=350,P(ξ=2.4)=P(ξ=3)=101000所以E(ξ)=0×45+0.8×110+1.6×350+2.4×3100+3×因为毛利润是保费与赔偿金额之差,故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元);(ii)由(i)知未赔偿的概率为P(ξ=0)=8001000=45,至少赔偿一次的概率为1-45=15,故保费变化后为0.4×45设Y为保单下一保险期的毛利润,故E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元).2.★★★☆☆(2024·西城三模)根据2024城市魅力排行榜,一线城市4个,分别为:上海、北京、深圳、广州;新一线城市15个,分别为:成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个,分别为:上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市,求该城市是一线城市的概率;(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量X表示新一线城市的数量,求随机变量X的分布列和期望;(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y表示新一线城市的数量,比较E(X)与E(Y)的大小关系.(直接写出结果)【解析】(1)10个超大城市中包含4个一线城市,所以从10个超大城市中随机抽取一座城市,该城市是一线城市的概率为410=2(2)10个超大城市中包含6个新一线城市,X所有可能的取值为:0,1,2,3.P(X=0)=C60C43C103=4120=130;P(X=2)=C62C41C103=60120=12;所以X的分布列为:X0123P1311E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1(3)E(X)=E(Y).理由如下:从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y~B(3,610),E(Y)=3×610=95,所以E(X)=E(3.★★★★☆(2024·日照三模)电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式,编造虚假信息,设置骗局,对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临,借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延,不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识,某校举办了主题为“防电信诈骗,做反诈达人”的知识竞赛.(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25),若某同学成绩满足μ-σ≤η≤μ+2σ,则该同学被评为“反诈标兵”;若η>μ+2σ,则该同学被评为“反诈达人”.(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”;(ii)若全校共有40名同学被评为“反诈达人”,试估计参与本次知识竞赛的学生人数(四舍五入后取整).(2)已知该学校有男生1000人,女生1200人,经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识,用样本估计总体,现从全校随机抽出2名男生和3名女生,这5人中了解“反诈”知识的人数记为X,求X的分布列及数学期望E(X).参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】(1)(i)由题意知,该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25),可得μ=80,σ=5,因为75<88<90,则该同学能被评为“反诈标兵”.(ii)设全校参与本次竞赛的人数为n,“反诈达人”的概率为:P(η>μ+2σ)=121-P(μ-则40n=0.02275,解得n≈1758,所以参与本次知识竞赛的学生人数约为1758(2)由题意知,男生了解“反诈”知识的概率为34,女生了解“反诈”知识的概率为12,随机变量可得P(X=0)=C20(14)2C30(1P(X=1)=C21(34)(14)C30(12)3+C20(14P(X=2)=C22(34)2C30(12)3+C21(34)(14)C31(12)3+P(X=3)=C22(34)2C31(12)3+C21(34C20(14)2C33(1P(X=4)=C22(34)2C32(12)3+C21(34)(1P(X=5)=C22(34)2C33(1所以随机变量X的分布列为X012345P191523339所以,期望为E(X)=0×1128+1×9128+2×1564+3×2364+4×334.★★★★☆(2024·泉州二模)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是:主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由抽奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱,在打开2号箱之前,主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则,主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子,记为X号箱.(1)求X=1的概率;(2)求X的方差;(3)若X=1,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会,请问他是坚持选2号箱,还是改选3号或4号箱?【解析】(1)设A1,A2,A3,A4分别表示1,2,3,4号箱子里有奖品,设B1,B2,B3,B4分别表示主持人打开1,2,3,4号箱子,则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥.由题意可知,事件A1,A2,A3,A4的概率都是14,P(B1|A4)=12,P(B1|A2)=P(B1∣A3)=12,P(B1|A1)=0由全概率公式,得P(B1)=∑i=14P(Ai)P(B1|Ai)=14(12+(2)依题意可得X=1,3,4,P(X=1)=13,同理可得P(X=3)=P(X=4)=13,故X134P111所以E(X)=13+3×13+4×13所以D(X)=(1-83)2×13+(3-83)2×13+(4-83)2(3)在主持人打开1号箱的条件下,4号箱、2号箱、3号箱里有奖品的概率分别为P(A4|B1)=P(A4B1P(A2|B1)=P(A2B1P(A3|B1)=P(A3B1通过概率大小比较,甲应该改选4号或3号箱.