清华微积分高等数学第八讲微分中值定理(2)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

作业P88习题4.15(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122综合题:4.5.复习：P80——88预习：P89——955/7/20251第1页应用导数研究函数性态局部性态—未定型极限函数局部近似整体性态—在某个区间上函数单调性、函数极值函数凸性、渐近性、图形5/7/20252第2页微分中值定理，包含：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分学理论基础。是利用导数研究函数性质理论依据。微分中值定理共同特点是：在一定条件下，能够断定在所给区间内最少有一点，使所研究函数在该点含有某种微分性质。5/7/20253第3页第八讲微分中值定理一、费尔马(Fermat)定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理5/7/20254第4页一、费尔马(Fermat)定理（一）极值定义：5/7/20255第5页极值研究是微积分产生主要动力之一5/7/20256第6页（二）费尔马定理(极值必要条件)5/7/20257第7页5/7/20258第8页[证]5/7/20259第9页5/7/202510第10页微分中值定理引入(((5/7/202511第11页5/7/202512第12页5/7/202513第13页

5/7/202514第14页二、罗尔(Rolle)定理5/7/202515第15页怎样证实罗尔定理？先利用形象思维去找出一个C点来！想到利用闭区间上连续函数最大最小值定理！5/7/202516第16页罗尔定理证实：5/7/202517第17页5/7/202518第18页三、拉格朗日(Lagrange)定理5/7/202519第19页怎样证实拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵照规律之一就是将欲探索新问题转化为已掌握老问题。所以想到利用罗尔定理！5/7/202520第20页满足罗尔定理条件弦线与f(x)在端点处相等设函数5/7/202521第21页拉格朗日定理证实：结构辅助函数拉格朗日中值公式5/7/202522第22页拉格朗日公式各种形式有限增量公式5/7/202523第23页5/7/202524第24页推论1：[证]5/7/202525第25页推论2：推论3：推论4：5/7/202526第26页四、柯西(Cauchy)定理5/7/202527第27页柯西中值定理证实：结构辅助函数5/7/202528第28页费尔马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理5/7/202529第29页零点问题以下证实恰好有三个根该方程实根个数就是两条曲线5/7/202530第30页首先证实最少有三个根计算表明依据介值定理所以方程最少有三个根然后证实方程最多有三个根用反证法5/7/202531第31页依据洛尔定理矛盾！总而言之，方程恰好有三个实根355/7/202532第32页直观观察能够启发思绪在第一个情形,都不是最小值所以最小值一定在区间内部到达5/7/202533第33页[证]5/7/202534第34页证实思绪直观分析[例3]5/7/202535第35页[证]依据连续函数最大最小值定理5/7/202536第36页[证]5/7/202537第37页445/7/202538第38页[证]5/7/202539第39页5/7/202540第40页[证]5/7/202541第41页5/7/202542第42页5/7/202543第43页[证]5/7/202544第44页5/7/202545