肇庆市实验中学高中数学本教材导学案：第一章解三角形第二课余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二课余弦定理一、课标要求通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.二、先学后讲1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即，，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，它可以解决的两类问题是：（1）已知三角，求角。(2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求其它角。2.余弦定理推论：，，。三、合作探究1。知两边及其夹角解三角形例1在△ABC中,已知a=2，c=+，B=45°,求b及A。【思路分析】本题主要考查已知两边及其夹角解三角形的问题，可通过余弦定理先求出第三边.在求出第三边后，求A应有两种思路:一是利用余弦定理的变形形式,根据三边求其余弦值，进一步求解;二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解.【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2－2accosB==8∴b=2。解法一:由余弦定理，得cosA===,∴A=60°.解法二:由正弦定理，得sinA=sinB=sin45°=,+〉2。4+1.4=3.8，2<2×1。8=3.6,∴c〉a.∴0〈A〈90°。∴A=60°.【点评】通过本题我们应该体会到在解三角形时，如果正弦定理和余弦定理均可选用,那么求边时两个定理均可应用，而求角时则应用余弦定理,这样可以免去判断取舍的麻烦。☆自主探究1。在△ABC中,已知a=2，b=2，C=15°,解此三角形。2.已知三角形的三边求角的余弦值例2在△ABC中，已知a=7，b=10，c=6，求A、B和C的余弦值。【思路分析】已知三边求三角，应使用余弦定理的推论，如cosA=求解。【解析】cosA==cosB=。cosC=【点评】已知三边求三角,先用余弦定理求出任一边所对的角，求另外的角时可用正弦定理,亦可用余弦定理.☆自主探究2.在△ABC中，a=,b=2，c=+1,求A、B的余弦值。四、总结提升1、本节课你主要学习了五、问题过关1.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是－,则三角形的另一边长为()A。52 B。2 C.16 D.2。在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于(）A.60° B。45° C。120° D。30°3。在△ABC中，如果，那么C是(）A。钝角 B。直角 C.锐角 D.不能确定4.△ABC中，若a=5，b=3，C=120°,则sinA的值为(）A。 B.－C。 D.－5。在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝。6。在中,已知,，，求.

第二课余弦定理☆自主探究1。解:cos15°=cos（45°－30°）=，sin15°=sin（45°－30°）=.由余弦定理，得c2=a2+b2－2abcosC=4+8－22×（+）=8－43,∴c=－.由正弦定理=，得=,∴sinA=。∵b〉a，即B〉A．∴A为锐角，即A=30°。∴B=180°－(A+C）=180°－（30°+15°）=135°。2解：cosA==，cosB=☆问题过关1解：由余弦定理得所求边的平方为:52+32－2×5×3×（－)=52,∴所求边为22解：由已知等式得:b2+c2－a2=－bc∴cosA=，∴A=120°3解:∵，∴C为钝角。4解：