安徽省合肥市2024届高三数学最后一卷试题含解析

Page232024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】，故选：D.2.已知复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题设求出，从而求出的值.【详解】由题知，，所以.故选：A.3.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程.【详解】由题意可知：，可得，则，所以该椭圆的方程为.故选：C.4.已知等比数列前项和为，且，则（）A.1 B.或-1 C. D.或1【答案】D【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，，因为，故，故或当时，；当；或1.故选：D5.已知为三角形的内角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为为三角形内角，，所以.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种 B.48种 C.54种 D.64种【答案】A【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为种，故选：A.7.已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使，过点作平面的垂线，使，连接，易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形，所以，因为平面，所以，所以，因为为正三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，即又因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为为正三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面，又因为是的外心，所以，所以，所以即为四棱锥外接球的球心，因为，，所以所以，故选：C.8.过且倾斜角为的直线与曲线交于两点，分别过作曲线的两条切线，若交于，若直线的倾斜角为.则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先画出平面图形，求出的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将化简为的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设，，由于曲线，则，所以在A点的切线方程为，同理在B点的切线方程为，由于N点是两切线的交点，所以，则为，且过，且，设，，当且仅当时“”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份1234567收入2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若与可用回归直线方程来模拟，则【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据平均数定义运算求解；对于B：根据方差公式分析求解；对于C：根据百分位数的定义分析求解；对于D：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A：由题意可得：年收入的均值，故A正确；对于选项B：由题意可得：年份1234567收入2.93.33.64.44.85.25.91.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差，故В错误；对于选项C：因为，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是，故C错误；对于选项D：因为年份的平均数，即样本中心点为，所以，故D正确；故选：AD.10.已知函数，则下列命题正确的有（）A.当时，是的一条对称轴B.若，且，则C.存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数D.若在上恰有5个零点，则的范围为【答案】BD【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A选项，将，代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B选项，由题设知，为半个周期；C选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D选项，求出范围，再确定区间右端点的范围，从而求出的范围.【详解】对于A，当时，，所以，所以不是的一条对称轴，故A错误；对于B，由题意知，，所以，又因为，所以，故B正确；对于C，向左平移个单位后，得到，假设为偶函数，则，，解得，而，所以假设不成立，故C错误；对于D，时，，令，则，因为在上恰有5个零点，所以，解得，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则下列命题正确的有（）A.若恒成立，则B.若与相切，则C.存在实数使得和有相同的最小值D.存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD【解析】【分析】对于A：原题意等价于在内恒成立，令，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B：对求得，结合导数的几何意义列式分析可得，代入检验即可；对于C：取，利用导数求最值，进而分析判断；对于D：结合选项C可知：的图象，设交点为，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为，进而可得结果.【详解】对于选项A，若，则，且，可得，可知原题意等价于在内恒成立，令，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，则，设切点为，则切线斜率，可得切线方程为，即，由题意可得，整理得，显然不满足上式，故B错误；对于选项C：例如，构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，可知的最小值为；构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，可知的最小值为，可知和有相同的最小值1，故C正确；对于选项D：结合选项C可知：的图象大致如下：设交点为，易知，由图象可知：当直线与曲线和曲线共有三个不同的交点时，直线必经过点，即.因为，所以，即.令，得，解得或，由得.所以当直线与曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为.因为，即，所以成等差数列，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：，，因为，可知或，可得或.故答案为：0或1.13.过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为__________.【答案】或【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线知，该曲线为圆且圆心为，半径为.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即圆心到直线的距离为，当直线截圆所得线段长度时根据垂径定理可得，，解得此时直线方程为.故答案为：或.14.在中，设所对的边分别为，且，则以下结论正确的有__________.①；②；③；④；⑤.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得，利用正弦定理将角化边得到，将上式两边平方，再由余弦定理得到，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为，即，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，因为，所以，则，所以，，又，所以，所以，所以，则，即.故答案：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到，再由基本不等式得到.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体的棱长为是线段上的动点.（1）求证：平面平面；（2）与平面所成的角的正弦值为，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，进而可证平面，即可得结果；（2）设在平面上的射影点为，连接，利用等体积法可得，结合线面夹角可得，进而可得结果.【小问1详解】因为平面，且平面，可得，四边形为正方形，则，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面.【小问2详解】设在平面上的射影点为，连接，可知是以边长为的等边三角形，则，因为，即，解得，设与平面所成的角的大小为，则，可得，在中，由余弦定理得，，即，解得.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知可能取值为2，3，结合条件概率求，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A，则，由题意可知：的可能取值为2，3，则有：，所以的数学期望.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率，则，所以乙胜的概率0.34464.17..（1）若的图象在点处的切线经过原点，求；（2）对任意的，有，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为在恒成立，令，当时，符合题意；若，求得，令，利用导数求得的单调性，结合，得到存在唯一的，使得，得出的单调性和极小值，进而求得的取值范围.【小问1详解】由函数，可得，所以且，即切线的斜率为，切点为因为的图象在点处的切线经过原点，可得，解得.【小问2详解】任意的，有，即在恒成立，令，若，则，可得，所以，符合题意；若，可得，令，则，当时，，在递增，而，所以，存在唯一的，使得，所以，当时，，在递减，当时，，在区间递增，故当，函数取得极小值，所以，此时，，可得，即；当时，，因而，符合题意，综上所述，实数的取值范围是求.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线的上焦点为，下顶点为，渐近线方程是，过点的直线交双曲线上支于两点，分别交直线于两点，为坐标原点.（1）求的方程；（2）求证：四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出，，最后计算并证明出即可；方法二：转化为证明出，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出即可；（3）设圆心为，计算出，根据并结合的范围即可.【小问1详解】由题，，解得，所以的方程为.【小问2详解】（方法一）设，代入，化简整理得，有，解得，且，，令得，同理，，，则，所以四点共圆.（方法二）设的倾斜角分别为.由对称性，不妨设的斜率，此时均为锐角，所以四点共圆，设，代入，化简整理得，有解得，，，令得，同理，所以四点共圆.【小问3详解】设圆心为，则，，，因为，则【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用