数学 2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学热点18　抛物线含答案

数学2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学热点18抛物线热点18抛物线年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷抛物线的简单几何性质11————新高考Ⅱ卷抛物线的简单几何性质10抛物线的简单几何性质10抛物线的简单几何性质10考向一抛物线的定义及方程【典例1】(2023·全国乙卷)已知A(1,5)在抛物线C:y2=2px上①,则点A到抛物线C的准线的距离②为

94【审题思维】①将点A的坐标代入抛物线方程求得p②求出抛物线的准线方程,利用点到直线的距离公式求解【题后反思】抛物线定义应用的三种类型及解题策略轨迹问题用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为抛物线距离问题灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转化最值问题将抛物线上的点到焦点(准线)的距离转化为该点到准线(焦点)的距离,构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中,垂线段最短”求解问题【典例2】(2024·天津高考)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合①,A②为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离③为

45【审题思维】①求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标可得抛物线的方程②联立方程组求出圆与抛物线的交点坐标A③求出直线AF的方程,利用点到直线的距离求解【题后反思】求抛物线标准方程的两种方法定义法根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置求出抛物线方程待定系数法若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样减少了不必要的讨论【提醒】抛物线的标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.考向二抛物线的简单几何性质【典例1】(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则(ABD)A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【审题思维】选项A抛物线的准线为x=-1是☉A的一条切线选项B当P,A,B三点共线时,求出点P,计算PQ即可选项C当|PB|=2时,由数形结合知PA与AB并不垂直选项D由|PB|=|PF|得出P在AF的中垂线上,该直线与抛物线有两个交点【题后反思】抛物线性质的应用技巧1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程;2.要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题,注意抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离的转化,关注图中的直角梯形(直角三角形).【典例2】(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(AC)A.p=2B.|MN|=8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形【审题思维】先求得焦点坐标,从而求得p,根据弦长公式求得|MN|,根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【题后反思】1.常用结论:通过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1)x1·x2=p24,y1·y2=-p(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=x1+x2+p=2p2.焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【真题再现】1.★★☆☆☆(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(B)A.2 B.22 C.3 D.322.★★★☆☆(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(BCD)A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|23.★★★☆☆(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则(ACD)A.直线AB的斜率为26 B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°4.★☆☆☆☆(2024·北京高考)已知抛物线y2=16x,则焦点坐标为(4,0).

【模拟精选】1.★☆☆☆☆(2024·福州三模)已知点M(4,4)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,F为C的焦点,则|MF|=(C)A.3 B.4 C.5 D.62.★★☆☆☆(2024·新余二模)已知点Q(2,-2)在抛物线C:y2=2px上,F为抛物线的焦点,则△OQF(O为坐标原点)的面积是(A)A.12 B.1 C.2 D.3.★★☆☆☆(2024·青岛二模)抛物线y=x2的焦点到双曲线x22-y2A.312 B.36 C.612 4.★★★☆☆(2024·北京三模)点F是抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=(C)A.2 B.23 C.3 D.435.★★★☆☆(2024·北京三模)设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|=(B)A.5 B.4 C.3 D.26.★★★☆☆(2024·重庆三模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,点A在第一象限,点O为坐标原点,且S△AOF=2S△BOF,则直线l的斜率为(A)A.22 B.3 C.1 D.-17.★★★☆☆(2024·成都模拟)设点A(2,3),动点P在抛物线C:y2=4x上,记P到直线x=-2的距离为d,则|AP|+d的最小值为(D)A.1 B.3 C.10-1 D.10+18.★★★☆☆(2024·马鞍山模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线l过其焦点F且与C交于A,B两点,若直线AM的斜率为255,则|AB|=(A.455 B.855 C.49.★★★☆☆(2024·泰安模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,3)到焦点F的距离为4,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则|AF|+3|BF|的最小值为(B)A.43+4 B.23+4 C.-23+4 D.23+810.★★★★☆(多选题)(2024·襄阳二模)抛物线C:x2=2py的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到(t,1)时,|PF|=2,直线l与抛物线相交于A,B两点,下列结论正确的是(BC)A.抛物线的方程为x2=8yB.抛物线的准线方程为y=-1C.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与x轴相切D.|AF|+|BF|≥411.★★★★☆(多选题)(2024·沧州二模)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l过F且与C交于A,B两点,O为坐标原点,P(2,y0)为C上一点,且|PF|=3,则(ACD)A.过点M(2,-3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条B.当△AOB的面积为22时,|AF|·|BF|=9C.△AOB为钝角三角形D.2|AF|+|BF|的最小值为3+2212.★★☆☆☆(2024·安康模拟)已知抛物线方程为y2=4x,点A(1,0),B(2,-1),点P在抛物线上,则|PA|+|PB|的最小值为3.

