数学复数的几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.2复数的几何意义复习导入·

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i²=-1·

全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}

叫做复数集.·

z=a+bi

其中a

叫做复数z的实部，

b叫做复数z的虚部.·

a+bi与c+di

相等当且仅当a=c

且b=d.注：复数如果能比较大小，说明它是实数虚数集纯虚数集复数集实数集思考1:

类比实数的表示，可以用什么来表示复数?析：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi

都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗?新知探究实数可以用数轴上的点来表示.一一对应数轴上的点(形)思考：在几何上，我们用什么来表示实数?实数(

数

)这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

x

轴叫做实轴，y

轴叫做虚轴。如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)

表示.新知1

复平面yb

Z:a+biO

a

X虚轴复数z=a+bi

<一

一

对

应

复平面内的点Z(a,b).实轴实轴上的点(a,0)

→b=0实轴上的点都是实数个

实

轴

b0Z:a+bix虚轴思考2:实轴上的点对应的都是什么数?新知探究复平面a虚轴上的点(0,b)当b≠0

时虚轴上的点都是纯虚数当b=0

时，该点为(0,0)

此时对应实数0复平面个y实

轴

b

Z:a+bi0

a

x虚轴新知探究思考3

:虚轴上的点对应的都是什么数?示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数

.如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,

显然向量OZ

由点Z唯一确定；反过来，点

Z也可以由向量OZ唯一确定.新知2思考4

:能用平面向量表示复数吗?在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表

我们常把复数z=a+bi

说成点Z

或说成向量OZ,并且规定，

相等的向量表示同一个复数.新知探究

一一对应复数z=a+bi-

复平面中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应新知3图中向量OZ的模叫做复数z=a+bi

的模或绝对值，记作|z|

或|a+bi

|.即|z|=|a+bi|=

√a²+b²,

其中a,b∈R.复数不可以比较大小；复数的模是个非负实数，任意两复数的模可以比较大小。例2:设复数Z₁=4+3i,Z₂=4-3i.(1)在复平面内画出复数z₁,z₂对应的点和向量；(2)求复数Z₁,z₂

的模，并比较它们的模的大小.解：(1)当如图，复数Z₁,Z₂对应的点分别为Z₁,Z₂,

对应的向量分别为OZ₁,OZ₂

.(2):|z₁I=|4+3|=√4²+32=5,|z₂|=|4-3|=√4²+(-3)²=5.所以|z₁|=|z₂|.新知探究思考5类比向量你能归纳出复数的模的几何意义吗?复数

z=a+bi(a,b∈R)

的模

z|表示复数在平面内对应的点Z(a,b)

到原点的距离或复数所对应向量的模Z

的集合是什么图形?(1)|z|=1;

(2)1<|z|<2.解：(1)

|z|=1的点Z

的集合是以原点O

为圆心，以1为半径的圆，(2)不等式1<

|z|<2可化为不等式即，是以原点0为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界

.例3

:设z∈C,在复平面内z

对应的点为Z,那么满足下列条件的点新知4共轭复数符号语言：

bi注意：复数z的共轭复数用z

表示，即如果

z=a+bi(a,b∈R),那么

z=a-bi.特别地，实数α的共轭复数仍是a本身.思考7

:

结合上题，猜想若Z₁,z₂

是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?关于x轴对称变式1已知i

为虚数单位，在复平面内，复数i,1,4+2i

对应的点分别是A,B,C.

求平行四边形

ABCD

的顶点D

所对应的

复数

.导学大书P42例3已知复数z

满足z+|z|=2+8i,求复数z.例1已知

a∈R,z=(a²-2a+4)-

(a²-2a+2)i

所对应的点在第几象限?复数

z

对应的点的轨迹是什么?o例

2设

复

数z=-3cosθ+2isinθ

.(1

)当时，求|z|的值；(2)若复数z所对应的点在直线x+3y=的值

.复平面内点(