四川省凉山彝族自治州会东县南山实验学校2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

四川省凉山彝族自治州会东县南山实验学校2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知等差数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．2．已知数列是等比数列，且，，则（

）A．3 B．6C．3或 D．6或3．已知函数在处的导数为，则（

）A．3 B． C．6 D．4．已知，则（

）A．2 B．3 C．4 D．55．曲线在点处的切线方程为(

)A． B．C． D．6．已知数列为等差数列，其前项和为，，则（

）A．110 B．55 C．50 D．457．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)8．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（

）A． B． C． D．e二、多选题（本大题共3小题）9．已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则D．若和都为递增数列，则10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（

）

A．在上单调递减 B．有极小值C．有2个极值点 D．在处取得最大值11．关于函数，下列判断正确的是（

）A．的极大值点是B．函数在上有唯一零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，且，若，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知构成各项为正的等比数列，且则.13．已知函数，则的极小值为14．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知是等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．16．已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)设求的前n项和.17．设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极大值点与极小值点；(3)求在区间上的最大值与最小值．18．已知.(1)求函数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；19．设函数．(1)若在点处的切线斜率为，求a的值；(2)当时，求的单调区间；(3)若，求证：在时，．

参考答案1．【答案】D【详解】由，则，公差.故选D.2．【答案】B【详解】解：设数列的公比为q，则，所以，，所以．故选B．3．【答案】A【详解】因为，又函数在处的导数为，所以，故选A.4．【答案】C【详解】，所以.故选C.5．【答案】A【详解】求导函数，当时，，∴曲线在点处的切线方程为，即.故选A.6．【答案】B【分析】根据给定条件结合等差数列的性质计算出，再利用前n项和公式结合等差数列的性质计算即得.【详解】在等差数列中，，于是得，所以.故选B.7．【答案】C【详解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，令，解得或，若函数在(,)内存在最小值，则，得．故选C.8．【答案】C【详解】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；当时，则在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，故，即，综上，所以ABD错误，C正确.故选C.9．【答案】BC【分析】根据题意，求得，结合，A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由，求得，C正确；根据题意，求得任意的，结合的正负不确定，D错误．【详解】对于A中，由，，可得，所以，又由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，又因为，则，所以C正确；对于D中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选BC.10．【答案】AB【详解】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确；又或时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；当时，，则单调递增，所以，在处不能取得最大值，故D错误．故选AB．11．【答案】BD【详解】因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；B选项中，函数，则，由于，即在上恒成立，所以函数在上单调递减，又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，即函数有且只有1个零点，B正确；C选项中，由，可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；D选项中，由得要证，只要证，即证，由于，故令，则，故在上单调递增，则，即成立，故成立，所以D正确．故选BD．12．【答案】4【详解】因为构成各项为正的等比数列，所以，又，所以，解得或（舍去）.13．【答案】【详解】易知函数的定义域为，由题知，令，得到，当时，，当时，，所以在处取得极小值，极小值为.14．【答案】【详解】方程化为，令则问题转化为的图像与直线有2个交点，因为，当时，单调递减，当时，，单调递增，所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时，的取值无限趋近于正无穷大；当无限趋近于正无穷大时，的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，.15．【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.【分析】（1）利用公式，进行求解；（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.【详解】（1）由题意可知：，当时，，当时，，当时，显然成立，所以数列的通项公式；（2），由，则时，取得最大值28，所以当为4时，取得最大值，最大值28．【关键点拨】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，，所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）可知，，即，所以.所以，①，②由①－②，得，所以.故的前项和为.17．【答案】(1)；(2)极小值点为，极大值点为；(3)，.【详解】（1）由题意得：，则，又，在处的切线方程为，即；（2）令，解得：或，则变化情况如下表：极小值极大值的极小值点为，极大值点为；（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；又，，，，.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，的定义域是，，..所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，取得最小值.（2）因为存在，使成立，即能成立，即能成立，令，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，取得最小值，所以.19．【答案】(1)(2)答案见解析(3)