13.★★★☆☆(2024·南通二模)已知抛物线C:y2=4x,过点(4,0)的直线与抛物线交于A,B两点,则线段AB中点M的轨迹方程为y2=2(x-4).

【创新演练】1.★★★☆☆(2024·绵阳模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AF⊥BF,线段AB的上一点M满足=,M在l上的投影为N,则|MN||AB|A.22 B.12 C.1 D2.★★★☆☆(2024·杭州模拟)应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是镜筒很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中,一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,其中F2同时又是抛物线的焦点,且∠NF2F1=45°,tan∠NF1F2=14,△NF1F2的面积为10,|O1F2|=8,则抛物线方程为y2=32(x+3)热点8三角函数的图象与性质年份202220232024角度题号角度题号角度题号新高考Ⅰ卷三角函数的图象与性质6三角函数的图象与性质15三角函数的图象与性质7新高考Ⅱ卷三角函数的图象与性质9三角函数的图象与性质16三角函数的图象与性质9【考向一】三角函数图象变换【典例1】(2023·全国甲卷)已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数①,则y=f(x)与y=12x-12的交点个数A.1 B.2 C.3 D.4【审题思维】①y=-sin2x→在同一坐标系内作出两个函数的图象②【题后反思】由y=sinx变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的方法(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移【提醒】1.平移变换容易忽视x的系数;2.先伸缩再平移,特别要注意平移的量是|φ|ω(【典例2】(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C①,若C关于y轴对称②,则ω的最小值是(A.16 B.14 C.13 【审题思维】①由函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)左移π2个单位得到曲线C:y=sin(ωx+ωπ②通过C关于y轴对称可知y=sin(ωx+ωπ2+π3【题后反思】1.求三角函数对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴方程,只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z);求对称中心横坐标只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求(2)求y=Acos(ωx+φ)图象的对称轴方程,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z);求对称中心横坐标只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z),求(3)求y=Atan(ωx+φ)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ2(k∈Z2.三角函数奇偶性的判断及应用三角函数奇偶性的判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+π2(k∈Z)【考向二】三角函数的图象与性质【典例1】(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-π4),下列正确的有(BCA.f(x)与g(x)有相同零点B.f(x)与g(x)有相同最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴【审题思维】A选项,方法一:分别求出两个函数的零点,对照比较即可;方法二:特值验证.BCD选项,分别求出两个函数的最大值、最小正周期及其对称轴方程,然后逐项判断即可.【题后反思】1.关于三角函数周期的几个重要结论(1)函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的周期均为2π|ω|;y=Atan(ωx+φ(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的周期均为π|2.求三角函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的方法(1)函数的单调递增区间由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈(2)函数的单调递减区间由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z3.求三角函数值域(最值)的方法(1)有界性:利用sinx,cosx的有界性;(2)用性质:形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数值域;(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.【提醒】(1)求最小正周期时,带绝对值的函数容易用错公式;(2)求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要遵循复合函数“同增异减”的原则,最好把x的系数化为正值,然后利用整体代换,求出相应的变量x的范围,否则容易产生错解.【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线f(x)的两个交点,若|AB|=π6①,则f(π)=-【审题思维】①设A(x,12),B(x2,12),由x2-x1=π6,结合sinx=12的解可得,ω(x2-x1)=②根据f(23π)=0以及f(0)<0,即可得f(x【题后反思】确定函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=2πT(3)求φ:常用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往寻找“五点”中的一个点解出φ值.“五点”的ωx+φ的值具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=π2“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=3π2“第五点”为ωx+φ=2π.【提醒】一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减2πω的整数倍达到目的(★表示难度系数,全书同)【真题再现】1.★★☆☆☆(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sinx与y=2sin3x-πA.3 B.4 C.6 D.82.★★☆☆☆(2024·北京高考)已知f(x)=sinωx,f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=π2,则ω=(BA.1 B.2 C.3 D.43.★★★☆☆(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin3(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[-π12,π6A.-32 B.-32 C.0 D4.★☆☆☆☆(2024·全国甲卷)函数f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是2.

5.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是[2,3).

【模拟精选】1.★★☆☆☆(2024·青岛三模)为了得到y=sin2x+cos2x的图象,只要把y=2cos2x的图象上所有的点(A)A.向右平移π8个单位长度 B.向左平移πC.向右平移π4个单位长度 D.向左平移π2.★★☆☆☆(2024·成都三模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π6个单位后,与函数g(x)=cos(ωx+φ)的图象重合,则ω的最小值为(CA.9 B.6 C.3 D.23.★★★☆☆(2024·绍兴三模)已知函数f(x)=sin(x+φ)(-π2<φ<0)的图象关于点(π12,0)对称,若当x∈[m,π3]时,f(x)的最小值