重庆市垫江第一中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

重庆市垫江第一中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数，则（）A． B． C． D．2．函数f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（

）A．e B．e+1 C．﹣e+1 D．e﹣13．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）

A． B．C． D．4．已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．函数图象上的点到直线的距离的最小值是（）A． B． C．1 D．6．从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（

）A．16 B．48 C．75 D．967．已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．8．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数，在区间上是增函数C．是的极大值点D．是的极小值点10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A． B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．对任意，都有11．已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（）A．5 B．4 C．3 D．2三、填空题（本大题共3小题）12．若函数在处有极小值，则实数的值为.13．由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有个.14．设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．求下列函数的导数.(1)；(2).16．已知函数(1)求函数的极大值;(2)当时，求的值域.17．已知函数．(1)若，求曲线在处切线方程；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．18．已知函数，其中为实数，（1）若，求函数的最小值；（2）若方程在上有实数解，求的取值范围；19．已知函数.（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.

参考答案1．【答案】A【详解】由已知，所以．故选A．2．【答案】B【详解】，，在上单调递增，时，的最大值为.故选.3．【答案】D【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选D.4．【答案】D【详解】由已知可得，.因为在R上单调递增，所以恒成立.因为，所以恒成立，所以，，解得.故选D.5．【答案】B【详解】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，设切点为，又因为，所以，解得，所以切点，又因为点到直线的距离为，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.故选B.6．【答案】B【详解】有放回三次抽取的数字中，2只出现一次，按抽取的顺序有3种方法，另两次抽取的数字各有4种方法，所以不同取法总数是.故选B.7．【答案】D【详解】根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，，因为，所以，即.故选D.8．【答案】D【详解】函数的导数为，则x>0时，，f(x)递增;因为，则f(x)为偶函数，则不等式可化为又因为x>0时,f(x)递增，且f(x)为偶函数，所以，解得：故选D.9．【答案】BCD【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确；当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确.故选BCD.10．【答案】AB【详解】由题意可知，，而，故A正确；此时，，显然或时，，则在上单调递增，时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确；易知，结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误；易知，故D错误.故选AB.11．【答案】AB【详解】因为，令，则，所以在定义域上单调递增，所以，即，又，，所以，所以，又，所以，，所以的可能取值为、.故选AB.12．【答案】【详解】由已知可得，又函数在处有极小值，所以，解得，所以，当时，，当时，，所以函数在处取得极小值.13．【答案】【详解】能被整除的三位数说明末尾数字是或当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；则一共有种.14．【答案】【详解】由，构造函数，在为增函数，则即对不等式恒成立，则，构造函数令，得；令，得；在上单调递增，在上单调递减，，即.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）16．【答案】(1)极大值(2)【详解】（1）由题意的，令，解得或；令，解得；则在上单调递减；在和上单调递增，如下表：1正0负0正增极大值减极小值增所以极大值为.（2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值，又，，所以当时，的值域为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，.首先求的导数：可得.然后求和的值：将代入，得.将代入，得.最后根据点斜式方程求切线方程：则切线方程为，即.（2）当时，恒成立，即恒成立.对不等式进行化简：可得在上恒成立.设，则.求的导数：可得.设，求的导数：.因为，所以，，则.这说明在上单调递减.所以，即.则在上单调递减.所以.因此，.

则实数的取值范围是.18．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）当时，，则，由得：；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；.（2）；①当时，在上恒成立，在上单调递增，，方程在上无实数解，不合题意；②当时，在上恒成立，在上单调递减，，方程在上无实数解，不合题意；③当时，令得：；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，若方程在上有实数解，则只需，即，解得：，；综上所述：的取值范围为.19．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）对任意，恒成立，可变形为，因此只要求得的最大值即可，这可由导数的知识求解；（2）首先利用导数研究的单调性，确定零点分布，不妨设，得，然后用分析法转化所要证不等式为，由，这时以退为进，证明，即证，现在可构造函数，.证明，这又可用导数证明．【详解】（1）解：由对任意恒成