《振动力学与控制基础》 课件 第二章-单自由度振动系统

单自由度振动系统教学内容引言01单自由度振动系统动力学建模02单自由度振动系统求解03单自由度系统自由振动特性0405单自由度系统受迫振动特性引言01一、引言振动系统的自由度数是指在振动过程中能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立坐标的数目。只需一个独立坐标就可完全确定其几何位置的系统，称为单自由度系统。单自由度振动系统动力学建模02二、单自由度振动系统动力学建模0mx静平衡位置弹簧原长位置c

系统动能

弹性势能

重力势能二、单自由度振动系统动力学建模

总势能

静平衡关系系统耗散功

二、单自由度振动系统动力学建模

拉格朗日方程

二、单自由度振动系统动力学建模

广义力为

得到一般单自由度振动系统运动微分方程的通式

二、单自由度振动系统动力学建模例试求图示系统的势能，x为质量块偏离平衡位置的绝对位移，以系统静平衡位置为势能零点。

弹性势能重力势能总势能静平衡关系二、单自由度振动系统动力学建模

需要注意的是，上述系统势能计算方法仅适用于不存在基础支承运动的系统或者存在基础支承运动的系统中不直接受基础支承运动影响的质量块与弹簧。二、单自由度振动系统动力学建模动能势能零势能位置1lmak/2k/2例求系统做小角度微幅振动的运动微分方程

动能：势能：k1k2m1m2l1l2l3x二、单自由度振动系统动力学建模例求系统做微幅振动的运动微分方程杠杆是不计质量的刚体

复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C

求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率a0C二、单自由度振动系统动力学建模例解：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：a0C二、单自由度振动系统动力学建模

动能势能

m二、单自由度振动系统动力学建模例

二、单自由度振动系统动力学建模

静平衡状态

动能势能二、单自由度振动系统动力学建模

动能势能单自由度振动系统求解03三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解

拉普拉斯变换

三、单自由度振动系统求解

（1）

杜哈美（Duhamel）积分三、单自由度振动系统求解

总响应

三、单自由度振动系统求解

（2）

三、单自由度振动系统求解

总响应

三、单自由度振动系统求解系统总响应包括了系统的瞬态振动及稳态振动。由于阻尼的影响，系统振动的振幅将随时间延续逐渐减小，不久后便会消失，称为瞬态振动或瞬态响应。由于激励持续作用而产生一种持续的等幅振动，称为稳态振动或稳态响应。系统在刚受到外界激励时，其振动响应是上述瞬态振动和稳态振动之和。在经过充分长的时间间隔后，瞬态振动趋于零，这一阶段被称为瞬态阶段，以后则进入稳态阶段，系统只有稳态振动。因此，在分析系统的受迫振动响应时，通常关注的是系统的稳态响应。三、单自由度振动系统求解

系统稳态响应三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解例一个受简谐激励的弹簧-质量系统

运动微分方程为

解三、单自由度振动系统求解

对于响应的前两项，其为初始条件引起的自由振动响应；第三项与第四项表示受激励情况下，系统自由伴随振动以及受迫振动响应，其与系统的固有频率有关。因此，系统的振动响应是由自由振动响应，自由伴随振动响应以及受迫振动响应叠加而成。三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解例

解

三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解

将方波激励展开为傅里叶级数

三、单自由度振动系统求解求得各个微分方程的解并加和，即可得到系统稳态响应。接下来，求解傅里叶级数中的相关系数。

三、单自由度振动系统求解对于任意周期载荷激励，都可将其先展开成傅里叶级数，从而根据叠加原理将问题转化为对若干个单自由度运动微分方程求解，然后，将所得到的解进行叠加，进而得到系统稳态响应。三、单自由度振动系统求解

此时运动微分方程可表示为

三、单自由度振动系统求解

三、单自由度振动系统求解

该方程的解为

提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度重物以的速度均匀下降求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力Wv三、单自由度振动系统求解例解：振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0时，有：振动解：W静平衡位置kxWv三、单自由度振动系统求解振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度Wv三、单自由度振动系统求解单自由度系统自由振动特性04四、单自由度系统自由振动特性

无阻尼系统响应

无阻尼自由振动系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关四、单自由度系统自由振动特性无阻尼自由振动无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能四、单自由度系统自由振动特性无阻尼自由振动初始条件：固有频率从左到右：时间位置四、单自由度系统自由振动特性无阻尼自由振动固有频率计算的另一种方式：在静平衡位置：则有：对于不易得到m和k

的系统，若能测出静变形，则用该式计算是较为方便的0mx静平衡位置弹簧原长位置四、单自由度系统自由振动特性无阻尼自由振动－最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼－实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力－振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼－尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动固有频率相对阻尼系数四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动

阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼系统响应有阻尼系统自由振动响应

三种情况：欠阻尼过阻尼临界阻尼四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动

（1）欠阻尼振动解：阻尼固有频率阻尼自由振动周期：T0：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动欠阻尼响应图形振动解：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动ξ=0ξ<1时间位置四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动欠阻尼响应图形振动解：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼大小的振动衰减情况阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则衰减慢四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动评价阻尼对振幅衰减快慢的影响与t

无关，任意两个相邻振幅之比均为衰减振动的频率为，振幅衰减的快慢取决于，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部减幅系数定义为相邻两个振幅的比值：四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动减幅系数：含有指数项，不便于工程应用实际中常采用对数衰减率：四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动实验求解利用相隔

j

个周期的两个峰值进行求解得：当较小时（）四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动

（2）过阻尼振动解：

四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动过阻尼

过阻尼振动解：一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生响应图形四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动（3）临界阻尼四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动

响应：自由振动解：

也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界阻尼系数响应图形tx(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些三种阻尼情况比较：欠阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动小结：动力学方程欠阻尼过阻尼临界阻尼按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快振幅衰减振动四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动例：阻尼缓冲器静载荷P去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的10％求：缓冲器的相对阻尼系数kcx0x0Pm平衡位置四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动解：由题知设求导：设在时刻t1

质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅x1kcx0x0Pm平衡位置四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动由题知解得：四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动例：刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量mlakcmb四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动解：广义坐标lakcmb四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动

动能势能

耗散功

运动微分方程阻尼固有频率：无阻尼固有频率：lakcmb四、单自由度系统自由振动特性有阻尼自由振动

单自由度系统受迫振动特性05五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动

稳态响应解可写为

五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动

五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动

称为动力放大系数，是评估机械系统动态工作环境的重要指标之一。为了分析系统的特性，以频率比为横坐标，为纵坐标、以阻尼比ζ为参数画出一组曲线，称为幅频响应曲线。

可见：①.<<1时，即激振力频率0远小于系统固有频率，无论阻尼的大小如何，动力放大系数，振幅近似等于F0作用下的静位移，该区域振幅B

主要由弹簧常数k控制，故称为“弹簧控制区”。②.>>1时，即0

远大于时，无论阻尼大小如何，，此时

图2-28五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动当0接近时

说明共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限的增大，拍的周期称为无穷大，如图2-33。图2-33五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性简谐激励引起的受迫振动五、单自由度系统受迫振动特性偏心质量引起的受迫振动

系统在竖直方向上的运动微分方程为

五、单