热点6圆锥曲线中的计算与证明年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷求直线的斜率、三角形的面积21求轨迹方程、证明问题22椭圆的离心率,直线与椭圆16新高考Ⅱ卷求双曲线方程、证明问题21求双曲线方程、证明问题21——【典例1】(15分)(规范解答)(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C:x2a2+y2b2(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.【审题思维】(1)联立关于a,b的方程组,利用离心率公式求解;(2)分直线l的斜率不存在及存在两种情况,结合△ABP的面积为9求解.【解析】(1)依题意,9b2=19则离心率e=1-b2a2=1-912=(2)由(1)可知,椭圆C的方程为x212+当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,易知此时B(3,-32点A到直线PB的距离为3,则S△ABP=12×3×3=92,与已知矛盾;…………当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-32=k(x-3),即y=k(x-3)+3设P(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x-3)+32x212+y29=1,消去y整理可得,(4则x1+x2=24k2-12k4k2+3,x由弦长公式可得,|PB|=1+k2=1+k2·(24k2-点A到直线l的距离为d=3k则12×43·1+k2·3k2+9则直线l的方程为y=12x或y=32x-3. 【题后反思】解答直线与圆锥曲线的综合问题的两个关注点:(1)联立消元后,一般利用根与系数的关系,“设而不求”;(2)解题步骤要全面,不要忘记直线斜率不存在的情形.【典例2】(2024·呼和浩特二模)已知双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线N:x2m2-y22m(1)分别求M和N的方程;(2)如图,过点T(0,1)的直线l(斜率大于0)与双曲线M和N的左、右两支依次相交于点A,B,C,D,证明AB=CD.【审题思维】(1)由题意,列出等式求出m的值,得到双曲线N的方程,根据双曲线M与双曲线N渐近线相同,设出双曲线M的方程,将点(2,2)代入即可求出双曲线M的方程;(2)设出直线l的方程,将直线l的方程与双曲线方程联立,利用根与系数的关系得到A,D与B,C中点的横坐标为k2-k2,结合A,B,C,D在同一直线l上,推出A,D与B,C中点重合【解析】(1)由题意可知双曲线N的焦距为2m2+2m2=23|m|=23,解得m2=1,即双曲线N:x2-y22=1,因为双曲线M与双曲线N渐近线相同,不妨设双曲线M的方程为x2-y22=λ,因为双曲线M经过点则双曲线M的方程为x22-(2)不妨设直线l的方程为y=kx+1(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),联立y=kx+1x2-y22=λ,消去y并整理得(2-k2)x2-2kx-1-2λ当λ=1时,由根与系数的关系得x2+x3=2k当λ=2时,由根与系数的关系得x1+x4=2k所以A,D与B,C中点的横坐标为k2因为A,B,C,D在同一直线l上,所以A,D与B,C中点重合,不妨设该点为E,此时EA=ED,EB=EC,则EA-EB=ED-EC,故AB=CD.【题后反思】本题考查双曲线的标准方程及其性质,直线与双曲线的综合运用.解答直线与圆锥曲线的综合问题时,要注意:(1)不要忽视直线与双曲线渐近线平行的情形;(2)解决中点弦问题,常用点差法,但不能忘记直线是否与圆锥曲线相交的判断.1.★★★☆☆(2024·西安模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4(1)求椭圆C的方程;(2)过点F(-43,0)作斜率为32的直线交椭圆C于P,Q两点,求弦PQ【解析】(1)依题意得:c=1,因为e=ca,即12=1a,因为b2=a2-c2,解得b=3,所以椭圆C的方程为x24+y(2)如图所示:设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点为M(x0,y0),所以x1则kPQ=y1-y又因为P,Q两点在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b两式相减可得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理得过点F(-43,0),斜率为32的直线为y=32(x+因为M(x0,y0)在直线上,故y0=32(x0+43)联立①②,解得x0=-1,y0=12所以PQ中点坐标为(-1,12)2.★★★★☆(2024·来宾模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,M为C的准线l上一点,直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为4.(1)求C的方程;(2)过点F的直线交C于A,B两点,过点B作y轴的垂线交直线AO于点D,过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E,AE的中点为G,证明:G,B,D三点纵坐标相等.【解析】(1)设准线l与x轴的交点为N,因为直线MF的斜率为-1,所以|MN|=|NF|=p,又|OF|=p2所以S△OFM=12·|OF|·|MN|=12·p2·p=4,所以p=4.故抛物线C的方程为:y(2)设直线AB的方程为x=my+2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立x=my+2y2=8x,得y2-8my-16=0,Δ=(-8m)2-4×1×(-16)=64(m2+1)>0,由根与系数的关系可得y1+y2=8m,y1y2=-16,又因为直线AO的方程为y=y1x1x=8y1x,将y=y2代入,可得x=y1y28=-2,即点D(-2,y2),所以kDF=-y24,因为AE⊥DF,则kAE=4y2,所以直线AE的方程为y-y1=4y2(x-x1),联立y-y1=4y2(x-x1)y2=8x,得y2-2y2y-83.★★★★☆(2024·全国甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点M(1,32)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)P(4,0),过P的直线与椭圆C交于A,B两点,N为FP的中点,直线NB与MF交于Q,证明:AQ⊥y轴.【解析】(1)设椭圆C的左焦点为F1,点M(1,32)在椭圆C上,且MF⊥x轴则|F1F|=2,|MF|=32由勾股定理可知,|MF1|=52故2a=|MF1|+|MF|=4,解得a2=4,b2=a2-1=3,故椭圆C的方程为x24+(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),=λ,则x1+λ即λx2又由3可得3·x1+λx21+λ·x结合①②可得5λ-2λx2+3=0,P(4,0),F(1,0),N(52,0),B(x2,y2则直线NB的方程为y-0=y2x2-52(x-52),MF⊥x轴,直线NB与MF故yQ=3y25-2x2=3λy25λ-2λx4.★★★★★(2024·南通模拟)已知双